Wurzelziehen
In diesem Kapitel schauen wir uns an, wie das Wurzelziehen funktioniert.
(Alternative Bezeichnung: Radizieren)
Es empfiehlt sich, zunächst den Einführungsartikel zum Thema Wurzeln zu lesen.
Problemstellung
Vielleicht ist dir bereits bekannt, dass die Wurzel aus 4 gleich 2 ist: \(\sqrt{4} = 2\).
Die 2 bezeichnet man in diesem Fall auch als den „Wurzelwert“.
Die Berechnung des Wurzelwertes bezeichnet man als „Wurzelziehen“ oder „Radizieren“.
Im Folgenden lernen wir ein Verfahren kennen, mit dessen Hilfe wir jede beliebige Wurzel berechnen können. Dabei spielt es keine Rolle, ob \(\sqrt{729}\), \(\sqrt{9a^4b^6}\) oder \(\sqrt[3]{216}\) gesucht ist.
Vorgehensweise
- Primfaktorzerlegung
- Wurzel auseinanderziehen
- Wurzeln als Potenzen schreiben
- Exponenten kürzen
zu 1.)
1.1 Zahl unter der Wurzel in ein Produkt aus Primzahlen zerlegen [> Primfaktorzerlegung]
(Bsp. \(\sqrt{36} = \sqrt{2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3}\))
1.2 Primzahlen zusammenfassen
(Bsp. \(\sqrt{2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3} = \sqrt{2^2 \cdot 3^2}\))
Falls nur Variablen unter der Wurzel sind, kann man sich diesen Schritt sparen.
zu 2.)
Wurzel auseinanderziehen [= Umkehrung des Wurzelgesetzes „Wurzeln multiplizieren“]
(Bsp. \(\sqrt{2^2 \cdot 3^2} = \sqrt{2^2} \cdot \sqrt{3^2}\))
Falls nur eine Potenz unter der Wurzel ist, kann man sich diesen Schritt sparen.
zu 3.)
Wurzeln als Potenzen schreiben [> Wurzeln in Potenzen umformen]
(Bsp. \(\sqrt[{\color{red}2}]{2^2} \cdot \sqrt[{\color{red}2}]{3^2} = 2^\frac{2}{{\color{red}2}} \cdot 3^\frac{2}{{\color{red}2}}\))
zu 4.)
Durch die Umwandlung der Wurzeln in Potenzen (3. Schritt) erhält man Potenzen mit „gebrochenrationalen Exponenten“, d.h. die Exponenten der Potenzen sind Brüche...
...und Brüche lassen sich bekanntlich kürzen [> Brüche kürzen].
(Bsp. \(2^\frac{2}{2} \cdot 3^\frac{2}{2} = 2^1 \cdot 3^1 = 2 \cdot 3 = 6\))
\(\Rightarrow \sqrt{36} = 6\)
Inhaltsverzeichnis
Im Folgenden schauen wir uns zahlreiche Beispiele an:
1. Quadratwurzeln berechnen
1.1 Wurzelziehen mit Zahlen
Beispiel 1
\(\sqrt{729} =\)
1.) Primfaktorzerlegung
\(\begin{align*}
\phantom{\sqrt{729}}
&= \sqrt{3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3}\\
&= \sqrt{3^6}
\end{align*}\)
2.) Wurzel auseinanderziehen
Diesen Schritt kann man sich hier sparen.
(Unter der Wurzel befindet sich nur eine Potenz!)
3.) Wurzeln als Potenzen schreiben
\(\begin{align*}
\phantom{\sqrt{729}}
&= \sqrt[{\color{red}2}]{3^6}\\
&= 3^\frac{6}{{\color{red}2}}
\end{align*}\)
4.) Exponenten kürzen
\(\begin{align*}
\phantom{\sqrt{729}}
&= 3^3\\
&= 3 \cdot 3 \cdot 3\\
&= 27
\end{align*}\)
Beispiel 2
\(\sqrt{144} =\)
1.) Primfaktorzerlegung
\(\begin{align*}
\phantom{\sqrt{144}}
&= \sqrt{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3}\\
&= \sqrt{2^4 \cdot 3^2}
\end{align*}\)
2.) Wurzel auseinanderziehen
\(\begin{align*}
\phantom{\sqrt{144}}
&= \sqrt{2^4} \cdot \sqrt{3^2}
\end{align*}\)
3.) Wurzeln als Potenzen schreiben
\(\begin{align*}
\phantom{\sqrt{144}}
&= \sqrt[{\color{red}2}]{2^4} \cdot \sqrt[{\color{red}2}]{3^2}\\
&= 2^\frac{4}{{\color{red}2}} \cdot 3^\frac{2}{{\color{red}2}}
\end{align*}\)
4.) Exponenten kürzen
\(\begin{align*}
\phantom{\sqrt{144}}
&= 2^2 \cdot 3^1\\
&= 2 \cdot 2 \cdot 3\\
&= 12
\end{align*}\)
1.2 Wurzelziehen mit Variablen
Beispiel 1
\(\sqrt{a^{12}} =\)
1.) Primfaktorzerlegung
Diesen Schritt kann man sich hier sparen.
