Wurzelziehen

1. Quadratwurzeln berechnen

1.1 Wurzelziehen mit Zahlen

Beispiel 1

\(\sqrt{729} =\)

1.) Primfaktorzerlegung

\(\begin{align*}
\phantom{\sqrt{729}}
&= \sqrt{3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3}\\
&= \sqrt{3^6}
\end{align*}\)

2.) Wurzel auseinanderziehen

Diesen Schritt kann man sich hier sparen.
(Unter der Wurzel befindet sich nur eine Potenz!)

3.) Wurzeln als Potenzen schreiben

\(\begin{align*}
\phantom{\sqrt{729}}
&= \sqrt[{\color{red}2}]{3^6}\\
&= 3^\frac{6}{{\color{red}2}}
\end{align*}\)

4.) Exponenten kürzen

\(\begin{align*}
\phantom{\sqrt{729}}
&= 3^3\\
&= 3 \cdot 3 \cdot 3\\
&= 27
\end{align*}\)

Beispiel 2

\(\sqrt{144} =\)

1.) Primfaktorzerlegung

\(\begin{align*}
\phantom{\sqrt{144}}
&= \sqrt{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3}\\
&= \sqrt{2^4 \cdot 3^2}
\end{align*}\)

2.) Wurzel auseinanderziehen

\(\begin{align*}
\phantom{\sqrt{144}}
&= \sqrt{2^4} \cdot \sqrt{3^2}
\end{align*}\)

3.) Wurzeln als Potenzen schreiben

\(\begin{align*}
\phantom{\sqrt{144}}
&= \sqrt[{\color{red}2}]{2^4} \cdot \sqrt[{\color{red}2}]{3^2}\\
&= 2^\frac{4}{{\color{red}2}} \cdot 3^\frac{2}{{\color{red}2}}
\end{align*}\)

4.) Exponenten kürzen

\(\begin{align*}
\phantom{\sqrt{144}}
&= 2^2 \cdot 3^1\\
&= 2 \cdot 2 \cdot 3\\
&= 12
\end{align*}\)

1.2 Wurzelziehen mit Variablen

Beispiel 1

\(\sqrt{a^{12}} =\)

1.) Primfaktorzerlegung

Diesen Schritt kann man sich hier sparen.
(Unter der Wurzel kommen nur Variablen vor!)

2.) Wurzel auseinanderziehen

Diesen Schritt kann man sich hier sparen.
(Unter der Wurzel befindet sich nur eine Potenz!)

3.) Wurzeln als Potenzen schreiben

\(\begin{align*}
\phantom{\sqrt{a^{12}}}
&= \sqrt[{\color{red}2}]{a^{12}}\\
&= a^\frac{12}{{\color{red}2}}
\end{align*}\)

4.) Exponenten kürzen

\(\begin{align*}
\phantom{\sqrt{a^{12}}}
&= a^6
\end{align*}\)

Beispiel 2

\(\sqrt{9a^4b^6} =\)

1.) Primfaktorzerlegung

\(\begin{align*}
\phantom{\sqrt{9a^4b^6}}
&= \sqrt{3 \cdot 3 \cdot a^4 \cdot b^6}\\
&= \sqrt{3^2 \cdot a^4 \cdot b^6}
\end{align*}\)

2.) Wurzel auseinanderziehen

\(\begin{align*}
\phantom{\sqrt{9a^4b^6}}
&= \sqrt{3^2} \cdot \sqrt{a^4} \cdot \sqrt{b^6}
\end{align*}\)

3.) Wurzeln als Potenzen schreiben

\(\begin{align*}
\phantom{\sqrt{9a^4b^6}}
&= \sqrt[{\color{red}2}]{3^2} \cdot \sqrt[{\color{red}2}]{a^4} \cdot \sqrt[{\color{red}2}]{b^6}\\
&= 3^\frac{2}{{\color{red}2}} \cdot a^\frac{4}{{\color{red}2}} \cdot b^\frac{6}{{\color{red}2}}
\end{align*}\)

4.) Exponenten kürzen

\(\begin{align*}
\phantom{\sqrt{9a^4b^6}}
&= 3^1 \cdot a^2 \cdot b^3\\
&= 3a^2b^3
\end{align*}\)

2. Höhere Wurzeln berechnen

2.1 Wurzelziehen mit Zahlen

Beispiel 1

\(\sqrt[6]{64} =\)

1.) Primfaktorzerlegung

\(\begin{align*}
\phantom{\sqrt[6]{64}}
&= \sqrt[6]{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2}\\
&= \sqrt[{\color{red}6}]{2^6}
\end{align*}\)

2.) Wurzel auseinanderziehen

Diesen Schritt kann man sich hier sparen.
(Unter der Wurzel befindet sich nur eine Potenz!)

