Flächeninhalt:
Quadrat

In diesem Kapitel lernen wir, den Flächeninhalt eines Quadrats zu berechnen.

Flächeninhalt ist der Fachbegriff für die Größe einer Fläche.

Notwendiges Vorwissen: Flächeninhalt eines Rechtecks

Quadrat: Herleitung der Flächenformel

Der Flächeninhalt eines Rechtecks
berechnet sich nach der Formel
\(A = a \cdot b\)   (Länge mal Breite)

Ein Quadrat hat vier gleich lange Seiten.

Die Flächenformel vereinfacht sich folglich zu
\(A = a \cdot a\)   (Seitenlänge mal Seitenlänge)

Statt \(a \cdot a\) schreiben wir abkürzend meist \(a^2\). Bei \(a^2\) handelt es sich um eine sog. Potenz.

Formel für den Flächeninhalt eines Quadrats

\(A = a^2\)   (Seitenlänge mal Seitenlänge)

Dabei steht \(a\) für eine Länge und \(A\) für einen Flächeninhalt.

Längeneinheiten Flächeneinheiten
\(\mathrm{mm}\) Millimeter \(\mathrm{mm}^2\) Quadratmillimeter
\(\mathrm{cm}\) Zentimeter \(\mathrm{cm}^2\) Quadratzentimeter
\(\mathrm{dm}\) Dezimeter \(\mathrm{dm}^2\) Quadratdezimeter
\(\mathrm{m}\) Meter \(\mathrm{m}^2\) Quadratmeter
\(\mathrm{km}\) Kilometer \(\mathrm{km}^2\) Quadratkilometer

Quadrat: Flächeninhalt berechnen

Die folgenden Beispiele sollen dich mit der Flächenformel für Quadrate vertraut machen.
Achte besonders auf die Einheiten! Eine \(4~\mathrm{cm}\) große Fläche gibt es nicht!

a) Seitenlänge gegeben

1) Formel aufschreiben
2) Wert für \(a\) einsetzen
3) Ergebnis berechnen

Beispiele

  • Wie groß ist der Flächeninhalt eines Quadrats mit der Seitenlänge \(a = 2~\mathrm{cm}\)?

    1) Formel aufschreiben

    \(A = a^2\)

    2) Wert für \(a\) einsetzen

    \(\phantom{A} = (2~\mathrm{cm})^2\)

    3) Ergebnis berechnen

    \(\begin{align*}
    \phantom{A}
    &= 2^2~\mathrm{cm}^2 \\[5px]
    &= 4~\mathrm{cm}^2
    \end{align*}\)

  • Wie groß ist der Flächeninhalt eines Quadrats mit der Seitenlänge \(a = 4~\mathrm{m}\)?

    1) Formel aufschreiben

    \(A = a^2\)

    2) Wert für \(a\) einsetzen

    \(\phantom{A} = (4~\mathrm{m})^2\)

    3) Ergebnis berechnen

    \(\begin{align*}
    \phantom{A}
    &= 4^2~\mathrm{m}^2 \\[5px]
    &= 16~\mathrm{m}^2
    \end{align*}\)

  • Wie groß ist der Flächeninhalt eines Quadrats mit der Seitenlänge \(a = 6~\mathrm{LE}\)?

    1) Formel aufschreiben

    \(A = a^2\)

    2) Wert für \(a\) einsetzen

    \(\phantom{A} = (6~\mathrm{LE})^2\)

    3) Ergebnis berechnen

    \(\begin{align*}
    \phantom{A}
    &= 6^2~\mathrm{LE}^2 \\[5px]
    &= 36~\mathrm{LE}^2
    \end{align*}\)

b) Umfang gegeben

1) \(a\) berechnen
1.1) Formel aufschreiben
1.2) Formel nach \(a\) auflösen
1.3) Wert für \(U\) einsetzen
1.4) Ergebnis berechnen
2) \(A\) berechnen
2.1) Formel aufschreiben
2.2) Wert für \(a\) einsetzen
2.3) Ergebnis berechnen

Anmerkung

Zu 1.1) Formel für den Umfang eines Quadrats
Zu 2.1) Formel für den Flächeninhalt eines Quadrats

Beispiel

  • Wie groß ist der Flächeninhalt eines Quadrats mit dem Umfang \(U = 20~\mathrm{cm}\)?