(Unter der Wurzel kommen nur Variablen vor!)
2.) Wurzel auseinanderziehen
Diesen Schritt kann man sich hier sparen.
(Unter der Wurzel befindet sich nur eine Potenz!)
3.) Wurzeln als Potenzen schreiben
\(\begin{align*}
\phantom{\sqrt{a^{12}}}
&= \sqrt[{\color{red}2}]{a^{12}}\\
&= a^\frac{12}{{\color{red}2}}
\end{align*}\)
4.) Exponenten kürzen
\(\begin{align*}
\phantom{\sqrt{a^{12}}}
&= a^6
\end{align*}\)
Beispiel 2
\(\sqrt{9a^4b^6} =\)
1.) Primfaktorzerlegung
\(\begin{align*}
\phantom{\sqrt{9a^4b^6}}
&= \sqrt{3 \cdot 3 \cdot a^4 \cdot b^6}\\
&= \sqrt{3^2 \cdot a^4 \cdot b^6}
\end{align*}\)
2.) Wurzel auseinanderziehen
\(\begin{align*}
\phantom{\sqrt{9a^4b^6}}
&= \sqrt{3^2} \cdot \sqrt{a^4} \cdot \sqrt{b^6}
\end{align*}\)
3.) Wurzeln als Potenzen schreiben
\(\begin{align*}
\phantom{\sqrt{9a^4b^6}}
&= \sqrt[{\color{red}2}]{3^2} \cdot \sqrt[{\color{red}2}]{a^4} \cdot \sqrt[{\color{red}2}]{b^6}\\
&= 3^\frac{2}{{\color{red}2}} \cdot a^\frac{4}{{\color{red}2}} \cdot b^\frac{6}{{\color{red}2}}
\end{align*}\)
4.) Exponenten kürzen
\(\begin{align*}
\phantom{\sqrt{9a^4b^6}}
&= 3^1 \cdot a^2 \cdot b^3\\
&= 3a^2b^3
\end{align*}\)
2. Höhere Wurzeln berechnen
2.1 Wurzelziehen mit Zahlen
Beispiel 1
\(\sqrt[6]{64} =\)
1.) Primfaktorzerlegung
\(\begin{align*}
\phantom{\sqrt[6]{64}}
&= \sqrt[6]{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2}\\
&= \sqrt[{\color{red}6}]{2^6}
\end{align*}\)
2.) Wurzel auseinanderziehen
Diesen Schritt kann man sich hier sparen.
(Unter der Wurzel befindet sich nur eine Potenz!)
3.) Wurzeln als Potenzen schreiben
\(\begin{align*}
\phantom{\sqrt[6]{64}}
&= 2^\frac{6}{{\color{red}6}}
\end{align*}\)
4.) Exponenten kürzen
\(\begin{align*}
\phantom{\sqrt[6]{64}}
&= 2^1\\
&= 2
\end{align*}\)
Beispiel 2
\(\sqrt[3]{216} =\)
1.) Primfaktorzerlegung
\(\begin{align*}
\phantom{\sqrt[3]{216}}
&= \sqrt[3]{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3}\\
&= \sqrt[3]{2^3 \cdot 3^3}
\end{align*}\)
2.) Wurzel auseinanderziehen
\(\begin{align*}
\phantom{\sqrt[3]{216}}
&= \sqrt[{\color{red}3}]{2^3} \cdot \sqrt[{\color{red}3}]{3^3}
\end{align*}\)
3.) Wurzeln als Potenzen schreiben
\(\begin{align*}
\phantom{\sqrt[3]{216}}
&= 2^\frac{3}{{\color{red}3}} \cdot 3^\frac{3}{{\color{red}3}}
\end{align*}\)
4.) Exponenten kürzen
\(\begin{align*}
\phantom{\sqrt[3]{216}}
&= 2^1 \cdot 3^1\\
&= 2 \cdot 3\\
&= 6
\end{align*}\)
2.2 Wurzelziehen mit Variablen
Beispiel 1
\(\sqrt[{\color{red}5}]{a^{-15}} =\)
1.) Primfaktorzerlegung
Diesen Schritt kann man sich hier sparen.
(Unter der Wurzel kommen nur Variablen vor!)
2.) Wurzel auseinanderziehen
Diesen Schritt kann man sich hier sparen.
(Unter der Wurzel befindet sich nur eine Potenz!)
