Flächeninhalt: Quadrat
In diesem Kapitel lernen wir, den Flächeninhalt eines Quadrats zu berechnen.
Ein Quadrat
ist eine geometrische Figur, genauer gesagt ein Viereck, mit speziellen Eigenschaften und Flächeninhalt
ist der Fachbegriff für die Größe einer Fläche.
Erforderliches Vorwissen
Herleitung der Formel
Der Flächeninhalt eines Rechtecks berechnet sich nach der Formel $A = a \cdot b$ (Länge mal Breite).
Formel
$A = a^2$ (Seitenlänge mal Seitenlänge
)
Dabei steht $a$ für eine Länge und $A$ für einen Flächeninhalt.
| Längeneinheiten | Flächeneinheiten |
|---|---|
$\textrm{mm}$ Millimeter | $\textrm{mm}^2$ Quadratmillimeter |
$\textrm{cm}$ Zentimeter | $\textrm{cm}^2$ Quadratzentimeter |
$\textrm{dm}$ Dezimeter | $\textrm{dm}^2$ Quadratdezimeter |
$\textrm{m}$ Meter | $\textrm{m}^2$ Quadratmeter |
$\textrm{km}$ Kilometer | $\textrm{km}^2$ Quadratkilometer |
Beispiele
Die folgenden Beispiele sollen dich mit der Flächenformel für Quadrate vertraut machen.
Achte besonders auf die Einheiten! Eine $4\ \textrm{cm}$ große Fläche gibt es nicht!
Seitenlänge gegeben
Formel aufschreiben
Wert für $\boldsymbol{a}$ einsetzen
Ergebnis berechnen
Wie groß ist der Flächeninhalt eines Quadrats mit der Seitenlänge $a = 2\ \textrm{cm}$?
Formel aufschreiben
$$ A = a^2 $$
Wert für $\boldsymbol{a}$ einsetzen
$$ \phantom{A} = (2\ \textrm{cm})^2 $$
Ergebnis berechnen
$$ \begin{align*} \phantom{A} &= 2^2\ \textrm{cm}^2 \\[5px] &= 4\ \textrm{cm}^2 \end{align*} $$
Wie groß ist der Flächeninhalt eines Quadrats mit der Seitenlänge $a = 4\ \textrm{m}$?
Formel aufschreiben
$$ A = a^2 $$
Wert für $\boldsymbol{a}$ einsetzen
$$ \phantom{A} = (4\ \textrm{m})^2 $$
Ergebnis berechnen
$$ \begin{align*} \phantom{A} &= 4^2\ \textrm{m}^2 \\[5px] &= 16\ \textrm{m}^2 \end{align*} $$
Wie groß ist der Flächeninhalt eines Quadrats mit der Seitenlänge $a = 6\ \textrm{LE}$?
Formel aufschreiben
$$ A = a^2 $$
Wert für $\boldsymbol{a}$ einsetzen
$$ \phantom{A} = (6\ \textrm{LE})^2 $$
Ergebnis berechnen
$$ \begin{align*} \phantom{A} &= 6^2\ \textrm{LE}^2 \\[5px] &= 36\ \textrm{LE}^2 \end{align*} $$
Umfang gegeben
$\boldsymbol{a}$ berechnen
Formel aufschreiben
Formel nach $a$ auflösen
Wert für $U$ einsetzen
Ergebnis berechnen
$\boldsymbol{A}$ berechnen
Formel aufschreiben
Wert für $a$ einsetzen
Ergebnis berechnen
Wie groß ist der Flächeninhalt eines Quadrats mit dem Umfang $U = 20\ \textrm{cm}$?
$\boldsymbol{a}$ berechnen
Formel aufschreiben
$$ U = 4a $$
Formel nach $a$ auflösen
$$ \begin{align*} U &= 4a &&\text{| Seiten vertauschen} \\[5px] 4a &= U &&\text{| $:4$} \\[5px] \frac{4a}{4} &= \frac{U}{4} \\[5px] a &= \frac{1}{4}U \end{align*} $$
Wert für $U$ einsetzen
$$ a = \frac{1}{4} \cdot 20\ \textrm{cm} $$
Ergebnis berechnen
$$ \phantom{a} = 5\ \textrm{cm} $$
$\boldsymbol{A}$ berechnen
Formel aufschreiben
$$ A = a^2 $$
Wert für $a$ einsetzen
$$ \phantom{A} = (5\ \textrm{cm})^2 $$
Ergebnis berechnen
$$ \begin{align*} \phantom{A} &= 5^2\ \textrm{cm}^2 \\[5px] &= 25\ \textrm{cm}^2 \end{align*} $$
Länge der Diagonalen gegeben
$\boldsymbol{a}$ berechnen
Formel aufschreiben
Formel nach $a$ auflösen
Wert für $d$ einsetzen
Ergebnis berechnen
$\boldsymbol{A}$ berechnen
Formel aufschreiben
Wert für $a$ einsetzen
Ergebnis berechnen
Wie groß ist der Flächeninhalt eines Quadrats mit der Diagonale $d = 3\ \textrm{m}$?
$\boldsymbol{a}$ berechnen
Formel aufschreiben
$$ d = a\sqrt{2} $$
Formel nach $a$ auflösen
$$ \begin{align*} d &= a\sqrt{2} &&\text{| Seiten vertauschen} \\[5px] a\sqrt{2} &= d &&\text{|: $\sqrt{2}$} \\[5px] \frac{a\sqrt{2}}{\sqrt{2}} &= \frac{d}{\sqrt{2}} \\[5px] a &= \frac{d}{\sqrt{2}} \end{align*} $$
Wert für $d$ einsetzen
$$ \begin{align*} a &= \frac{3\ \textrm{m}}{\sqrt{2}} \\[5px] &= \frac{3}{\sqrt{2}}\ \textrm{m} \end{align*} $$
Ergebnis berechnen
$$ \begin{align*} \phantom{a} &= \frac{3}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}\ \textrm{m} \\[5px] &= \frac{3 \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}}\ \textrm{m} \\[5px] &= \frac{3\cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2 \cdot 2}}\ \textrm{m} \\[5px] &= \frac{3 \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{4}}\ \textrm{m} \\[5px] &= \frac{3 \cdot \sqrt{2}}{2}\ \textrm{m} \\[5px] &= \frac{3}{2}\sqrt{2}\ \textrm{m} \\[5px] &= 1{,}5\sqrt{2}\ \textrm{m} \end{align*} $$
$\boldsymbol{A}$ berechnen
Formel aufschreiben
$$ A = a^2 $$
Wert für $a$ einsetzen
$$ \phantom{A} = (1{,}5\sqrt{2}\ \textrm{m})^2 $$
Ergebnis berechnen
$$ \begin{align*} \phantom{A} &= 1{,}5^2 \cdot \sqrt{2}^2\ \textrm{m}^2 \\[5px] &= 2{,}25 \cdot 2\ \textrm{m}^2 \\[5px] &= 4{,}5\ \textrm{m}^2 \end{align*} $$
