Viereck
In diesem Kapitel schauen wir uns an, was ein Viereck ist.
Ein Viereck ist eine geometrische Figur, die
- aus vier Punkten \(A\), \(B\), \(C\), \(D\),
von denen keine drei auf einer Geraden liegen und
- den vier Strecken \(\overline{AB}\), \(\overline{BC}\), \(\overline{CD}\), \(\overline{DA}\),
die diese Punkte miteinander verbinden,
besteht.
Beispiel eines Vierecks
Eigenschaften eines Vierecks
a) Allgemeines Viereck
Ecken
Jedes Viereck hat vier Ecken.
Die Ecken werden meist mit den großen Buchstaben \(A\), \(B\), \(C\) und \(D\) - beginnend
von der linken unteren Ecke gegen den Uhrzeigersinn - bezeichnet.
Gegenecken
(Gegenüberliegende Ecken)
\(A\) und \(C\) sind Gegenecken.
\(B\) und \(D\) sind Gegenecken.
Nachbarecken
(Nebeneinanderliegende Ecken)
Die Nachbarecken von \(A\) sind \(B\) und \(D\).
Die Nachbarecken von \(B\) sind \(C\) und \(A\).
Die Nachbarecken von \(C\) sind \(D\) und \(B\).
Die Nachbarecken von \(D\) sind \(A\) und \(C\).
Seiten
Jedes Viereck hat vier Seiten.
Die Seiten werden meist mit den kleinen Buchstaben \(a\), \(b\), \(c\) und \(d\) bezeichnet.
Dabei gilt: \(a = [AB]\), \(b = [BC]\),
\(c = [CD]\), \(d = [DA]\)
Gegenseiten
(Gegenüberliegende Seiten)
\(a\) und \(c\) sind Gegenseiten.
\(b\) und \(d\) sind Gegenseiten.
Nachbarseiten
(Nebeneinanderliegende Seiten)
Die Nachbarseiten von \(a\) sind \(b\) und \(d\).
Die Nachbarseiten von \(b\) sind \(c\) und \(a\).
Die Nachbarseiten von \(c\) sind \(d\) und \(b\).
Die Nachbarseiten von \(d\) sind \(a\) und \(c\).
Winkel
Jedes Viereck hat vier Innenwinkel.
Die Innenwinkel werden meist mit den griechischen Kleinbuchstaben \(\alpha\) (alpha),
\(\beta\) (beta), \(\gamma\) (gamma) und \(\delta\) (delta) bezeichnet.
\(A\) ist der Scheitelpunkt von \(\alpha\), \(B\) von \(\beta\) usw.
In jedem Viereck ist die Winkelsumme 360°.
\(\alpha + \beta + \gamma + \delta = 360^\circ\)
Gegenwinkel
(Gegenüberliegende Winkel)
\(\alpha\) und \(\gamma\) sind Gegenwinkel.
\(\beta\) und \(\delta\) sind Gegenwinkel.
Nachbarwinkel
(Nebeneinanderliegende Winkel)
Die Nachbarwinkel von \(\alpha\) sind \(\beta\) und \(\delta\).
Die Nachbarwinkel von \(\beta\) sind \(\gamma\) und \(\alpha\).
Die Nachbarwinkel von \(\gamma\) sind \(\delta\) und \(\beta\).
Die Nachbarwinkel von \(\delta\) sind \(\alpha\) und \(\gamma\).
Diagonale
(Verbindungsstrecken zweier Gegenecken)
Jedes Viereck hat zwei Diagonalen.
b) Besondere Vierecke
Manche Vierecke haben parallele Seiten.
Vierecke mit einem Paar paralleler Seiten:
- Trapez
-- Gleichschenkliges Trapez
-- Rechtwinkliges Trapez
Vierecke mit zwei Paaren paralleler Seiten:
- Parallelogramm
-- Raute
-- Rechteck
-- Quadrat
Manche Vierecke haben rechte Winkel.
Vierecke mit zwei rechten Winkeln:
- Rechtwinkliges Trapez
Vierecke mit vier rechten Winkeln:
- Rechteck
-- Quadrat
Manche Vierecke sind achsensymmetrisch.
1.) Lotsymmetrische Vierecke
Symmetrieachse = Lot zu parallelen Seiten
Das gleichschenklige Trapez heißt auch
lotsymmetrisches Viereck.
Spezielle gleichschenklige Trapeze:
- Rechteck
- Quadrat
2.) Diagonalsymmetrische Vierecke Symmetrieachse = Diagonale
Das Drachenviereck heißt auch
diagonalsymmetrisches Viereck.
Spezielle Drachenvierecke:
- Raute
- Quadrat
Manche Vierecke sind punktsymmetrisch.
(...zum Schnittpunkt der Diagonalen \(S\))
Das Parallelogramm heißt auch
punktsymmetrisches Viereck.
Spezielle Parallelogramme:
- Raute
- Rechteck
- Quadrat
Manche Vierecke haben einen Umkreis.
(Jede Ecke des Vierecks liegt auf dem Kreis.)
Vierecke mit Umkreis heißen Sehnenvierecke.
Spezielle Sehnenvierecke:
- Gleichschenkliges Trapez
- Rechteck
- Quadrat
Manche Vierecke haben einen Inkreis.
(Jede Seite des Vierecks berührt den Kreis.)
Vierecke mit Inkreis heißen Tangentenvierecke.
Spezielle Tangentenvierecke:
- Raute
- Quadrat
- Drachenviereck
Viereck berechnen
Flächeninhalt
Umfang
Vierecke im Überblick
Im Folgenden findest du einen Überblick über die wichtigsten Vierecke und ihre Eigenschaften.
| Definierende Eigenschaften | |
| Trapez | - ein Paar paralleler Seiten |
| - Gleichschenkliges Trapez | - ein Paar paralleler Seiten - gleich lange Schenkel |
| - Rechtwinkliges Trapez | - ein Paar paralleler Seiten - ein Schenkel, der auf den parallelen Seiten senkrecht steht |
| Parallelogramm | - zwei Paare paralleler Seiten |
| Raute | - vier gleich lange Seiten |
| Rechteck | - vier rechte Winkel |
| Quadrat | - vier rechte Winkel - vier gleich lange Seiten |
| Drachenviereck | - eine Diagonale als Symmetrieachse |
| Sehnenviereck | - alle Seiten sind Sehnen eines Kreises (Umkreis) |
| Tangentenviereck | - alle Seiten sind Tangenten eines Kreises (Inkreis) |
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