Diagonale
(Quadrat)

In diesem Kapitel lernen wir, die Diagonale eines Quadrats zu berechnen.

Diagonale ist der Fachbegriff für die
Verbindungsstrecke zweier Gegenecken.


In einem allgemeinen Viereck sind die beiden Diagonalen verschieden lang und werden meist mit \(e\) und \(f\) bezeichnet.

In einem Quadrat sind die beiden Diagonalen gleich lang. Sie werden in der Regel einfach mit dem Buchstaben \(d\) bezeichnet.

Im Folgenden schauen wir uns an, wie wir \(d\) berechnen können, wenn \(a\) gegeben ist.

Diagonale Quadrat: Herleitung der Formel

Die Diagonale \(d\) zerlegt das Quadrat in zwei rechtwinklige Dreiecke: \(\triangle ABC\) und \(\triangle ACD\).

\(d\) ist die Hypotenuse beider Dreiecke, also die Seite, die dem rechten Winkel gegenüber liegt.

1.) Satz des Pythagoras: \(d^2 = a^2 + a^2\).
2.) Gleichung vereinfachen: \(d^2 = 2a^2\).
3.) Teilweises Wurzelziehen: \(d = a\sqrt{2}\).

Formel für die Diagonale eines Quadrats

\(d = a\sqrt{2}\)

\(a\) und \(d\) sind Längen in derselben Maßeinheit.

Längeneinheiten
\(\mathrm{mm}\) Millimeter
\(\mathrm{cm}\) Zentimeter
\(\mathrm{dm}\) Dezimeter
\(\mathrm{m}\) Meter
\(\mathrm{km}\) Kilometer

Quadrat: Diagonale berechnen

Notwendiges Vorwissen

Beispiel 1

Wie lang ist die Diagonale eines Quadrats mit der Seitenlänge \(a = 2~\mathrm{cm}\)?


Lösung zu Beispiel 1

\(\begin{align*} d &= a\sqrt{2}\\ &= 2~\mathrm{cm} \cdot \sqrt{2}\\ &= 2\sqrt{2}~\mathrm{cm} \\ &\approx 2{,}83~\mathrm{cm} \end{align*}\)

Beispiel 2

Wie lang ist die Diagonale eines Quadrats mit der Seitenlänge \(a = 4~\mathrm{m}\)?


Lösung zu Beispiel 2

\(\begin{align*} d &= a\sqrt{2}\\ &= 4~\mathrm{m} \cdot \sqrt{2}\\ &= 4\sqrt{2}~\mathrm{m} \\ &\approx 5{,}66~\mathrm{m} \end{align*}\)

Beispiel 3

Wie lang ist die Diagonale eines Quadrats mit der Seitenlänge \(a = 6~\mathrm{km}\)?


Lösung zu Beispiel 3

\(\begin{align*} d &= a\sqrt{2}\\ &= 6~\mathrm{km} \cdot \sqrt{2}\\ &= 6\sqrt{2}~\mathrm{km} \\ &\approx 8{,}49~\mathrm{km} \end{align*}\)

Schon gewusst? Die Diagonale eines Rechtecks berechnet sich auf ähnliche Art und Weise.

Andreas Schneider

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Andreas Schneider

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