3.) Wurzeln als Potenzen schreiben

\(\begin{align*}
\phantom{\sqrt[6]{64}}
&= 2^\frac{6}{{\color{red}6}}
\end{align*}\)

4.) Exponenten kürzen

\(\begin{align*}
\phantom{\sqrt[6]{64}}
&= 2^1\\
&= 2
\end{align*}\)

Beispiel 2

\(\sqrt[3]{216} =\)

1.) Primfaktorzerlegung

\(\begin{align*}
\phantom{\sqrt[3]{216}}
&= \sqrt[3]{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3}\\
&= \sqrt[3]{2^3 \cdot 3^3}
\end{align*}\)

2.) Wurzel auseinanderziehen

\(\begin{align*}
\phantom{\sqrt[3]{216}}
&= \sqrt[{\color{red}3}]{2^3} \cdot \sqrt[{\color{red}3}]{3^3}
\end{align*}\)

3.) Wurzeln als Potenzen schreiben

\(\begin{align*}
\phantom{\sqrt[3]{216}}
&= 2^\frac{3}{{\color{red}3}} \cdot 3^\frac{3}{{\color{red}3}}
\end{align*}\)

4.) Exponenten kürzen

\(\begin{align*}
\phantom{\sqrt[3]{216}}
&= 2^1 \cdot 3^1\\
&= 2 \cdot 3\\
&= 6
\end{align*}\)

2.2 Wurzelziehen mit Variablen

Beispiel 1

\(\sqrt[{\color{red}5}]{a^{-15}} =\)

1.) Primfaktorzerlegung

Diesen Schritt kann man sich hier sparen.
(Unter der Wurzel kommen nur Variablen vor!)

2.) Wurzel auseinanderziehen

Diesen Schritt kann man sich hier sparen.
(Unter der Wurzel befindet sich nur eine Potenz!)

3.) Wurzeln als Potenzen schreiben

\(\begin{align*}
\phantom{\sqrt[5]{a^{-15}}}
&= a^\frac{-15}{{\color{red}5}}
\end{align*}\)

4.) Exponenten kürzen

\(\begin{align*}
\phantom{\sqrt[5]{a^{-15}}}
&= a^{-3}
\end{align*}\)

Beispiel 2

\(\sqrt[3]{8(a+b)^3} =\)

1.) Primfaktorzerlegung

\(\begin{align*}
\phantom{\sqrt[3]{8(a+b)^3}}
&= \sqrt[3]{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot (a+b)^3}\\
&= \sqrt[3]{2^3 \cdot (a+b)^3}
\end{align*}\)

2.) Wurzel auseinanderziehen

\(\begin{align*}
\phantom{\sqrt[3]{8(a+b)^3}}
&= \sqrt[{\color{red}3}]{2^3} \cdot \sqrt[{\color{red}3}]{(a+b)^3}
\end{align*}\)

3.) Wurzeln als Potenzen schreiben

\(\begin{align*}
\phantom{\sqrt[3]{8(a+b)^3}}
&= 2^\frac{3}{{\color{red}3}} \cdot (a+b)^\frac{3}{{\color{red}3}}\\
\end{align*}\)

4.) Exponenten kürzen

\(\begin{align*}
\phantom{\sqrt[3]{8(a+b)^3}}
&= 2^1 \cdot (a+b)^1\\
&= 2(a+b)
\end{align*}\)

In diesem Kapitel haben wir einen Spezialfall besprochen: Bei allen obigen Beispielen ist im Ergebnis, d.h. im Wurzelwert, keine Wurzel mehr vorhanden. Oft bleibt jedoch im Ergebnis
eine Wurzel stehen. Mehr dazu erfährst du im nächsten Kapitel: Teilweises Wurzelziehen.