Flächeninhalt:
Parallelogramm
In diesem Kapitel lernen wir, den Flächeninhalt eines Parallelogramms zu berechnen.
Flächeninhalt ist der Fachbegriff für die Größe einer Fläche.
Notwendiges Vorwissen: Flächeninhalt eines Rechtecks
Parallelogramm: Herleitung der Flächenformel
Der Flächeninhalt eines Rechtecks
berechnet sich nach der Formel
\(A = a \cdot b\) (Länge mal Breite)
Jedes Parallelogramm lässt sich zu einem Rechteck umformen.
Herleitung der 1. Formel
Gegeben ist ein beliebiges Parallelogramm.
Die untere Seite nennen wir \(a\).
Wir zeichnen die Höhe \(h_a\) ein.
Anschließend verschieben wir das Dreieck, das durch \(h_a\) gebildet wird,...
...auf die gegenüberliegende Seite.
Der Flächeninhalt des auf diese Weise gebildeten Rechtecks können wir mit der Formel „Länge mal Breite“ berechnen:
\(A = a \cdot h_a\)
...und weil das Rechteck flächengleich zu dem ursprünglichen Parallelogramm ist, gilt diese Flächenformel auch für Parallelogramme!
Herleitung der 2.Formel
Gegeben ist ein beliebiges Parallelogramm.
Die rechte Seite nennen wir \(b\).
Wir zeichnen die Höhe \(h_b\) ein.
Anschließend verschieben wir das Dreieck, das durch \(h_b\) gebildet wird,...
...auf die gegenüberliegende Seite.
Der Flächeninhalt des auf diese Weise gebildeten Rechtecks können wir mit der Formel „Länge mal Breite“ berechnen:
\(A = b \cdot h_b\)
...und weil das Rechteck flächengleich zu dem ursprünglichen Parallelogramm ist, gilt diese Flächenformel auch für Parallelogramme!
Formeln für den Flächeninhalt eines Parallelogramms
\(\begin{align*}
A
&= a \cdot h_a &&{\color{gray}|\text{ 1. Formel}}\\[5pt]
&= b \cdot h_b &&{\color{gray}|\text{ 2. Formel}}
\end{align*}\)
\(a\) und \(h_a\) sowie \(b\) und \(h_b\) sind Längen in jeweils derselben Maßeinheit.
Falls die Längen nicht in derselben Maßeinheit vorliegen, müssen wir umrechnen.
\(A\) steht für den Flächeninhalt.
| Längeneinheiten | Flächeneinheiten | ||
| \(\mathrm{mm}\) | Millimeter | \(\mathrm{mm}^2\) | Quadratmillimeter |
| \(\mathrm{cm}\) | Zentimeter | \(\mathrm{cm}^2\) | Quadratzentimeter |
| \(\mathrm{dm}\) | Dezimeter | \(\mathrm{dm}^2\) | Quadratdezimeter |
| \(\mathrm{m}\) | Meter | \(\mathrm{m}^2\) | Quadratmeter |
| \(\mathrm{km}\) | Kilometer | \(\mathrm{km}^2\) | Quadratkilometer |
Der Vollständigkeit halber sei erwähnt, dass es noch eine dritte Formel gibt: \(A = ab \sin \alpha\).
Da diese Formel in der Schule allerdings keine Rolle spielt, verzichte ich auf eine Herleitung.
Parallelogramm: Flächeninhalt berechnen
Die folgenden Beispiele sollen dich mit der Flächenformel für Parallelogramme vertraut machen.
Achte besonders auf die Einheiten! Eine \(24~\mathrm{cm}\) große Fläche gibt es nicht!
1) Formel aufschreiben
2) Werte für \(a\) und \(h_a\) einsetzen
3) Ergebnis berechnen
Beispiel
- Wie groß ist der Flächeninhalt eines Parallelogramms mit \(a = 6~\mathrm{cm}\) und \(h_a = 4~\mathrm{cm}\)?
1) Formel aufschreiben
\(A = a \cdot h_a\)
2) Werte für \(a\) und \(h_a\) einsetzen
\(\phantom{A} = 6~\mathrm{cm} \cdot 4~\mathrm{cm}\)
3) Ergebnis berechnen
\(\begin{align*}
\phantom{A}
&= (6 \cdot 4) \cdot (\mathrm{cm} \cdot \mathrm{cm}) \\[5px]
&= 24~\mathrm{cm}^2
\end{align*}\)
Skizze zu obigem Beispiel
1) Formel aufschreiben
2) Werte für \(b\) und \(h_b\) einsetzen
3) Ergebnis berechnen
Beispiel
- Wie groß ist der Flächeninhalt eines Parallelogramms mit \(b = 5~\mathrm{m}\) und \(h_b = 8~\mathrm{m}\)?
1) Formel aufschreiben
\(A = b \cdot h_b\)
2) Werte für \(a\) und \(h_a\) einsetzen
\(\phantom{A} = 5~\mathrm{m} \cdot 8~\mathrm{m}\)
3) Ergebnis berechnen
\(\begin{align*}
\phantom{A}
&= (5 \cdot 8) \cdot (\mathrm{m} \cdot \mathrm{m}) \\[5px]
&= 40~\mathrm{m}^2
\end{align*}\)
Skizze zu obigem Beispiel
Wusstest du schon, dass \(\mathrm{m}^2\) lediglich eine abkürzende Schreibweise für \(\mathrm{m} \cdot \mathrm{m}\) ist?
Mehr zu diesem Thema erfährst du im Kapitel zu den Potenzen!
Vierecke und deren Flächeninhalte
Alle geradlinig begrenzten Figuren lassen sich zu einem Rechteck umformen.
| Formel | |
| Leicht | |
| Flächeninhalt: Rechteck | \(A = a \cdot b\) (Länge mal Breite) |
| Flächeninhalt: Quadrat | \(A = a \cdot a\) (Seitenlänge mal Seitenlänge) |
| Mittel | |
| Flächeninhalt: Parallelogramm | \(A = a \cdot h_a = b \cdot h_b\) |
| Flächeninhalt: Raute | \(A = a \cdot h_a = \frac{1}{2}ef\) |
| Flächeninhalt: Drachenviereck | \(A = \frac{1}{2}ef\) |
| Flächeninhalt: Trapez + Gleichschenkliges Trapez + Rechtwinkliges Trapez |
\(A = m \cdot h = \frac{1}{2}(a+c) \cdot h\) |
| Schwer | |
| Flächeninhalt: Tangentenviereck | \(A = r_i(a+c) = r_i(b+d)\) |
| Flächeninhalt: Sehnenviereck | \(A = \sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}\) mit \(s = \frac{1}{2}(a+b+c+d)\) |
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