Wurzelziehen

1. Quadratwurzeln berechnen

1.1 Wurzelziehen mit Zahlen

Beispiel 1

\(\sqrt{729} =\)

1.) Primfaktorzerlegung

\(\begin{align*}
\phantom{\sqrt{729}}
&= \sqrt{3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3}\\
&= \sqrt{3^6}
\end{align*}\)

2.) Wurzel auseinanderziehen

Diesen Schritt kann man sich hier sparen.
(Unter der Wurzel befindet sich nur eine Potenz!)

3.) Wurzeln als Potenzen schreiben

\(\begin{align*}
\phantom{\sqrt{729}}
&= \sqrt[{\color{red}2}]{3^6}\\
&= 3^\frac{6}{{\color{red}2}}
\end{align*}\)

4.) Exponenten kürzen

\(\begin{align*}
\phantom{\sqrt{729}}
&= 3^3\\
&= 3 \cdot 3 \cdot 3\\
&= 27
\end{align*}\)

Beispiel 2

\(\sqrt{144} =\)

1.) Primfaktorzerlegung

\(\begin{align*}
\phantom{\sqrt{144}}
&= \sqrt{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3}\\
&= \sqrt{2^4 \cdot 3^2}
\end{align*}\)

2.) Wurzel auseinanderziehen

\(\begin{align*}
\phantom{\sqrt{144}}
&= \sqrt{2^4} \cdot \sqrt{3^2}
\end{align*}\)

3.) Wurzeln als Potenzen schreiben

\(\begin{align*}
\phantom{\sqrt{144}}
&= \sqrt[{\color{red}2}]{2^4} \cdot \sqrt[{\color{red}2}]{3^2}\\
&= 2^\frac{4}{{\color{red}2}} \cdot 3^\frac{2}{{\color{red}2}}
\end{align*}\)

4.) Exponenten kürzen

\(\begin{align*}
\phantom{\sqrt{144}}
&= 2^2 \cdot 3^1\\
&= 2 \cdot 2 \cdot 3\\
&= 12
\end{align*}\)

1.2 Wurzelziehen mit Variablen

Beispiel 1

\(\sqrt{a^{12}} =\)

1.) Primfaktorzerlegung

Diesen Schritt kann man sich hier sparen.
(Unter der Wurzel kommen nur Variablen vor!)

2.) Wurzel auseinanderziehen

Diesen Schritt kann man sich hier sparen.
(Unter der Wurzel befindet sich nur eine Potenz!)

3.) Wurzeln als Potenzen schreiben

\(\begin{align*}
\phantom{\sqrt{a^{12}}}
&= \sqrt[{\color{red}2}]{a^{12}}\\
&= a^\frac{12}{{\color{red}2}}
\end{align*}\)

4.) Exponenten kürzen

\(\begin{align*}
\phantom{\sqrt{a^{12}}}
&= a^6
\end{align*}\)

Beispiel 2

\(\sqrt{9a^4b^6} =\)

1.) Primfaktorzerlegung

\(\begin{align*}
\phantom{\sqrt{9a^4b^6}}
&= \sqrt{3 \cdot 3 \cdot a^4 \cdot b^6}\\
&= \sqrt{3^2 \cdot a^4 \cdot b^6}
\end{align*}\)

2.) Wurzel auseinanderziehen

\(\begin{align*}
\phantom{\sqrt{9a^4b^6}}
&= \sqrt{3^2} \cdot \sqrt{a^4} \cdot \sqrt{b^6}
\end{align*}\)

3.) Wurzeln als Potenzen schreiben

\(\begin{align*}
\phantom{\sqrt{9a^4b^6}}
&= \sqrt[{\color{red}2}]{3^2} \cdot \sqrt[{\color{red}2}]{a^4} \cdot \sqrt[{\color{red}2}]{b^6}\\
&= 3^\frac{2}{{\color{red}2}} \cdot a^\frac{4}{{\color{red}2}} \cdot b^\frac{6}{{\color{red}2}}
\end{align*}\)

4.) Exponenten kürzen

\(\begin{align*}
\phantom{\sqrt{9a^4b^6}}
&= 3^1 \cdot a^2 \cdot b^3\\
&= 3a^2b^3
\end{align*}\)

2. Höhere Wurzeln berechnen

2.1 Wurzelziehen mit Zahlen

Beispiel 1

\(\sqrt[6]{64} =\)

1.) Primfaktorzerlegung

\(\begin{align*}
\phantom{\sqrt[6]{64}}
&= \sqrt[6]{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2}\\
&= \sqrt[{\color{red}6}]{2^6}
\end{align*}\)

2.) Wurzel auseinanderziehen

Diesen Schritt kann man sich hier sparen.
(Unter der Wurzel befindet sich nur eine Potenz!)

