Quadratwurzel
In diesem Kapitel schauen wir uns an, was eine Quadratwurzel ist.
[Alternative Bezeichnung: Zweite Wurzel]
Es empfiehlt sich, zunächst den Einführungsartikel zum Thema Wurzeln zu lesen.
Die Quadratwurzel einer nichtnegativen Zahl \(a\)
ist jene (eindeutig bestimmte) nichtnegative Zahl,
deren Quadrat gleich der gegebenen Zahl \(a\) ist.
„Quadrat“ bedeutet „mit sich selbst malgenommen“.
Beispiel
\(\sqrt{9} = 3 \quad \text{wegen} \quad 3 \cdot 3 = 9\)
(sprich: Die Quadratwurzel aus 9 ist 3.)
Neben \(3 \cdot 3 = 9\) gilt bekanntlich auch \((-3) \cdot (-3) = 9\). Gilt dann \(\sqrt{9} = -3\)?
Nein, denn die Quadratwurzel ist als nichtnegative Zahl definiert.
Damit erreicht man, dass der Begriff der Quadratwurzel eindeutig ist.
Wiederholung wichtiger Grundbegriffe
- \(\sqrt[n]{a}\): Wurzel (sprich: n-te Wurzel aus a)
- \(\sqrt{\phantom{2}}\): Wurzelzeichen
- \(a\): Radikand
- \(n\): Wurzelexponent
Gilt \(n = 2\), spricht man von Quadratwurzeln.
Gilt \(n = 3\), spricht man von Kubikwurzeln.
Bei Quadratwurzeln lässt man den Wurzelexponenten meist weg.
Beispiel
\(\sqrt[2]{9} = \sqrt{9}\)
Häufig spricht man einfach von „der Wurzel“, auch wenn man die Quadratwurzel meint.
Beispiel
\(\sqrt{9} = 3\)
Sprechweise 1: Die Quadratwurzel aus 9 ist 3.
Sprechweise 2: Die Wurzel aus 9 ist 3.
In der Gleichung \(\sqrt[n]{a} = x\) bezeichnet man \(x\) als Wurzelwert.
Beispiel
\(\sqrt{9} = 3\)
3 ist der Wurzelwert der Wurzel aus 9.
Die Berechnung des Wurzelwertes bezeichnet man als „Wurzelziehen“ oder „Radizieren“.
Quadratzahlen und deren Quadratwurzeln
Um das Wurzelziehen zu vereinfachen, lohnt es sich, wenn man einige Wurzeln auswendig kann. Am einfachsten kann man sich die Quadratwurzeln von Quadratzahlen merken.
Quadratzahl | Quadratwurzel | Bedeutung |
1 | 1 | \(\sqrt{1} = \sqrt{1^{2}} = 1\) |
4 | 2 | \(\sqrt{4} = \sqrt{2^{2}} = 2\) |
9 | 3 | \(\sqrt{9} = \sqrt{3^{2}} = 3\) |
16 | 4 | \(\sqrt{16} = \sqrt{4^{2}} = 4\) |
25 | 5 | \(\sqrt{25} = \sqrt{5^{2}} = 5\) |
36 | 6 | \(\sqrt{36} = \sqrt{6^{2}} = 6\) |
49 | 7 | \(\sqrt{49} = \sqrt{7^{2}} = 7\) |
64 | 8 | \(\sqrt{64} = \sqrt{8^{2}} = 8\) |
81 | 9 | \(\sqrt{81} = \sqrt{9^{2}} = 9\) |
100 | 10 | \(\sqrt{100} = \sqrt{10^{2}} = 10\) |
121 | 11 | \(\sqrt{121} = \sqrt{11^{2}} = 11\) |
144 | 12 | \(\sqrt{144} = \sqrt{12^{2}} = 12\) |
169 | 13 | \(\sqrt{169} = \sqrt{13^{2}} = 13\) |
196 | 14 | \(\sqrt{196} = \sqrt{14^{2}} = 14\) |
225 | 15 | \(\sqrt{225} = \sqrt{15^{2}} = 15\) |
256 | 16 | \(\sqrt{256} = \sqrt{16^{2}} = 16\) |
289 | 17 | \(\sqrt{289} = \sqrt{17^{2}} = 17\) |
324 | 18 | \(\sqrt{324} = \sqrt{18^{2}} = 18\) |
361 | 19 | \(\sqrt{361} = \sqrt{19^{2}} = 19\) |
400 | 20 | \(\sqrt{400} = \sqrt{20^{2}} = 20\) |
441 | 21 | \(\sqrt{441} = \sqrt{21^{2}} = 21\) |
484 | 22 | \(\sqrt{484} = \sqrt{22^{2}} = 22\) |
529 | 23 | \(\sqrt{529} = \sqrt{23^{2}} = 23\) |
576 | 24 | \(\sqrt{576} = \sqrt{24^{2}} = 24\) |
625 | 25 | \(\sqrt{625} = \sqrt{25^{2}} = 25\) |
Quadratwurzeln in Potenzen umformen
Jede Wurzel kann durch eine Potenz
mit gebrochenem Exponenten dargestellt werden.
