Flächeninhalt:
Quadrat
In diesem Kapitel lernen wir, den Flächeninhalt eines Quadrats zu berechnen.
Flächeninhalt ist der Fachbegriff für die Größe einer Fläche.
Notwendiges Vorwissen: Flächeninhalt eines Rechtecks
Quadrat: Herleitung der Flächenformel
Der Flächeninhalt eines Rechtecks
berechnet sich nach der Formel
\(A = a \cdot b\) (Länge mal Breite)
Formel für den Flächeninhalt eines Quadrats
\(A = a^2\) (Seitenlänge mal Seitenlänge)
Dabei steht \(a\) für eine Länge und \(A\) für einen Flächeninhalt.
| Längeneinheiten | Flächeneinheiten | ||
| \(\mathrm{mm}\) | Millimeter | \(\mathrm{mm}^2\) | Quadratmillimeter |
| \(\mathrm{cm}\) | Zentimeter | \(\mathrm{cm}^2\) | Quadratzentimeter |
| \(\mathrm{dm}\) | Dezimeter | \(\mathrm{dm}^2\) | Quadratdezimeter |
| \(\mathrm{m}\) | Meter | \(\mathrm{m}^2\) | Quadratmeter |
| \(\mathrm{km}\) | Kilometer | \(\mathrm{km}^2\) | Quadratkilometer |
Quadrat: Flächeninhalt berechnen
Die folgenden Beispiele sollen dich mit der Flächenformel für Quadrate vertraut machen.
Achte besonders auf die Einheiten! Eine \(4~\mathrm{cm}\) große Fläche gibt es nicht!
a) Seitenlänge gegeben
1) Formel aufschreiben
2) Wert für \(a\) einsetzen
3) Ergebnis berechnen
Beispiele
- Wie groß ist der Flächeninhalt eines Quadrats mit der Seitenlänge \(a = 2~\mathrm{cm}\)?
1) Formel aufschreiben
\(A = a^2\)
2) Wert für \(a\) einsetzen
\(\phantom{A} = (2~\mathrm{cm})^2\)
3) Ergebnis berechnen
\(\begin{align*}
\phantom{A}
&= 2^2~\mathrm{cm}^2 \\[5px]
&= 4~\mathrm{cm}^2
\end{align*}\) - Wie groß ist der Flächeninhalt eines Quadrats mit der Seitenlänge \(a = 4~\mathrm{m}\)?
1) Formel aufschreiben
\(A = a^2\)
2) Wert für \(a\) einsetzen
\(\phantom{A} = (4~\mathrm{m})^2\)
3) Ergebnis berechnen
\(\begin{align*}
\phantom{A}
&= 4^2~\mathrm{m}^2 \\[5px]
&= 16~\mathrm{m}^2
\end{align*}\) - Wie groß ist der Flächeninhalt eines Quadrats mit der Seitenlänge \(a = 6~\mathrm{LE}\)?
1) Formel aufschreiben
\(A = a^2\)
2) Wert für \(a\) einsetzen
\(\phantom{A} = (6~\mathrm{LE})^2\)
3) Ergebnis berechnen
\(\begin{align*}
\phantom{A}
&= 6^2~\mathrm{LE}^2 \\[5px]
&= 36~\mathrm{LE}^2
\end{align*}\)
b) Umfang gegeben
1) \(a\) berechnen
1.1) Formel aufschreiben
1.2) Formel nach \(a\) auflösen
1.3) Wert für \(U\) einsetzen
1.4) Ergebnis berechnen
2) \(A\) berechnen
2.1) Formel aufschreiben
2.2) Wert für \(a\) einsetzen
2.3) Ergebnis berechnen
Anmerkung
Zu 1.1) Formel für den Umfang eines Quadrats
Zu 2.1) Formel für den Flächeninhalt eines Quadrats
Beispiel
- Wie groß ist der Flächeninhalt eines Quadrats mit dem Umfang \(U = 20~\mathrm{cm}\)?
