Wurzelziehen

In diesem Kapitel schauen wir uns an, wie das Wurzelziehen funktioniert.
(Alternative Bezeichnung: Radizieren)

Es empfiehlt sich, zunächst den Einführungsartikel zum Thema Wurzeln zu lesen.

Problemstellung

Vielleicht ist dir bereits bekannt, dass die Wurzel aus 4 gleich 2 ist: \(\sqrt{4} = 2\).
Die 2 bezeichnet man in diesem Fall auch als den „Wurzelwert“.
Die Berechnung des Wurzelwertes bezeichnet man als „Wurzelziehen“ oder „Radizieren“.

Im Folgenden lernen wir ein Verfahren kennen, mit dessen Hilfe wir jede beliebige Wurzel berechnen können. Dabei spielt es keine Rolle, ob \(\sqrt{729}\), \(\sqrt{9a^4b^6}\) oder \(\sqrt[3]{216}\) gesucht ist.

Vorgehensweise

  1. Primfaktorzerlegung
  2. Wurzel auseinanderziehen
  3. Wurzeln als Potenzen schreiben
  4. Exponenten kürzen

zu 1.)
1.1 Zahl unter der Wurzel in ein Produkt aus Primzahlen zerlegen [> Primfaktorzerlegung]
      (Bsp. \(\sqrt{36} = \sqrt{2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3}\))
1.2 Primzahlen zusammenfassen
      (Bsp. \(\sqrt{2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3} = \sqrt{2^2 \cdot 3^2}\))

Falls nur Variablen unter der Wurzel sind, kann man sich diesen Schritt sparen.

zu 2.)
Wurzel auseinanderziehen [= Umkehrung des Wurzelgesetzes „Wurzeln multiplizieren“]
(Bsp. \(\sqrt{2^2 \cdot 3^2} = \sqrt{2^2} \cdot \sqrt{3^2}\))

Falls nur eine Potenz unter der Wurzel ist, kann man sich diesen Schritt sparen.

zu 3.)
Wurzeln als Potenzen schreiben [> Wurzeln in Potenzen umformen]
(Bsp. \(\sqrt[{\color{red}2}]{2^2} \cdot \sqrt[{\color{red}2}]{3^2} = 2^\frac{2}{{\color{red}2}} \cdot 3^\frac{2}{{\color{red}2}}\))

zu 4.)
Durch die Umwandlung der Wurzeln in Potenzen (3. Schritt) erhält man Potenzen mit „gebrochenrationalen Exponenten“, d.h. die Exponenten der Potenzen sind Brüche...
...und Brüche lassen sich bekanntlich kürzen [> Brüche kürzen].
(Bsp. \(2^\frac{2}{2} \cdot 3^\frac{2}{2} = 2^1 \cdot 3^1 = 2 \cdot 3 = 6\))

\(\Rightarrow \sqrt{36} = 6\)

Inhaltsverzeichnis

Im Folgenden schauen wir uns zahlreiche Beispiele an:

  1. Quadratwurzeln berechnen
    1.1 Wurzelziehen mit Zahlen
    1.2 Wurzelziehen mit Variablen
  2. Höhere Wurzeln berechnen
    2.1 Wurzelziehen mit Zahlen
    2.2 Wurzelziehen mit Variablen

1. Quadratwurzeln berechnen

1.1 Wurzelziehen mit Zahlen

Beispiel 1

\(\sqrt{729} =\)

1.) Primfaktorzerlegung

\(\begin{align*}
\phantom{\sqrt{729}}
&= \sqrt{3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3}\\
&= \sqrt{3^6}
\end{align*}\)

2.) Wurzel auseinanderziehen

Diesen Schritt kann man sich hier sparen.
(Unter der Wurzel befindet sich nur eine Potenz!)

3.) Wurzeln als Potenzen schreiben

\(\begin{align*}
\phantom{\sqrt{729}}
&= \sqrt[{\color{red}2}]{3^6}\\
&= 3^\frac{6}{{\color{red}2}}
\end{align*}\)

4.) Exponenten kürzen

\(\begin{align*}
\phantom{\sqrt{729}}
&= 3^3\\
&= 3 \cdot 3 \cdot 3\\
&= 27
\end{align*}\)

Beispiel 2

\(\sqrt{144} =\)

1.) Primfaktorzerlegung

\(\begin{align*}
\phantom{\sqrt{144}}
&= \sqrt{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3}\\
&= \sqrt{2^4 \cdot 3^2}
\end{align*}\)

2.) Wurzel auseinanderziehen

\(\begin{align*}
\phantom{\sqrt{144}}
&= \sqrt{2^4} \cdot \sqrt{3^2}
\end{align*}\)

3.) Wurzeln als Potenzen schreiben

\(\begin{align*}
\phantom{\sqrt{144}}
&= \sqrt[{\color{red}2}]{2^4} \cdot \sqrt[{\color{red}2}]{3^2}\\
&= 2^\frac{4}{{\color{red}2}} \cdot 3^\frac{2}{{\color{red}2}}
\end{align*}\)

4.) Exponenten kürzen

\(\begin{align*}
\phantom{\sqrt{144}}
&= 2^2 \cdot 3^1\\
&= 2 \cdot 2 \cdot 3\\
&= 12
\end{align*}\)

1.2 Wurzelziehen mit Variablen

Beispiel 1

\(\sqrt{a^{12}} =\)

1.) Primfaktorzerlegung

Diesen Schritt kann man sich hier sparen.
(Unter der Wurzel kommen nur Variablen vor!)

