Viereck

In diesem Kapitel schauen wir uns an, was ein Viereck ist.

Ein Viereck ist eine geometrische Figur, die
- aus vier Punkten \(A\), \(B\), \(C\), \(D\),
   von denen keine drei auf einer Geraden liegen und
- den vier Strecken \(\overline{AB}\), \(\overline{BC}\), \(\overline{CD}\), \(\overline{DA}\),
   die diese Punkte miteinander verbinden,
besteht.


Beispiel eines Vierecks

Eigenschaften eines Vierecks

a) Allgemeines Viereck

Ecken

Jedes Viereck hat vier Ecken.

Die Ecken werden meist mit den großen Buchstaben \(A\), \(B\), \(C\) und \(D\) - beginnend
von der linken unteren Ecke gegen den Uhrzeigersinn - bezeichnet.

Gegenecken
(Gegenüberliegende Ecken)

\(A\) und \(C\) sind Gegenecken.
\(B\) und \(D\) sind Gegenecken.

Nachbarecken
(Nebeneinanderliegende Ecken)

Die Nachbarecken von \(A\) sind \(B\) und \(D\).
Die Nachbarecken von \(B\) sind \(C\) und \(A\).
Die Nachbarecken von \(C\) sind \(D\) und \(B\).
Die Nachbarecken von \(D\) sind \(A\) und \(C\).

Seiten

Jedes Viereck hat vier Seiten.

Die Seiten werden meist mit den kleinen Buchstaben \(a\), \(b\), \(c\) und \(d\) bezeichnet.

Dabei gilt: \(a = [AB]\), \(b = [BC]\),
                 \(c = [CD]\), \(d = [DA]\)

Gegenseiten
(Gegenüberliegende Seiten)

\(a\) und \(c\) sind Gegenseiten.
\(b\) und \(d\) sind Gegenseiten.

Nachbarseiten
(Nebeneinanderliegende Seiten)

Die Nachbarseiten von \(a\) sind \(b\) und \(d\).
Die Nachbarseiten von \(b\) sind \(c\) und \(a\).
Die Nachbarseiten von \(c\) sind \(d\) und \(b\).
Die Nachbarseiten von \(d\) sind \(a\) und \(c\).

Winkel

Jedes Viereck hat vier Innenwinkel.

Die Innenwinkel werden meist mit den griechischen Kleinbuchstaben \(\alpha\) (alpha),
\(\beta\) (beta), \(\gamma\) (gamma) und \(\delta\) (delta) bezeichnet.
\(A\) ist der Scheitelpunkt von \(\alpha\), \(B\) von \(\beta\) usw.


In jedem Viereck ist die Winkelsumme 360°.
\(\alpha + \beta + \gamma + \delta = 360^\circ\)

Gegenwinkel
(Gegenüberliegende Winkel)

\(\alpha\) und \(\gamma\) sind Gegenwinkel.
\(\beta\) und \(\delta\) sind Gegenwinkel.

Nachbarwinkel
(Nebeneinanderliegende Winkel)

Die Nachbarwinkel von \(\alpha\) sind \(\beta\) und \(\delta\).
Die Nachbarwinkel von \(\beta\) sind \(\gamma\) und \(\alpha\).
Die Nachbarwinkel von \(\gamma\) sind \(\delta\) und \(\beta\).
Die Nachbarwinkel von \(\delta\) sind \(\alpha\) und \(\gamma\).

Diagonale
(Verbindungsstrecken zweier Gegenecken)

Jedes Viereck hat zwei Diagonalen.

b) Besondere Vierecke

Manche Vierecke haben parallele Seiten.

Vierecke mit einem Paar paralleler Seiten:
- Trapez
-- Gleichschenkliges Trapez
-- Rechtwinkliges Trapez

Vierecke mit zwei Paaren paralleler Seiten:
- Parallelogramm
-- Raute
-- Rechteck
-- Quadrat

Manche Vierecke haben rechte Winkel.

Vierecke mit zwei rechten Winkeln:
- Rechtwinkliges Trapez

Vierecke mit vier rechten Winkeln:
- Rechteck
-- Quadrat

Manche Vierecke sind achsensymmetrisch.

1.) Lotsymmetrische Vierecke
     Symmetrieachse = Lot zu parallelen Seiten

     Das gleichschenklige Trapez heißt auch
     lotsymmetrisches Viereck.

     Spezielle gleichschenklige Trapeze:
     - Rechteck
     - Quadrat



2.) Diagonalsymmetrische Vierecke      Symmetrieachse = Diagonale

     Das Drachenviereck heißt auch
     diagonalsymmetrisches Viereck.

     Spezielle Drachenvierecke:
     - Raute
     - Quadrat

Manche Vierecke sind punktsymmetrisch.
(...zum Schnittpunkt der Diagonalen \(S\))

Das Parallelogramm heißt auch
punktsymmetrisches Viereck.

Spezielle Parallelogramme:
- Raute
- Rechteck
- Quadrat

Manche Vierecke haben einen Umkreis.
(Jede Ecke des Vierecks liegt auf dem Kreis.)

Vierecke mit Umkreis heißen Sehnenvierecke.

Spezielle Sehnenvierecke:
- Gleichschenkliges Trapez
- Rechteck
- Quadrat

Manche Vierecke haben einen Inkreis.
(Jede Seite des Vierecks berührt den Kreis.)

Vierecke mit Inkreis heißen Tangentenvierecke.

Spezielle Tangentenvierecke:
- Raute
- Quadrat
- Drachenviereck

Viereck berechnen


Flächeninhalt


Umfang

Vierecke im Überblick

Im Folgenden findest du einen Überblick über die wichtigsten Vierecke und ihre Eigenschaften.

  Definierende Eigenschaften
Trapez - ein Paar paralleler Seiten
- Gleichschenkliges Trapez - ein Paar paralleler Seiten
- gleich lange Schenkel
- Rechtwinkliges Trapez - ein Paar paralleler Seiten
- ein Schenkel, der auf den parallelen Seiten senkrecht steht
Parallelogramm - zwei Paare paralleler Seiten
Raute - vier gleich lange Seiten
Rechteck - vier rechte Winkel
Quadrat - vier rechte Winkel
- vier gleich lange Seiten
Drachenviereck - eine Diagonale als Symmetrieachse
Sehnenviereck - alle Seiten sind Sehnen eines Kreises (Umkreis)
Tangentenviereck - alle Seiten sind Tangenten eines Kreises (Inkreis)

Andreas Schneider

Jeden Tag suche ich für dich nach der verständlichsten Erklärung.

Ich hoffe, dass sich meine Arbeit lohnt und ich dir helfen kann.

Weiterhin viel Erfolg beim Lernen!

Dein Andreas

PS: Ich freue mich, wenn du mir mal schreibst!

JETZT NEU! Löse eine Matheaufgabe und gewinne einen 25 € Amazon-Gutschein!