3.) Wurzeln als Potenzen schreiben
\(\begin{align*}
\phantom{\sqrt[5]{a^{-15}}}
&= a^\frac{-15}{{\color{red}5}}
\end{align*}\)
4.) Exponenten kürzen
\(\begin{align*}
\phantom{\sqrt[5]{a^{-15}}}
&= a^{-3}
\end{align*}\)
Beispiel 2
\(\sqrt[3]{8(a+b)^3} =\)
1.) Primfaktorzerlegung
\(\begin{align*}
\phantom{\sqrt[3]{8(a+b)^3}}
&= \sqrt[3]{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot (a+b)^3}\\
&= \sqrt[3]{2^3 \cdot (a+b)^3}
\end{align*}\)
2.) Wurzel auseinanderziehen
\(\begin{align*}
\phantom{\sqrt[3]{8(a+b)^3}}
&= \sqrt[{\color{red}3}]{2^3} \cdot \sqrt[{\color{red}3}]{(a+b)^3}
\end{align*}\)
3.) Wurzeln als Potenzen schreiben
\(\begin{align*}
\phantom{\sqrt[3]{8(a+b)^3}}
&= 2^\frac{3}{{\color{red}3}} \cdot (a+b)^\frac{3}{{\color{red}3}}\\
\end{align*}\)
4.) Exponenten kürzen
\(\begin{align*}
\phantom{\sqrt[3]{8(a+b)^3}}
&= 2^1 \cdot (a+b)^1\\
&= 2(a+b)
\end{align*}\)
In diesem Kapitel haben wir einen Spezialfall besprochen: Bei allen obigen Beispielen ist im Ergebnis, d.h. im Wurzelwert, keine Wurzel mehr vorhanden. Oft bleibt jedoch im Ergebnis
eine Wurzel stehen. Mehr dazu erfährst du im nächsten Kapitel: Teilweises Wurzelziehen.
Mehr zur Wurzelrechnung
Im Zusammenhang mit Wurzeln sollte man sich folgende Kenntnisse aneignen:
| Grundlagen | |
| Wurzeln | \[\sqrt[n]{a}\] |
| > Quadratwurzel | \[\sqrt[2]{a} = \sqrt{a}\] |
| > Kubikwurzel | \[\sqrt[3]{a}\] |
| Wurzelziehen | \[\sqrt{a^2} = a\] |
| Teilweises Wurzelziehen | \[\sqrt{a^3} = \sqrt{a^2 \cdot a} = \sqrt{a^2} \cdot \sqrt{a} = a\sqrt{a}\] |
| Wurzelexponenten erweitern | \[\sqrt[n]{a^m} = \sqrt[n{\color{red}p}]{a^{m{\color{red}p}}}\] |
| Wurzelexponenten kürzen | \[\sqrt[n\cancel{p}]{a^{m\cancel{p}}} = \sqrt[n]{a^m}\] |
| Wurzeln gleichnamig machen | |
| > Gleichnamige Wurzeln | \(=\) gleicher Wurzelexponent |
| > Ungleichnamige Wurzeln | \(=\) unterschiedlicher Wurzelexponent |
| Rechnen mit Wurzeln | |
| Wurzelgesetze | Alle Wurzelgesetze im Überblick! |
| > Wurzeln addieren | \[a{\color{green}\sqrt[n]{x}} + b{\color{green}\sqrt[n]{x}} = (a + b){\color{green}\sqrt[n]{x}}\] |
| > Wurzeln subtrahieren | \[a{\color{green}\sqrt[n]{x}} - b{\color{green}\sqrt[n]{x}} = (a - b){\color{green}\sqrt[n]{x}}\] |
| > Wurzeln multiplizieren |
a) Gleichnamige Wurzeln \[\sqrt[{\color{green}n}]{a} \cdot \sqrt[{\color{green}n}]{b} = \sqrt[{\color{green}n}]{a \cdot b}\] b) Ungleichnamige Wurzeln \(\Rightarrow\) Wurzeln gleichnamig machen |
| > Wurzeln dividieren |
a) Gleichnamige Wurzeln \[\frac{\sqrt[{\color{green}n}]{a}}{\sqrt[{\color{green}n}]{b}} = \sqrt[{\color{green}n}]{\frac{a}{b}}\] b) Ungleichnamige Wurzeln \(\Rightarrow\) Wurzeln gleichnamig machen |
| > Wurzeln potenzieren | \[(\sqrt[n]{a})^m = \sqrt[n]{a^m}\] |
| > Wurzeln radizieren | \[\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[m \cdot n]{a}\] |
| Rationalmachen des Nenners | |
| Nenner rational machen | \(=\) Wurzel im Nenner eines Bruchs eliminieren |
Hat dir meine Erklärung geholfen?
Lob, Kritik oder Anregungen? Schreib mir doch mal persönlich :)
Weiterhin viel Erfolg beim Lernen!
Andreas Schneider