Kubikwurzel

In diesem Kapitel schauen wir uns an, was eine Kubikwurzel ist.
[Alternative Bezeichnung: Dritte Wurzel]

Es empfiehlt sich, zunächst den Einführungsartikel zum Thema Wurzeln zu lesen.

Die Kubikwurzel einer nichtnegativen Zahl \(a\)
ist jene (eindeutig bestimmte) nichtnegative Zahl,
deren Kubikzahl gleich der gegebenen Zahl \(a\) ist.

Eine Kubikzahl ist eine Zahl, die durch zweimalige Multiplikation mit sich selbst entsteht.

Beispiel

\(\sqrt[3]{8} = 2 \quad \text{wegen} \quad 2 \cdot 2  \cdot 2 = 8\)

(sprich: Die Kubikwurzel aus 8 ist 2.)

Wiederholung wichtiger Grundbegriffe

  • \(\sqrt[n]{a}\): Wurzel (sprich: n-te Wurzel aus a)
  • \(\sqrt{\phantom{2}}\): Wurzelzeichen
  • \(a\): Radikand
  • \(n\): Wurzelexponent
         Gilt \(n = 2\), spricht man von Quadratwurzeln.
         Gilt \(n = 3\), spricht man von Kubikwurzeln.

Bei Quadratwurzeln (\(n = 2\)) lässt man den Wurzelexponenten meist weg.

Beispiel

\(\sqrt[2]{9} = \sqrt{9}\)

Wurzelexponenten größer als 2 muss man immer dazu schreiben.

Beispiel

\(\sqrt[3]{9}\)

In der Gleichung \(\sqrt[n]{a} = x\) bezeichnet man \(x\) als Wurzelwert.

Beispiel

\(\sqrt{9} = 3\)

3 ist der Wurzelwert der Wurzel aus 9.

Die Berechnung des Wurzelwertes bezeichnet man als „Wurzelziehen“ oder „Radizieren“.

Kubikwurzeln in Potenzen umformen

Jede Wurzel kann durch eine Potenz
mit gebrochenem Exponenten dargestellt werden.

\(\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}\)

Beispiele

\(\sqrt[3]{8} = 8^{\frac{1}{3}}\)

\(\sqrt[3]{27} = 27^{\frac{1}{3}}\)

\(\sqrt[3]{64} = 64^{\frac{1}{3}}\)

Durch das Umwandeln von Wurzeln in Potenzen können Aufgaben häufig vereinfacht werden. Grund dafür ist, dass viele Schüler lieber mit Potenzen als mit Wurzeln rechnen.

Mehr zur Wurzelrechnung

Im Zusammenhang mit Wurzeln sollte man sich folgende Kenntnisse aneignen:

Grundlagen  
Wurzeln \[\sqrt[n]{a}\]
> Quadratwurzel \[\sqrt[2]{a} = \sqrt{a}\]
> Kubikwurzel \[\sqrt[3]{a}\]
Wurzelziehen \[\sqrt{a^2} = a\]
Teilweises Wurzelziehen \[\sqrt{a^3} = \sqrt{a^2 \cdot a} = \sqrt{a^2} \cdot \sqrt{a} = a\sqrt{a}\]
Wurzelexponenten erweitern \[\sqrt[n]{a^m} = \sqrt[n{\color{red}p}]{a^{m{\color{red}p}}}\]
Wurzelexponenten kürzen \[\sqrt[n\cancel{p}]{a^{m\cancel{p}}} = \sqrt[n]{a^m}\]
Wurzeln gleichnamig machen  
> Gleichnamige Wurzeln \(=\) gleicher Wurzelexponent
> Ungleichnamige Wurzeln \(=\) unterschiedlicher Wurzelexponent
Rechnen mit Wurzeln  
Wurzelgesetze Alle Wurzelgesetze im Überblick!
> Wurzeln addieren \[a{\color{green}\sqrt[n]{x}} + b{\color{green}\sqrt[n]{x}} = (a + b){\color{green}\sqrt[n]{x}}\]
> Wurzeln subtrahieren \[a{\color{green}\sqrt[n]{x}} - b{\color{green}\sqrt[n]{x}} = (a - b){\color{green}\sqrt[n]{x}}\]
> Wurzeln multiplizieren

a) Gleichnamige Wurzeln

\[\sqrt[{\color{green}n}]{a} \cdot \sqrt[{\color{green}n}]{b} = \sqrt[{\color{green}n}]{a \cdot b}\]

b) Ungleichnamige Wurzeln

\(\Rightarrow\) Wurzeln gleichnamig machen

> Wurzeln dividieren

a) Gleichnamige Wurzeln

\[\frac{\sqrt[{\color{green}n}]{a}}{\sqrt[{\color{green}n}]{b}} = \sqrt[{\color{green}n}]{\frac{a}{b}}\]

b) Ungleichnamige Wurzeln

\(\Rightarrow\) Wurzeln gleichnamig machen

> Wurzeln potenzieren \[(\sqrt[n]{a})^m = \sqrt[n]{a^m}\]
> Wurzeln radizieren \[\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[m \cdot n]{a}\]
Rationalmachen des Nenners  
Nenner rational machen \(=\) Wurzel im Nenner eines Bruchs eliminieren

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Andreas Schneider

Mein Name ist Andreas Schneider und ich betreibe seit 2013 hauptberuflich die kostenlose und mehrfach ausgezeichnete Mathe-Lernplattform www.mathebibel.de. Jeden Monat werden meine Erklärungen von bis zu 1 Million Schülern, Studenten, Eltern und Lehrern aufgerufen. Nahezu täglich veröffentliche ich neue Inhalte. Abonniere jetzt meinen Newsletter und erhalte 5 meiner 42 Lernhilfen gratis!

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