\(\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}\)
Beispiele
\(\sqrt{4} = \sqrt[2]{4^1} = 4^{\frac{1}{2}}\)
\(\sqrt{9} = \sqrt[2]{9^1} = 9^{\frac{1}{2}}\)
\(\sqrt{16} = \sqrt[2]{16^1} = 16^{\frac{1}{2}}\)
Durch das Umwandeln von Wurzeln in Potenzen können Aufgaben häufig vereinfacht werden. Grund dafür ist, dass viele Schüler lieber mit Potenzen als mit Wurzeln rechnen.
Mehr zur Wurzelrechnung
Im Zusammenhang mit Wurzeln sollte man sich folgende Kenntnisse aneignen:
Grundlagen | |
Wurzeln | \[\sqrt[n]{a}\] |
> Quadratwurzel | \[\sqrt[2]{a} = \sqrt{a}\] |
> Kubikwurzel | \[\sqrt[3]{a}\] |
Wurzelziehen | \[\sqrt{a^2} = a\] |
Teilweises Wurzelziehen | \[\sqrt{a^3} = \sqrt{a^2 \cdot a} = \sqrt{a^2} \cdot \sqrt{a} = a\sqrt{a}\] |
Wurzelexponenten erweitern | \[\sqrt[n]{a^m} = \sqrt[n{\color{red}p}]{a^{m{\color{red}p}}}\] |
Wurzelexponenten kürzen | \[\sqrt[n\cancel{p}]{a^{m\cancel{p}}} = \sqrt[n]{a^m}\] |
Wurzeln gleichnamig machen | |
> Gleichnamige Wurzeln | \(=\) gleicher Wurzelexponent |
> Ungleichnamige Wurzeln | \(=\) unterschiedlicher Wurzelexponent |
Rechnen mit Wurzeln | |
Wurzelgesetze | Alle Wurzelgesetze im Überblick! |
> Wurzeln addieren | \[a{\color{green}\sqrt[n]{x}} + b{\color{green}\sqrt[n]{x}} = (a + b){\color{green}\sqrt[n]{x}}\] |
> Wurzeln subtrahieren | \[a{\color{green}\sqrt[n]{x}} - b{\color{green}\sqrt[n]{x}} = (a - b){\color{green}\sqrt[n]{x}}\] |
> Wurzeln multiplizieren |
a) Gleichnamige Wurzeln \[\sqrt[{\color{green}n}]{a} \cdot \sqrt[{\color{green}n}]{b} = \sqrt[{\color{green}n}]{a \cdot b}\] b) Ungleichnamige Wurzeln \(\Rightarrow\) Wurzeln gleichnamig machen |
> Wurzeln dividieren |
a) Gleichnamige Wurzeln \[\frac{\sqrt[{\color{green}n}]{a}}{\sqrt[{\color{green}n}]{b}} = \sqrt[{\color{green}n}]{\frac{a}{b}}\] b) Ungleichnamige Wurzeln \(\Rightarrow\) Wurzeln gleichnamig machen |
> Wurzeln potenzieren | \[(\sqrt[n]{a})^m = \sqrt[n]{a^m}\] |
> Wurzeln radizieren | \[\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[m \cdot n]{a}\] |
Rationalmachen des Nenners | |
Nenner rational machen | \(=\) Wurzel im Nenner eines Bruchs eliminieren |
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