3.) Wurzeln als Potenzen schreiben

\(\begin{align*}
\phantom{\sqrt[6]{64}}
&= 2^\frac{6}{{\color{red}6}}
\end{align*}\)

4.) Exponenten kürzen

\(\begin{align*}
\phantom{\sqrt[6]{64}}
&= 2^1\\
&= 2
\end{align*}\)

Beispiel 2

\(\sqrt[3]{216} =\)

1.) Primfaktorzerlegung

\(\begin{align*}
\phantom{\sqrt[3]{216}}
&= \sqrt[3]{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3}\\
&= \sqrt[3]{2^3 \cdot 3^3}
\end{align*}\)

2.) Wurzel auseinanderziehen

\(\begin{align*}
\phantom{\sqrt[3]{216}}
&= \sqrt[{\color{red}3}]{2^3} \cdot \sqrt[{\color{red}3}]{3^3}
\end{align*}\)

3.) Wurzeln als Potenzen schreiben

\(\begin{align*}
\phantom{\sqrt[3]{216}}
&= 2^\frac{3}{{\color{red}3}} \cdot 3^\frac{3}{{\color{red}3}}
\end{align*}\)

4.) Exponenten kürzen

\(\begin{align*}
\phantom{\sqrt[3]{216}}
&= 2^1 \cdot 3^1\\
&= 2 \cdot 3\\
&= 6
\end{align*}\)

2.2 Wurzelziehen mit Variablen

Beispiel 1

\(\sqrt[{\color{red}5}]{a^{-15}} =\)

1.) Primfaktorzerlegung

Diesen Schritt kann man sich hier sparen.
(Unter der Wurzel kommen nur Variablen vor!)

2.) Wurzel auseinanderziehen

Diesen Schritt kann man sich hier sparen.
(Unter der Wurzel befindet sich nur eine Potenz!)

3.) Wurzeln als Potenzen schreiben

\(\begin{align*}
\phantom{\sqrt[5]{a^{-15}}}
&= a^\frac{-15}{{\color{red}5}}
\end{align*}\)

4.) Exponenten kürzen

\(\begin{align*}
\phantom{\sqrt[5]{a^{-15}}}
&= a^{-3}
\end{align*}\)

Beispiel 2

\(\sqrt[3]{8(a+b)^3} =\)

1.) Primfaktorzerlegung

\(\begin{align*}
\phantom{\sqrt[3]{8(a+b)^3}}
&= \sqrt[3]{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot (a+b)^3}\\
&= \sqrt[3]{2^3 \cdot (a+b)^3}
\end{align*}\)

2.) Wurzel auseinanderziehen

\(\begin{align*}
\phantom{\sqrt[3]{8(a+b)^3}}
&= \sqrt[{\color{red}3}]{2^3} \cdot \sqrt[{\color{red}3}]{(a+b)^3}
\end{align*}\)

3.) Wurzeln als Potenzen schreiben

\(\begin{align*}
\phantom{\sqrt[3]{8(a+b)^3}}
&= 2^\frac{3}{{\color{red}3}} \cdot (a+b)^\frac{3}{{\color{red}3}}\\
\end{align*}\)

4.) Exponenten kürzen

\(\begin{align*}
\phantom{\sqrt[3]{8(a+b)^3}}
&= 2^1 \cdot (a+b)^1\\
&= 2(a+b)
\end{align*}\)

In diesem Kapitel haben wir einen Spezialfall besprochen: Bei allen obigen Beispielen ist im Ergebnis, d.h. im Wurzelwert, keine Wurzel mehr vorhanden. Oft bleibt jedoch im Ergebnis
eine Wurzel stehen. Mehr dazu erfährst du im nächsten Kapitel: Teilweises Wurzelziehen.

Mehr zur Wurzelrechnung

Im Zusammenhang mit Wurzeln sollte man sich folgende Kenntnisse aneignen:

Grundlagen
Wurzeln	\[\sqrt[n]{a}\]
> Quadratwurzel	\[\sqrt[2]{a} = \sqrt{a}\]
> Kubikwurzel	\[\sqrt[3]{a}\]
Wurzelziehen	\[\sqrt{a^2} = a\]
Teilweises Wurzelziehen	\[\sqrt{a^3} = \sqrt{a^2 \cdot a} = \sqrt{a^2} \cdot \sqrt{a} = a\sqrt{a}\]
Wurzelexponenten erweitern	\[\sqrt[n]{a^m} = \sqrt[n{\color{red}p}]{a^{m{\color{red}p}}}\]
Wurzelexponenten kürzen	\[\sqrt[n\cancel{p}]{a^{m\cancel{p}}} = \sqrt[n]{a^m}\]
Wurzeln gleichnamig machen
> Gleichnamige Wurzeln	\(=\) gleicher Wurzelexponent
> Ungleichnamige Wurzeln	\(=\) unterschiedlicher Wurzelexponent
Rechnen mit Wurzeln
Wurzelgesetze	Alle Wurzelgesetze im Überblick!
> Wurzeln addieren	\[a{\color{green}\sqrt[n]{x}} + b{\color{green}\sqrt[n]{x}} = (a + b){\color{green}\sqrt[n]{x}}\]
> Wurzeln subtrahieren	\[a{\color{green}\sqrt[n]{x}} - b{\color{green}\sqrt[n]{x}} = (a - b){\color{green}\sqrt[n]{x}}\]
> Wurzeln multiplizieren	a) Gleichnamige Wurzeln \[\sqrt[{\color{green}n}]{a} \cdot \sqrt[{\color{green}n}]{b} = \sqrt[{\color{green}n}]{a \cdot b}\] b) Ungleichnamige Wurzeln \(\Rightarrow\) Wurzeln gleichnamig machen
> Wurzeln dividieren	a) Gleichnamige Wurzeln \[\frac{\sqrt[{\color{green}n}]{a}}{\sqrt[{\color{green}n}]{b}} = \sqrt[{\color{green}n}]{\frac{a}{b}}\] b) Ungleichnamige Wurzeln \(\Rightarrow\) Wurzeln gleichnamig machen
> Wurzeln potenzieren	\[(\sqrt[n]{a})^m = \sqrt[n]{a^m}\]
> Wurzeln radizieren	\[\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[m \cdot n]{a}\]
Rationalmachen des Nenners
Nenner rational machen	\(=\) Wurzel im Nenner eines Bruchs eliminieren