Flächeninhalt:
Tangentenviereck
In diesem Kapitel lernen wir, den Flächeninhalt eines Tangentenvierecks zu berechnen.
Flächeninhalt ist der Fachbegriff für die Größe einer Fläche.
Tangentenviereck: Flächeninhalt berechnen
Im Tangentenviereck sind alle vier Seiten
Tangenten eines Kreises.
Formel für den Flächeninhalt eines Tangentenvierecks
\(\begin{align*}
A
&= r_i(a+c) &&{\color{gray}|\text{ 1. Formel}}\\[5pt]
&= r_i(b+d) &&{\color{gray}|\text{ 2. Formel}}
\end{align*}\)
Die Seiten \(a\), \(b\), \(c\) und \(d\) sowie der Inkreisradius \(r_i\) sind Längen in jeweils derselben Maßeinheit.
Falls die Längen nicht in derselben Maßeinheit vorliegen, müssen wir umrechnen.
\(A\) steht für den Flächeninhalt.
| Längeneinheiten | Flächeneinheiten | ||
| \(\mathrm{mm}\) | Millimeter | \(\mathrm{mm}^2\) | Quadratmillimeter |
| \(\mathrm{cm}\) | Zentimeter | \(\mathrm{cm}^2\) | Quadratzentimeter |
| \(\mathrm{dm}\) | Dezimeter | \(\mathrm{dm}^2\) | Quadratdezimeter |
| \(\mathrm{m}\) | Meter | \(\mathrm{m}^2\) | Quadratmeter |
| \(\mathrm{km}\) | Kilometer | \(\mathrm{km}^2\) | Quadratkilometer |
Das folgende Beispiel soll dich mit der Flächenformel für Tangentenvierecke vertraut machen.
Achte besonders auf die Einheiten! Eine \(18~\mathrm{cm}\) große Fläche gibt es nicht!
1) Formel aufschreiben
2) Werte für \(r_i\), \(a\) und \(c\) einsetzen
3) Ergebnis berechnen
Beispiel
- Wie groß ist der Flächeninhalt eines Tangentenvierecks mit \(r_i = 3~\mathrm{cm}\), \(a = 2~\mathrm{cm}\) und \(c = 4~\mathrm{cm}\)?
1) Formel aufschreiben
\(A = r_i(a+c)\)
2) Werte für \(r_i\), \(a\) und \(c\) einsetzen
\(\phantom{A} = 3~\mathrm{cm} \cdot (2~\mathrm{cm}+4~\mathrm{cm})\)
3) Ergebnis berechnen
\(\begin{align*}
\phantom{A}
&= 3~\mathrm{cm} \cdot 6~\mathrm{cm} \\[5px]
&= (3 \cdot 6) \cdot (\mathrm{cm} \cdot \mathrm{cm}) \\[5px]
&= 18~\mathrm{cm}^2
\end{align*}\)
Wusstest du schon, dass \(\mathrm{cm}^2\) lediglich eine abkürzende Schreibweise für \(\mathrm{cm} \cdot \mathrm{cm}\) ist?
Mehr zu diesem Thema erfährst du im Kapitel zu den Potenzen!
Vierecke und deren Flächeninhalte
Alle geradlinig begrenzten Figuren lassen sich zu einem Rechteck umformen.
| Formel | |
| Leicht | |
| Flächeninhalt: Rechteck | \(A = a \cdot b\) (Länge mal Breite) |
| Flächeninhalt: Quadrat | \(A = a \cdot a\) (Seitenlänge mal Seitenlänge) |
| Mittel | |
| Flächeninhalt: Parallelogramm | \(A = a \cdot h_a = b \cdot h_b\) |
| Flächeninhalt: Raute | \(A = a \cdot h_a = \frac{1}{2}ef\) |
| Flächeninhalt: Drachenviereck | \(A = \frac{1}{2}ef\) |
| Flächeninhalt: Trapez + Gleichschenkliges Trapez + Rechtwinkliges Trapez |
\(A = m \cdot h = \frac{1}{2}(a+c) \cdot h\) |
| Schwer | |
| Flächeninhalt: Tangentenviereck | \(A = r_i(a+c) = r_i(b+d)\) |
| Flächeninhalt: Sehnenviereck | \(A = \sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}\) mit \(s = \frac{1}{2}(a+b+c+d)\) |
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