Wurzelexponenten kürzen

In diesem Kapitel beschäftigen wir uns mit dem Kürzen von Wurzelexponenten.

Inhaltsverzeichnis

Erforderliches Vorwissen

Anwendung 

Mit dem Kürzen des Wurzelexponenten will man eine Vereinfachung der Wurzel erreichen.

Satz 

Ist ein Faktor $p$ sowohl im Wurzelexponenten als auch im Exponenten des Radikanden vorhanden, so kann mit dem Faktor $p$ gekürzt werden:

$$ \sqrt[n\cancel{p}]{a^{m\cancel{p}}} = \sqrt[n]{a^m} $$

Beispiele 

Im 1. Schritt zerlegt man sowohl den Wurzelexponenten als auch den Exponenten des Radikanden in Primfaktoren. Im 2. Schritt kürzt man alle Faktoren, die sowohl im Wurzelexponenten als auch im Exponenten des Radikanden vorkommen.

Primfaktorzerlegung

Faktoren kürzen

Beispiel 1 

Kürze $\sqrt[8]{2^{6}}$.

$$ \sqrt[8]{2^{6}} = \underbrace{\vphantom{\sqrt[\cancel{2} \cdot 2 \cdot 2]{2^{\cancel{2} \cdot 3}}}\sqrt[2 \cdot 2 \cdot 2]{2^{2 \cdot 3}}}_{\text{1. Schritt}} = \underbrace{\sqrt[\cancel{2} \cdot 2 \cdot 2]{2^{\cancel{2} \cdot 3}}}_{\text{2. Schritt}} = \sqrt[4]{2^3} $$

Beispiel 2 

Kürze $\sqrt[12]{4^{8}}$.

$$ \sqrt[12]{4^{8}} = \underbrace{\vphantom{\sqrt[\cancel{2} \cdot \cancel{2} \cdot 3]{4^{\cancel{2} \cdot \cancel{2} \cdot 2}}}\sqrt[2 \cdot 2 \cdot 3]{4^{2 \cdot 2 \cdot 2}}}_{\text{1. Schritt}} = \underbrace{\sqrt[\cancel{2} \cdot \cancel{2} \cdot 3]{4^{\cancel{2} \cdot \cancel{2} \cdot 2}}}_{\text{2. Schritt}} = \sqrt[3]{4^{2}} $$

Beispiel 3 

Kürze $\sqrt[3]{3^{9}}$.

$$ \sqrt[3]{3^{9}} = \underbrace{\vphantom{\sqrt[\cancel{3}]{3^{\cancel{3} \cdot 3}}}\sqrt[3]{3^{3 \cdot 3}}}_{\text{1. Schritt}} = \underbrace{\sqrt[\cancel{3}]{3^{\cancel{3} \cdot 3}}}_{\text{2. Schritt}} = 3^3 $$

Merke: Wenn man den Wurzelexponenten ganz wegkürzen kann, verschwindet die Wurzel.

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