2.) Wurzel auseinanderziehen

Diesen Schritt kann man sich hier sparen.
(Unter der Wurzel befindet sich nur eine Potenz!)

3.) Wurzeln als Potenzen schreiben

\(\begin{align*}
\phantom{\sqrt{a^{12}}}
&= \sqrt[{\color{red}2}]{a^{12}}\\
&= a^\frac{12}{{\color{red}2}}
\end{align*}\)

4.) Exponenten kürzen

\(\begin{align*}
\phantom{\sqrt{a^{12}}}
&= a^6
\end{align*}\)

Beispiel 2

\(\sqrt{9a^4b^6} =\)

1.) Primfaktorzerlegung

\(\begin{align*}
\phantom{\sqrt{9a^4b^6}}
&= \sqrt{3 \cdot 3 \cdot a^4 \cdot b^6}\\
&= \sqrt{3^2 \cdot a^4 \cdot b^6}
\end{align*}\)

2.) Wurzel auseinanderziehen

\(\begin{align*}
\phantom{\sqrt{9a^4b^6}}
&= \sqrt{3^2} \cdot \sqrt{a^4} \cdot \sqrt{b^6}
\end{align*}\)

3.) Wurzeln als Potenzen schreiben

\(\begin{align*}
\phantom{\sqrt{9a^4b^6}}
&= \sqrt[{\color{red}2}]{3^2} \cdot \sqrt[{\color{red}2}]{a^4} \cdot \sqrt[{\color{red}2}]{b^6}\\
&= 3^\frac{2}{{\color{red}2}} \cdot a^\frac{4}{{\color{red}2}} \cdot b^\frac{6}{{\color{red}2}}
\end{align*}\)

4.) Exponenten kürzen

\(\begin{align*}
\phantom{\sqrt{9a^4b^6}}
&= 3^1 \cdot a^2 \cdot b^3\\
&= 3a^2b^3
\end{align*}\)

2. Höhere Wurzeln berechnen

2.1 Wurzelziehen mit Zahlen

Beispiel 1

\(\sqrt[6]{64} =\)

1.) Primfaktorzerlegung

\(\begin{align*}
\phantom{\sqrt[6]{64}}
&= \sqrt[6]{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2}\\
&= \sqrt[{\color{red}6}]{2^6}
\end{align*}\)

2.) Wurzel auseinanderziehen

Diesen Schritt kann man sich hier sparen.
(Unter der Wurzel befindet sich nur eine Potenz!)

3.) Wurzeln als Potenzen schreiben

\(\begin{align*}
\phantom{\sqrt[6]{64}}
&= 2^\frac{6}{{\color{red}6}}
\end{align*}\)

4.) Exponenten kürzen

\(\begin{align*}
\phantom{\sqrt[6]{64}}
&= 2^1\\
&= 2
\end{align*}\)

Beispiel 2

\(\sqrt[3]{216} =\)

1.) Primfaktorzerlegung

\(\begin{align*}
\phantom{\sqrt[3]{216}}
&= \sqrt[3]{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3}\\
&= \sqrt[3]{2^3 \cdot 3^3}
\end{align*}\)

2.) Wurzel auseinanderziehen

\(\begin{align*}
\phantom{\sqrt[3]{216}}
&= \sqrt[{\color{red}3}]{2^3} \cdot \sqrt[{\color{red}3}]{3^3}
\end{align*}\)

3.) Wurzeln als Potenzen schreiben

\(\begin{align*}
\phantom{\sqrt[3]{216}}
&= 2^\frac{3}{{\color{red}3}} \cdot 3^\frac{3}{{\color{red}3}}
\end{align*}\)

4.) Exponenten kürzen

\(\begin{align*}
\phantom{\sqrt[3]{216}}
&= 2^1 \cdot 3^1\\
&= 2 \cdot 3\\
&= 6
\end{align*}\)

2.2 Wurzelziehen mit Variablen

Beispiel 1

\(\sqrt[{\color{red}5}]{a^{-15}} =\)

1.) Primfaktorzerlegung

Diesen Schritt kann man sich hier sparen.
(Unter der Wurzel kommen nur Variablen vor!)

2.) Wurzel auseinanderziehen

Diesen Schritt kann man sich hier sparen.
(Unter der Wurzel befindet sich nur eine Potenz!)

