Wurzelexponenten kürzen

In diesem Kapitel beschäftigen wir uns mit dem Kürzen von Wurzelexponenten.

Es empfiehlt sich, zunächst den Einführungsartikel zum Thema Wurzeln zu lesen.

Vorgehensweise

Ist ein Faktor \(p\) sowohl im Wurzelexponenten als auch im Exponenten des Radikanden vorhanden, so kann mit dem Faktor \(p\) gekürzt werden.

\(\sqrt[n\cancel{p}]{a^{m\cancel{p}}} = \sqrt[n]{a^m}\)

Mit dem Kürzen des Wurzelexponenten will man meist eine Vereinfachung der Wurzel erreichen. Dabei geht man am besten folgendermaßen vor:
Im 1. Schritt zerlegt man sowohl den Wurzelexponenten als auch den Exponenten des Radikanden in Primfaktoren (> Primfaktorzerlegung). Im 2. Schritt kürzt man alle Faktoren,
die sowohl im Wurzelexponenten als auch im Exponenten des Radikanden vorkommen.

Beispiele

\(\sqrt[8]{2^{6}} = \underbrace{\vphantom{\sqrt[\cancel{2} \cdot 2 \cdot 2]{2^{\cancel{2} \cdot 3}}}\sqrt[2 \cdot 2 \cdot 2]{2^{2 \cdot 3}}}_{\text{1. Schritt}} = \underbrace{\sqrt[\cancel{2} \cdot 2 \cdot 2]{2^{\cancel{2} \cdot 3}}}_{\text{2. Schritt}} = \sqrt[4]{2^3}\)

\(\sqrt[12]{4^{8}} = \underbrace{\vphantom{\sqrt[\cancel{2} \cdot \cancel{2} \cdot 3]{4^{\cancel{2} \cdot \cancel{2} \cdot 2}}}\sqrt[2 \cdot 2 \cdot 3]{4^{2 \cdot 2 \cdot 2}}}_{\text{1. Schritt}} = \underbrace{\sqrt[\cancel{2} \cdot \cancel{2} \cdot 3]{4^{\cancel{2} \cdot \cancel{2} \cdot 2}}}_{\text{2. Schritt}} = \sqrt[3]{4^{2}}\)

\(\sqrt[3]{3^{9}} = \underbrace{\vphantom{\sqrt[\cancel{3}]{3^{\cancel{3} \cdot 3}}}\sqrt[3]{3^{3 \cdot 3}}}_{\text{1. Schritt}} = \underbrace{\sqrt[\cancel{3}]{3^{\cancel{3} \cdot 3}}}_{\text{2. Schritt}} = 3^3\)

Merke: Wenn man den Wurzelexponenten ganz wegkürzen kann, verschwindet die Wurzel.

Mehr zur Wurzelrechnung

Im Zusammenhang mit Wurzeln sollte man sich folgende Kenntnisse aneignen:

Grundlagen  
Wurzeln \[\sqrt[n]{a}\]
> Quadratwurzel \[\sqrt[2]{a} = \sqrt{a}\]
> Kubikwurzel \[\sqrt[3]{a}\]
Wurzelziehen \[\sqrt{a^2} = a\]
Teilweises Wurzelziehen \[\sqrt{a^3} = \sqrt{a^2 \cdot a} = \sqrt{a^2} \cdot \sqrt{a} = a\sqrt{a}\]
Wurzelexponenten erweitern \[\sqrt[n]{a^m} = \sqrt[n{\color{red}p}]{a^{m{\color{red}p}}}\]
Wurzelexponenten kürzen \[\sqrt[n\cancel{p}]{a^{m\cancel{p}}} = \sqrt[n]{a^m}\]
Wurzeln gleichnamig machen  
> Gleichnamige Wurzeln \(=\) gleicher Wurzelexponent
> Ungleichnamige Wurzeln \(=\) unterschiedlicher Wurzelexponent
Rechnen mit Wurzeln  
Wurzelgesetze Alle Wurzelgesetze im Überblick!
> Wurzeln addieren \[a{\color{green}\sqrt[n]{x}} + b{\color{green}\sqrt[n]{x}} = (a + b){\color{green}\sqrt[n]{x}}\]
> Wurzeln subtrahieren \[a{\color{green}\sqrt[n]{x}} - b{\color{green}\sqrt[n]{x}} = (a - b){\color{green}\sqrt[n]{x}}\]
> Wurzeln multiplizieren

a) Gleichnamige Wurzeln

\[\sqrt[{\color{green}n}]{a} \cdot \sqrt[{\color{green}n}]{b} = \sqrt[{\color{green}n}]{a \cdot b}\]

b) Ungleichnamige Wurzeln

\(\Rightarrow\) Wurzeln gleichnamig machen

> Wurzeln dividieren

a) Gleichnamige Wurzeln

\[\frac{\sqrt[{\color{green}n}]{a}}{\sqrt[{\color{green}n}]{b}} = \sqrt[{\color{green}n}]{\frac{a}{b}}\]

b) Ungleichnamige Wurzeln

\(\Rightarrow\) Wurzeln gleichnamig machen

> Wurzeln potenzieren \[(\sqrt[n]{a})^m = \sqrt[n]{a^m}\]
> Wurzeln radizieren \[\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[m \cdot n]{a}\]
Rationalmachen des Nenners  
Nenner rational machen \(=\) Wurzel im Nenner eines Bruchs eliminieren

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Andreas Schneider

Mein Name ist Andreas Schneider und ich betreibe seit 2013 hauptberuflich die kostenlose und mehrfach ausgezeichnete Mathe-Lernplattform www.mathebibel.de. Jeden Monat werden meine Erklärungen von bis zu 1 Million Schülern, Studenten, Eltern und Lehrern aufgerufen. Nahezu täglich veröffentliche ich neue Inhalte. Abonniere jetzt meinen Newsletter und erhalte 5 meiner 42 Lernhilfen gratis!

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