    1.1) Formel aufschreiben

    \(U = 4a\)

    1.2) Formel nach \(a\) auflösen

    \(\begin{align*}
    U &= 4a &&\text{| Seiten vertauschen} \\[5px]
    4a &= U &&\text{| \(:4\)} \\[5px]
    \frac{4a}{4} &= \frac{U}{4} \\[5px]
    a &= \frac{1}{4}U
    \end{align*}\)

    1.3) Wert für \(U\) einsetzen

    \(a = \frac{1}{4} \cdot 20~\mathrm{cm}\)

    1.4) Ergebnis berechnen

    \(\phantom{a} = 5~\mathrm{cm}\)

    2.1) Formel aufschreiben

    \(A = a^2\)

    2.2) Wert für \(a\) einsetzen

    \(A = (5~\mathrm{cm})^2\)

    2.3) Ergebnis berechnen

    \(\begin{align*}
    \phantom{A}
    &= 5^2~\mathrm{cm}^2 \\[5px]
    &= 25~\mathrm{cm}^2
    \end{align*}\)

c) Länge der Diagonalen gegeben

1) \(a\) berechnen
1.1) Formel aufschreiben
1.2) Formel nach \(a\) auflösen
1.3) Wert für \(d\) einsetzen
1.4) Ergebnis berechnen
2) \(A\) berechnen
2.1) Formel aufschreiben
2.2) Wert für \(a\) einsetzen
2.3) Ergebnis berechnen

Anmerkung

Zu 1.1) Formel für die Länge einer Diagonalen eines Quadrats
Zu 2.1) Formel für den Flächeninhalt eines Quadrats

Beispiel

  • Wie groß ist der Flächeninhalt eines Quadrats mit der Diagonale \(d = 3~\mathrm{m}\)?

    1.1) Formel aufschreiben

    \(d = a\sqrt{2}\)

    1.2) Formel nach \(a\) auflösen

    \(\begin{align*}
    d &= a\sqrt{2} &&\text{| Seiten vertauschen} \\[5px]
    a\sqrt{2} &= d &&\text{|: \(\sqrt{2}\)} \\[5px]
    \frac{a\sqrt{2}}{\sqrt{2}} &= \frac{d}{\sqrt{2}} \\[5px]
    a &= \frac{d}{\sqrt{2}}
    \end{align*}\)

    1.3) Wert für \(d\) einsetzen

    \(\begin{align*}
    a
    &= \frac{3~\mathrm{m}}{\sqrt{2}} \\[5px]
    &= \frac{3}{\sqrt{2}}~\mathrm{m}
    \end{align*}\)

    1.4) Ergebnis berechnen

    \(\begin{align*}
    \phantom{a}
    &= \frac{3}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}~\mathrm{m} \\[5px]
    &= \frac{3 \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}}~\mathrm{m} \\[5px]
    &= \frac{3\cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2 \cdot 2}}~\mathrm{m} \\[5px]
    &= \frac{3 \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{4}}~\mathrm{m} \\[5px]
    &= \frac{3 \cdot \sqrt{2}}{2}~\mathrm{m} \\[5px]
    &= \frac{3}{2}\sqrt{2}~\mathrm{m} \\[5px]
    &= 1{,}5\sqrt{2}~\mathrm{m}
    \end{align*}\)

    2.1) Formel aufschreiben

    \(A = a^2\)

    2.2) Wert für \(a\) einsetzen

    \(\phantom{A} = (1{,}5\sqrt{2}~\mathrm{m})^2\)

    2.3) Ergebnis berechnen

    \(\begin{align*}
    \phantom{A}
    &= 1{,}5^2 \cdot \sqrt{2}^2~\mathrm{m}^2 \\[5px]
    &= 2{,}25 \cdot 2~\mathrm{m}^2 \\[5px]
    &= 4{,}5~\mathrm{m}^2
    \end{align*}\)

Vierecke und deren Flächeninhalte

Alle geradlinig begrenzten Figuren lassen sich zu einem Rechteck umformen.

  Formel
Leicht  
Flächeninhalt: Rechteck \(A = a \cdot b\)   (Länge mal Breite)
Flächeninhalt: Quadrat \(A = a \cdot a\)   (Seitenlänge mal Seitenlänge)
Mittel  
Flächeninhalt: Parallelogramm \(A = a \cdot h_a = b \cdot h_b\)
Flächeninhalt: Raute \(A = a \cdot h_a = \frac{1}{2}ef\)
Flächeninhalt: Drachenviereck \(A = \frac{1}{2}ef\)
Flächeninhalt: Trapez
+ Gleichschenkliges Trapez
+ Rechtwinkliges Trapez
\(A = m \cdot h = \frac{1}{2}(a+c) \cdot h\)
Schwer  
Flächeninhalt: Tangentenviereck \(A = r_i(a+c) = r_i(b+d)\)
Flächeninhalt: Sehnenviereck \(A = \sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}\)
mit \(s = \frac{1}{2}(a+b+c+d)\)

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Andreas Schneider

Mein Name ist Andreas Schneider und ich betreibe seit 2013 hauptberuflich die kostenlose und mehrfach ausgezeichnete Mathe-Lernplattform www.mathebibel.de. Jeden Monat werden meine Erklärungen von bis zu 1 Million Schülern, Studenten, Eltern und Lehrern aufgerufen. Nahezu täglich veröffentliche ich neue Inhalte. Abonniere jetzt meinen Newsletter und erhalte 5 meiner 42 Lernhilfen gratis!