3.) Wurzeln als Potenzen schreiben

\(\begin{align*}
\phantom{\sqrt[5]{a^{-15}}}
&= a^\frac{-15}{{\color{red}5}}
\end{align*}\)

4.) Exponenten kürzen

\(\begin{align*}
\phantom{\sqrt[5]{a^{-15}}}
&= a^{-3}
\end{align*}\)

Beispiel 2

\(\sqrt[3]{8(a+b)^3} =\)

1.) Primfaktorzerlegung

\(\begin{align*}
\phantom{\sqrt[3]{8(a+b)^3}}
&= \sqrt[3]{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot (a+b)^3}\\
&= \sqrt[3]{2^3 \cdot (a+b)^3}
\end{align*}\)

2.) Wurzel auseinanderziehen

\(\begin{align*}
\phantom{\sqrt[3]{8(a+b)^3}}
&= \sqrt[{\color{red}3}]{2^3} \cdot \sqrt[{\color{red}3}]{(a+b)^3}
\end{align*}\)

3.) Wurzeln als Potenzen schreiben

\(\begin{align*}
\phantom{\sqrt[3]{8(a+b)^3}}
&= 2^\frac{3}{{\color{red}3}} \cdot (a+b)^\frac{3}{{\color{red}3}}\\
\end{align*}\)

4.) Exponenten kürzen

\(\begin{align*}
\phantom{\sqrt[3]{8(a+b)^3}}
&= 2^1 \cdot (a+b)^1\\
&= 2(a+b)
\end{align*}\)

In diesem Kapitel haben wir einen Spezialfall besprochen: Bei allen obigen Beispielen ist im Ergebnis, d.h. im Wurzelwert, keine Wurzel mehr vorhanden. Oft bleibt jedoch im Ergebnis
eine Wurzel stehen. Mehr dazu erfährst du im nächsten Kapitel: Teilweises Wurzelziehen.

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Mehr zur Wurzelrechnung

Im Zusammenhang mit Wurzeln sollte man sich folgende Kenntnisse aneignen:

Grundlagen  
Wurzeln \[\sqrt[n]{a}\]
> Quadratwurzel \[\sqrt[2]{a} = \sqrt{a}\]
> Kubikwurzel \[\sqrt[3]{a}\]
Wurzelziehen \[\sqrt{a^2} = a\]
Teilweises Wurzelziehen \[\sqrt{a^3} = \sqrt{a^2 \cdot a} = \sqrt{a^2} \cdot \sqrt{a} = a\sqrt{a}\]
Wurzelexponenten erweitern \[\sqrt[n]{a^m} = \sqrt[n{\color{red}p}]{a^{m{\color{red}p}}}\]
Wurzelexponenten kürzen \[\sqrt[n\cancel{p}]{a^{m\cancel{p}}} = \sqrt[n]{a^m}\]
Wurzeln gleichnamig machen  
> Gleichnamige Wurzeln \(=\) gleicher Wurzelexponent
> Ungleichnamige Wurzeln \(=\) unterschiedlicher Wurzelexponent
Rechnen mit Wurzeln  
Wurzelgesetze Alle Wurzelgesetze im Überblick!
> Wurzeln addieren \[a{\color{green}\sqrt[n]{x}} + b{\color{green}\sqrt[n]{x}} = (a + b){\color{green}\sqrt[n]{x}}\]
> Wurzeln subtrahieren \[a{\color{green}\sqrt[n]{x}} - b{\color{green}\sqrt[n]{x}} = (a - b){\color{green}\sqrt[n]{x}}\]
> Wurzeln multiplizieren

a) Gleichnamige Wurzeln

\[\sqrt[{\color{green}n}]{a} \cdot \sqrt[{\color{green}n}]{b} = \sqrt[{\color{green}n}]{a \cdot b}\]

b) Ungleichnamige Wurzeln

\(\Rightarrow\) Wurzeln gleichnamig machen

> Wurzeln dividieren

a) Gleichnamige Wurzeln

\[\frac{\sqrt[{\color{green}n}]{a}}{\sqrt[{\color{green}n}]{b}} = \sqrt[{\color{green}n}]{\frac{a}{b}}\]

b) Ungleichnamige Wurzeln

\(\Rightarrow\) Wurzeln gleichnamig machen

> Wurzeln potenzieren \[(\sqrt[n]{a})^m = \sqrt[n]{a^m}\]
> Wurzeln radizieren \[\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[m \cdot n]{a}\]
Rationalmachen des Nenners  
Nenner rational machen \(=\) Wurzel im Nenner eines Bruchs eliminieren
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Bei dem Thema Wurzelrechnung ist es besonders wichtig, zu jedem Aufgabentypen möglichst viele Übungsaufgaben zu berechnen. Schließlich gilt: "Übung macht den Meister!".

Andreas Schneider

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