Umfang:
Tangentenviereck

In diesem Kapitel lernen wir, den Umfang eines Tangentenvierecks zu berechnen.

Umfang ist der Fachbegriff für die Summe aller Seitenlängen.

Ein allgemeines Viereck hat
vier unterschiedlich lange Seiten.

Umfangsformel
\(U\) \(=\) \(a + b + c + d\)

Die Umfangsformel können wir vereinfachen, wenn Seiten mit gleicher Länge vorkommen.
In einem Tangentenviereck ist genau das der Fall, denn:

In einem Tangentenviereck sind
die Summen gegenüberliegender Seiten gleich.
\(a + c = b + d\)

Herleitung der 1. Formel

\(\begin{align*}
U
&= a + b + c + d &&{\color{gray}|\text{ Umstellen}}\\
&= a + c + {\color{red}b + d} &&{\color{gray}|~ b+d=a+c}\\
&= a + c + {\color{red}a + c} &&{\color{gray}|\text{ Zusammenrechnen}}\\
&= 2a + 2c &&{\color{gray}|\text{ Ausklammern}}\\
&= 2(a+c)
\end{align*}\)

Herleitung der 2. Formel

\(\begin{align*}
U
&= a + b + c + d &&{\color{gray}|\text{ Umstellen}}\\
&= {\color{red}a + c} + b + d &&{\color{gray}|~ a+c=b+d}\\
&= {\color{red}b + d} + b + d &&{\color{gray}|\text{ Zusammenrechnen}}\\
&= 2b + 2d &&{\color{gray}|\text{ Ausklammern}}\\
&= 2(b+d)
\end{align*}\)

Formeln für den Umfang eines Tangentenvierecks

(1)  \(U = 2(a+c)\)

(2)  \(U = 2(b+d)\)

Um den Umfang eines Tangentenvierecks berechnen zu können, müssen wir die Länge zweier Gegenseiten kennen. Unter Umständen ist ein Ausmessen erforderlich.

Eine Länge - wie \(5~\mathrm{cm}\) - ist eine Größe, die aus einer Maßzahl und einer Maßeinheit besteht.

Längen können bekanntlich nur addiert werden, wenn sie in derselben Maßeinheit vorliegen.
Deshalb müssen wir gegebenenfalls die Einheiten auf eine gemeinsame Einheit umrechnen.

Wichtige Maßeinheiten für Längen (Längenmaße)

Ein Platzhalter für eine beliebige Längeneinheit ist \(\mathrm{LE}\).

1) Formel aufschreiben
2) Werte für \(a\) und \(c\) einsetzen
3) Ergebnis berechnen

Beispiele

  • Wie groß ist der Flächeninhalt eines Tangentenvierecks mit \(a = 4~\mathrm{cm}\) und \(c = 2~\mathrm{cm}\)?

    1) Formel aufschreiben

    \(A = a \cdot c\)

    2) Werte für \(a\) und \(c\) einsetzen

    \(\phantom{A} = 4~\mathrm{cm} \cdot 2~\mathrm{cm}\)

    3) Ergebnis berechnen

    \(\begin{align*}
    \phantom{A}
    &= (4 \cdot 2) \cdot (\mathrm{cm} \cdot \mathrm{cm}) \\[5px]
    &= 8~\mathrm{cm}^2
    \end{align*}\)

1) Formel aufschreiben
2) Werte für \(b\) und \(d\) einsetzen
3) Ergebnis berechnen

Beispiele

  • Wie groß ist der Flächeninhalt eines Tangentenvierecks mit \(b = 5~\mathrm{m}\) und \(d = 3~\mathrm{m}\)?

    1) Formel aufschreiben

    \(A = b \cdot d\)

    2) Werte für \(b\) und \(d\) einsetzen

    \(\phantom{A} = 5~\mathrm{m} \cdot 3~\mathrm{m}\)

    3) Ergebnis berechnen

    \(\begin{align*}
    \phantom{A}
    &= (5 \cdot 3) \cdot (\mathrm{m} \cdot \mathrm{m}) \\[5px]
    &= 15~\mathrm{m}^2
    \end{align*}\)

Vierecke und deren Umfänge

Die Umfangsformeln können wir danach sortieren, wie viele Seiten gemessen werden müssen.

  Formel
4 Seiten
 
Umfang: Allgemeines Viereck \(U = a + b + c + d\)
Umfang: Trapez \(U = a + b + c + d\)
Umfang: Rechtwinkliges Trapez \(U = a + b + c + d\)
Umfang: Sehnenviereck \(U = a + b + c + d\)
3 Seiten  
Umfang: Gleichschenkliges Trapez \(U = a+2b+c = a+c+2d\)
2 Seiten  
Umfang: Parallelogramm \(U = 2(a+b)\)
Umfang: Rechteck \(U = 2(a+b)\)
Umfang: Drachenviereck \(U = 2(a+b)\)
Umfang: Tangentenviereck \(U = 2(a+c) = 2(b+d)\)
1 Seite  
Umfang: Raute \(U = 4a\)
Umfang: Quadrat \(U = 4a\)
Andreas Schneider

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Weiterhin viel Erfolg beim Lernen!

Andreas Schneider

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