Quadratwurzel

Neben \(3 \cdot 3 = 9\) gilt bekanntlich auch \((-3) \cdot (-3) = 9\). Gilt dann \(\sqrt{9} = -3\)?
Nein, denn die Quadratwurzel ist als nichtnegative Zahl definiert.
Damit erreicht man, dass der Begriff der Quadratwurzel eindeutig ist.

Wiederholung wichtiger Grundbegriffe

• \(\sqrt[n]{a}\): Wurzel (sprich: n-te Wurzel aus a)
• \(\sqrt{\phantom{2}}\): Wurzelzeichen
• \(a\): Radikand
• \(n\): Wurzelexponent
       Gilt \(n = 2\), spricht man von Quadratwurzeln.
       Gilt \(n = 3\), spricht man von Kubikwurzeln.

Bei Quadratwurzeln lässt man den Wurzelexponenten meist weg.

Beispiel

\(\sqrt[2]{9} = \sqrt{9}\)

Häufig spricht man einfach von „der Wurzel“, auch wenn man die Quadratwurzel meint.

Beispiel

\(\sqrt{9} = 3\)

Sprechweise 1: Die Quadratwurzel aus 9 ist 3.
Sprechweise 2: Die Wurzel aus 9 ist 3.

In der Gleichung \(\sqrt[n]{a} = x\) bezeichnet man \(x\) als Wurzelwert.

Beispiel

\(\sqrt{9} = 3\)

3 ist der Wurzelwert der Wurzel aus 9.

Die Berechnung des Wurzelwertes bezeichnet man als „Wurzelziehen“ oder „Radizieren“.

Quadratzahlen und deren Quadratwurzeln

Um das Wurzelziehen zu vereinfachen, lohnt es sich, wenn man einige Wurzeln auswendig kann. Am einfachsten kann man sich die Quadratwurzeln von Quadratzahlen merken.

Quadratzahl	Quadratwurzel	Bedeutung
1	1	\(\sqrt{1} = \sqrt{1^{2}} = 1\)
4	2	\(\sqrt{4} = \sqrt{2^{2}} = 2\)
9	3	\(\sqrt{9} = \sqrt{3^{2}} = 3\)
16	4	\(\sqrt{16} = \sqrt{4^{2}} = 4\)
25	5	\(\sqrt{25} = \sqrt{5^{2}} = 5\)
36	6	\(\sqrt{36} = \sqrt{6^{2}} = 6\)
49	7	\(\sqrt{49} = \sqrt{7^{2}} = 7\)
64	8	\(\sqrt{64} = \sqrt{8^{2}} = 8\)
81	9	\(\sqrt{81} = \sqrt{9^{2}} = 9\)
100	10	\(\sqrt{100} = \sqrt{10^{2}} = 10\)
121	11	\(\sqrt{121} = \sqrt{11^{2}} = 11\)
144	12	\(\sqrt{144} = \sqrt{12^{2}} = 12\)
169	13	\(\sqrt{169} = \sqrt{13^{2}} = 13\)
196	14	\(\sqrt{196} = \sqrt{14^{2}} = 14\)
225	15	\(\sqrt{225} = \sqrt{15^{2}} = 15\)
256	16	\(\sqrt{256} = \sqrt{16^{2}} = 16\)
289	17	\(\sqrt{289} = \sqrt{17^{2}} = 17\)
324	18	\(\sqrt{324} = \sqrt{18^{2}} = 18\)
361	19	\(\sqrt{361} = \sqrt{19^{2}} = 19\)
400	20	\(\sqrt{400} = \sqrt{20^{2}} = 20\)
441	21	\(\sqrt{441} = \sqrt{21^{2}} = 21\)
484	22	\(\sqrt{484} = \sqrt{22^{2}} = 22\)
529	23	\(\sqrt{529} = \sqrt{23^{2}} = 23\)
576	24	\(\sqrt{576} = \sqrt{24^{2}} = 24\)
625	25	\(\sqrt{625} = \sqrt{25^{2}} = 25\)

Quadratwurzeln in Potenzen umformen

Beispiele

\(\sqrt{4} = \sqrt[2]{4^1} = 4^{\frac{1}{2}}\)

\(\sqrt{9} = \sqrt[2]{9^1} = 9^{\frac{1}{2}}\)

\(\sqrt{16} = \sqrt[2]{16^1} = 16^{\frac{1}{2}}\)

Durch das Umwandeln von Wurzeln in Potenzen können Aufgaben häufig vereinfacht werden. Grund dafür ist, dass viele Schüler lieber mit Potenzen als mit Wurzeln rechnen.

Mehr zur Wurzelrechnung

Im Zusammenhang mit Wurzeln sollte man sich folgende Kenntnisse aneignen:

Grundlagen
Wurzeln	\[\sqrt[n]{a}\]
> Quadratwurzel	\[\sqrt[2]{a} = \sqrt{a}\]
> Kubikwurzel	\[\sqrt[3]{a}\]
Wurzelziehen	\[\sqrt{a^2} = a\]
Teilweises Wurzelziehen	\[\sqrt{a^3} = \sqrt{a^2 \cdot a} = \sqrt{a^2} \cdot \sqrt{a} = a\sqrt{a}\]
Wurzelexponenten erweitern	\[\sqrt[n]{a^m} = \sqrt[n{\color{red}p}]{a^{m{\color{red}p}}}\]
Wurzelexponenten kürzen	\[\sqrt[n\cancel{p}]{a^{m\cancel{p}}} = \sqrt[n]{a^m}\]
Wurzeln gleichnamig machen
> Gleichnamige Wurzeln	\(=\) gleicher Wurzelexponent
> Ungleichnamige Wurzeln	\(=\) unterschiedlicher Wurzelexponent
Rechnen mit Wurzeln
Wurzelgesetze	Alle Wurzelgesetze im Überblick!
> Wurzeln addieren	\[a{\color{green}\sqrt[n]{x}} + b{\color{green}\sqrt[n]{x}} = (a + b){\color{green}\sqrt[n]{x}}\]
> Wurzeln subtrahieren	\[a{\color{green}\sqrt[n]{x}} - b{\color{green}\sqrt[n]{x}} = (a - b){\color{green}\sqrt[n]{x}}\]
> Wurzeln multiplizieren	a) Gleichnamige Wurzeln \[\sqrt[{\color{green}n}]{a} \cdot \sqrt[{\color{green}n}]{b} = \sqrt[{\color{green}n}]{a \cdot b}\] b) Ungleichnamige Wurzeln \(\Rightarrow\) Wurzeln gleichnamig machen
> Wurzeln dividieren	a) Gleichnamige Wurzeln \[\frac{\sqrt[{\color{green}n}]{a}}{\sqrt[{\color{green}n}]{b}} = \sqrt[{\color{green}n}]{\frac{a}{b}}\] b) Ungleichnamige Wurzeln \(\Rightarrow\) Wurzeln gleichnamig machen
> Wurzeln potenzieren	\[(\sqrt[n]{a})^m = \sqrt[n]{a^m}\]
> Wurzeln radizieren	\[\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[m \cdot n]{a}\]
Rationalmachen des Nenners
Nenner rational machen	\(=\) Wurzel im Nenner eines Bruchs eliminieren