Flächeninhalt:
Quadrat

In diesem Kapitel lernen wir, den Flächeninhalt eines Quadrats zu berechnen.

Flächeninhalt ist der Fachbegriff für die Größe einer Fläche.

Notwendiges Vorwissen: Flächeninhalt eines Rechtecks

Quadrat: Herleitung der Flächenformel

Der Flächeninhalt eines Rechtecks
berechnet sich nach der Formel
\(A = a \cdot b\)   (Länge mal Breite)

Ein Quadrat hat vier gleich lange Seiten.

Die Flächenformel vereinfacht sich folglich zu
\(A = a \cdot a\)   (Seitenlänge mal Seitenlänge)

Statt \(a \cdot a\) schreiben wir abkürzend meist \(a^2\). Bei \(a^2\) handelt es sich um eine sog. Potenz.

Formel für den Flächeninhalt eines Quadrats

\(A = a^2\)   (Seitenlänge mal Seitenlänge)

Dabei steht \(a\) für eine Länge und \(A\) für einen Flächeninhalt.

Längeneinheiten Flächeneinheiten
\(\mathrm{mm}\) Millimeter \(\mathrm{mm}^2\) Quadratmillimeter
\(\mathrm{cm}\) Zentimeter \(\mathrm{cm}^2\) Quadratzentimeter
\(\mathrm{dm}\) Dezimeter \(\mathrm{dm}^2\) Quadratdezimeter
\(\mathrm{m}\) Meter \(\mathrm{m}^2\) Quadratmeter
\(\mathrm{km}\) Kilometer \(\mathrm{km}^2\) Quadratkilometer

Quadrat: Flächeninhalt berechnen

Die folgenden Beispiele sollen dich mit der Flächenformel für Quadrate vertraut machen.
Achte besonders auf die Einheiten! Eine \(4~\mathrm{cm}\) große Fläche gibt es nicht!

Beispiel 1

Wie groß ist der Flächeninhalt eines Quadrats mit der Seitenlänge \(a = 2~\mathrm{cm}\)?

Lösung zu Beispiel 1

\(\begin{align*} A &= a^2\\ &= (2~\mathrm{cm})^2\\ &= 2^2~\mathrm{cm}^2 \\ &= 4~\mathrm{cm}^2 \end{align*}\)

Beispiel 2

Wie groß ist der Flächeninhalt eines Quadrats mit der Seitenlänge \(a = 4~\mathrm{m}\)?

Lösung zu Beispiel 2

\(\begin{align*} A &= a^2\\ &= (4~\mathrm{m})^2\\ &= 4^2~\mathrm{m}^2 \\ &= 16~\mathrm{m}^2 \end{align*}\)

Beispiel 3

Wie groß ist der Flächeninhalt eines Quadrats mit der Seitenlänge \(a = 6~\mathrm{km}\)?

Lösung zu Beispiel 3

\(\begin{align*} A &= a^2\\ &= (6~\mathrm{km})^2\\ &= 6^2~\mathrm{km}^2 \\ &= 36~\mathrm{km}^2 \end{align*}\)

Vierecke und deren Flächeninhalte

Alle geradlinig begrenzten Figuren lassen sich zu einem Rechteck umformen.

  Formel
Leicht  
Flächeninhalt: Rechteck \(A = a \cdot b\)   (Länge mal Breite)
Flächeninhalt: Quadrat \(A = a \cdot a\)   (Seitenlänge mal Seitenlänge)
Mittel  
Flächeninhalt: Parallelogramm \(A = a \cdot h_a = b \cdot h_b\)
Flächeninhalt: Raute \(A = a \cdot h_a = \frac{1}{2}ef\)
Flächeninhalt: Drachenviereck \(A = \frac{1}{2}ef\)
Flächeninhalt: Trapez
+ Gleichschenkliges Trapez
+ Rechtwinkliges Trapez
\(A = m \cdot h = \frac{1}{2}(a+c) \cdot h\)
Schwer  
Flächeninhalt: Tangentenviereck \(A = r_i(a+c) = r_i(b+d)\)
Flächeninhalt: Sehnenviereck \(A = \sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}\)
mit \(s = \frac{1}{2}(a+b+c+d)\)
Andreas Schneider

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Andreas Schneider

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