1.1) Formel aufschreiben
\(U = 4a\)
1.2) Formel nach \(a\) auflösen
\(\begin{align*}
U &= 4a &&\text{| Seiten vertauschen} \\[5px]
4a &= U &&\text{| \(:4\)} \\[5px]
\frac{4a}{4} &= \frac{U}{4} \\[5px]
a &= \frac{1}{4}U
\end{align*}\)
1.3) Wert für \(U\) einsetzen
\(a = \frac{1}{4} \cdot 20~\mathrm{cm}\)
1.4) Ergebnis berechnen
\(\phantom{a} = 5~\mathrm{cm}\)
2.1) Formel aufschreiben
\(A = a^2\)
2.2) Wert für \(a\) einsetzen
\(A = (5~\mathrm{cm})^2\)
2.3) Ergebnis berechnen
\(\begin{align*}
\phantom{A}
&= 5^2~\mathrm{cm}^2 \\[5px]
&= 25~\mathrm{cm}^2
\end{align*}\)
c) Länge der Diagonalen gegeben
1) \(a\) berechnen
1.1) Formel aufschreiben
1.2) Formel nach \(a\) auflösen
1.3) Wert für \(d\) einsetzen
1.4) Ergebnis berechnen
2) \(A\) berechnen
2.1) Formel aufschreiben
2.2) Wert für \(a\) einsetzen
2.3) Ergebnis berechnen
Anmerkung
Zu 1.1) Formel für die Länge einer Diagonalen eines Quadrats
Zu 2.1) Formel für den Flächeninhalt eines Quadrats
Beispiel
- Wie groß ist der Flächeninhalt eines Quadrats mit der Diagonale \(d = 3~\mathrm{m}\)?
1.1) Formel aufschreiben
\(d = a\sqrt{2}\)
1.2) Formel nach \(a\) auflösen
\(\begin{align*}
d &= a\sqrt{2} &&\text{| Seiten vertauschen} \\[5px]
a\sqrt{2} &= d &&\text{|: \(\sqrt{2}\)} \\[5px]
\frac{a\sqrt{2}}{\sqrt{2}} &= \frac{d}{\sqrt{2}} \\[5px]
a &= \frac{d}{\sqrt{2}}
\end{align*}\)
1.3) Wert für \(d\) einsetzen
\(\begin{align*}
a
&= \frac{3~\mathrm{m}}{\sqrt{2}} \\[5px]
&= \frac{3}{\sqrt{2}}~\mathrm{m}
\end{align*}\)
1.4) Ergebnis berechnen
\(\begin{align*}
\phantom{a}
&= \frac{3}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}~\mathrm{m} \\[5px]
&= \frac{3 \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}}~\mathrm{m} \\[5px]
&= \frac{3\cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2 \cdot 2}}~\mathrm{m} \\[5px]
&= \frac{3 \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{4}}~\mathrm{m} \\[5px]
&= \frac{3 \cdot \sqrt{2}}{2}~\mathrm{m} \\[5px]
&= \frac{3}{2}\sqrt{2}~\mathrm{m} \\[5px]
&= 1{,}5\sqrt{2}~\mathrm{m}
\end{align*}\)
2.1) Formel aufschreiben
\(A = a^2\)
2.2) Wert für \(a\) einsetzen
\(\phantom{A} = (1{,}5\sqrt{2}~\mathrm{m})^2\)
2.3) Ergebnis berechnen
\(\begin{align*}
\phantom{A}
&= 1{,}5^2 \cdot \sqrt{2}^2~\mathrm{m}^2 \\[5px]
&= 2{,}25 \cdot 2~\mathrm{m}^2 \\[5px]
&= 4{,}5~\mathrm{m}^2
\end{align*}\)
Vierecke und deren Flächeninhalte
Alle geradlinig begrenzten Figuren lassen sich zu einem Rechteck umformen.
| Formel | |
| Leicht | |
| Flächeninhalt: Rechteck | \(A = a \cdot b\) (Länge mal Breite) |
| Flächeninhalt: Quadrat | \(A = a \cdot a\) (Seitenlänge mal Seitenlänge) |
| Mittel | |
| Flächeninhalt: Parallelogramm | \(A = a \cdot h_a = b \cdot h_b\) |
| Flächeninhalt: Raute | \(A = a \cdot h_a = \frac{1}{2}ef\) |
| Flächeninhalt: Drachenviereck | \(A = \frac{1}{2}ef\) |
| Flächeninhalt: Trapez + Gleichschenkliges Trapez + Rechtwinkliges Trapez |
\(A = m \cdot h = \frac{1}{2}(a+c) \cdot h\) |
| Schwer | |
| Flächeninhalt: Tangentenviereck | \(A = r_i(a+c) = r_i(b+d)\) |
| Flächeninhalt: Sehnenviereck | \(A = \sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}\) mit \(s = \frac{1}{2}(a+b+c+d)\) |
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