Diagonale
(Rechteck)

In diesem Kapitel lernen wir, die Diagonale eines Rechtecks zu berechnen.

Diagonale ist der Fachbegriff für die
Verbindungsstrecke zweier Gegenecken.

In einem allgemeinen Viereck sind die beiden Diagonalen verschieden lang und werden meist mit \(e\) und \(f\) bezeichnet.

In einem Rechteck sind die beiden Diagonalen gleich lang. Sie werden in der Regel einfach mit dem Buchstaben \(d\) bezeichnet.

Im Folgenden schauen wir uns an, wie wir \(d\) berechnen können, wenn \(a\) und \(b\) gegeben sind.

Diagonale Rechteck: Herleitung der Formel

Die Diagonale \(d\) zerlegt das Rechteck in zwei rechtwinklige Dreiecke: \(\triangle ABC\) und \(\triangle ACD\).

\(d\) ist die Hypotenuse beider Dreiecke, also die Seite, die dem rechten Winkel gegenüber liegt.

1.) Satz des Pythagoras: \(d^2 = a^2 + b^2\).
2.) Wurzelziehen: \(d = \sqrt{a^2+b^2}\).

Formel für die Diagonale eines Rechtecks

\(d = \sqrt{a^2 + b^2}\)

\(a\), \(b\) und \(d\) sind Längen in derselben Maßeinheit (ggf. umrechnen!).

Längeneinheiten
\(\mathrm{mm}\) Millimeter
\(\mathrm{cm}\) Zentimeter
\(\mathrm{dm}\) Dezimeter
\(\mathrm{m}\) Meter
\(\mathrm{km}\) Kilometer

Rechteck: Diagonale berechnen

Notwendiges Vorwissen

1) Formel aufschreiben
2) Werte für \(a\) und \(b\) einsetzen
3) Ergebnis berechnen

Beispiele

  • Wie lang ist die Diagonale eines Rechtecks mit \(a = 4~\mathrm{cm}\) und \(b = 2~\mathrm{cm}\)?

    1) Formel aufschreiben

    \(d = \sqrt{a^2 + b^2}\)

    2) Werte für \(a\) und \(b\) einsetzen

    \(\phantom{d} = \sqrt{(4~\mathrm{cm})^2 + (2~\mathrm{cm})^2}\)

    3) Ergebnis berechnen

    \(\begin{align*}
    \phantom{d}
    &= \sqrt{4^2~\mathrm{cm}^2 + 2^2~\mathrm{cm}^2} \\[5px]
    &= \sqrt{16~\mathrm{cm}^2 + 4~\mathrm{cm}^2} \\[5px]
    &= \sqrt{20~\mathrm{cm}^2} \\[5px]
    &= \sqrt{20} \cdot \sqrt{\mathrm{cm}^2} \\[5px]
    &= \sqrt{2^2 \cdot 5} \cdot \sqrt{\mathrm{cm}^2} \\[5px]
    &= \sqrt{2^2} \cdot \sqrt{5} \cdot \sqrt{\mathrm{cm}^2} \\[5px]
    &= 2\sqrt{5}~\mathrm{cm} \\[5px]
    &\approx 4{,}47~\mathrm{cm}
    \end{align*}\)

  • Wie lang ist die Diagonale eines Rechtecks mit \(a = 5~\mathrm{m}\) und \(b = 3~\mathrm{m}\)?

    1) Formel aufschreiben

    \(d = \sqrt{a^2 + b^2}\)

    2) Werte für \(a\) und \(b\) einsetzen

    \(\phantom{d} = \sqrt{(5~\mathrm{m})^2 + (3~\mathrm{m})^2}\)

    3) Ergebnis berechnen

    \(\begin{align*}
    \phantom{d}
    &= \sqrt{5^2~\mathrm{m}^2 + 3^2~\mathrm{m}^2} \\[5px]
    &= \sqrt{25~\mathrm{m}^2 + 9~\mathrm{m}^2} \\[5px]
    &= \sqrt{34~\mathrm{m}^2} \\[5px]
    &= \sqrt{34} \cdot \sqrt{\mathrm{m}^2} \\[5px]
    &= \sqrt{34}~\mathrm{m} \\[5px]
    &\approx 5{,}83~\mathrm{m}
    \end{align*}\)

  • Wie lang ist die Diagonale eines Rechtecks mit \(a = 7~\mathrm{km}\) und \(b = 6~\mathrm{km}\)?

    1) Formel aufschreiben

    \(d = \sqrt{a^2 + b^2}\)

    2) Werte für \(a\) und \(b\) einsetzen

    \(\phantom{d} = \sqrt{(7~\mathrm{km})^2 + (6~\mathrm{km})^2}\)

    3) Ergebnis berechnen

    \(\begin{align*}
    \phantom{d}
    &= \sqrt{7^2~\mathrm{km}^2 + 6^2~\mathrm{km}^2} \\[5px]
    &= \sqrt{49~\mathrm{km}^2 + 36~\mathrm{km}^2} \\[5px]
    &= \sqrt{85~\mathrm{km}^2} \\[5px]
    &= \sqrt{85} \cdot \sqrt{\mathrm{km}^2} \\[5px]
    &= \sqrt{85}~\mathrm{km} \\[5px]
    &\approx 9{,}22~\mathrm{km}
    \end{align*}\)

Schon gewusst? Die Diagonale eines Quadrats berechnet sich auf ähnliche Art und Weise.

Andreas Schneider

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Andreas Schneider

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