Rechtwinkliges Dreieck

In diesem Kapitel schauen wir uns an, was ein rechtwinkliges Dreieck ist.

Benötigtes Vorwissen

Kontext

Dreiecke lassen sich in verschiedene Dreiecksarten einteilen.

Eine Einteilung nach den Winkelgrößen führt zu

Ein Dreieck mit einem rechten Winkel heißt rechtwinkliges Dreieck.

Anmerkung

Ein rechter Winkel ist ein Winkel mit einer Größe von \(90^\circ\).

Rechtwinkliges Dreieck: Bezeichnungen

Die Seite, die dem rechten Winkel gegenüberliegt, heißt Hypotenuse. Die Hypotenuse ist die längste Seite des rechtwinkligen Dreiecks.

Jede der beiden kürzeren Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks heißt Kathete. Die Katheten sind die Schenkel des rechten Winkels.

Die Höhe auf die Hypotenuse teilt diese in zwei Teile, die Hypotenusenabschnitte \(p\) und \(q\).

In bestimmten Situationen ist es sinnvoll, die beiden Katheten voneinander zu unterscheiden:

Winkel \(\alpha\) im Fokus der Betrachtung

Die dem Winkel \(\alpha\) anliegende Kathete heißt Ankathete.

Die dem Winkel \(\alpha\) gegenüberliegende Kathete heißt Gegenkathete.

Winkel \(\beta\) im Fokus der Betrachtung

Die dem Winkel \(\beta\) anliegende Kathete heißt Ankathete.

Die dem Winkel \(\beta\) gegenüberliegende Kathete heißt Gegenkathete.

Rechtwinkliges Dreieck: Eigenschaften

Winkel

In einem rechtwinkligen Dreieck ist ein Winkel ein rechter Winkel.
(In der Abbildung gilt: \(\gamma = 90^\circ\))

Die beiden anderen Winkel sind spitze Winkel. Sie sind Komplementwinkel, d. h. sie ergeben zusammen \(90^\circ\).
(In der Abbildung gilt: \(\alpha + \beta = 90^\circ\))

Seiten

Ein rechtwinkliges Dreieck kann unregelmäßig oder gleichschenklig sein.
(Zur Erinnerung: Gleichseitige Dreieck sind immer spitzwinklig!)

Besondere Punkte und Linien

Bei einem rechtwinkligen Dreieck liegt der Umkreismittelpunkt genau in der Mitte der Hypotenuse.

Anmerkung
Der Umkreismittelpunkt ist der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten eines Dreiecks.

Bei einem rechtwinkligen Dreieck liegt der Höhenschnittpunkt im Scheitelpunkt des rechten Winkels.

Anmerkung
Der Höhenschnittpunkt ist der Schnittpunkt der drei Höhen eines Dreiecks. In einem rechtwinkligen Dreieck stimmen die Höhen auf die Katheten mit den Katheten überein.
(In der Abbildung gilt: \(h_a = b\) und \(h_b = a\))

Die Höhe auf die Hypotenuse (in der Abbildung: \(h_c\)) ist die einzige Höhe im rechtwinkligen Dreieck, die mit keiner Seite zusammenfällt. Wegen dieser Sonderstellung nennen wir sie „die Höhe des rechtwinkligen Dreiecks“ und bezeichnen sie einfach mit \(h\).

Rechtwinkliges Dreieck: Formeln

Umfang berechnen

\(U = a + b + c\)

Flächeninhalt berechnen

\(\begin{align*}
A
&= \frac{1}{2} \cdot \text{ Grundseite } \cdot \text{ Höhe } \\[5px]
&= \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_a \left(= \frac{1}{2} \cdot a \cdot b\right)\\[5px]
&= \frac{1}{2} \cdot b \cdot h_b \left(= \frac{1}{2} \cdot a \cdot b\right)\\[5px]
&= \frac{1}{2} \cdot c \cdot h_c
\end{align*}\)

(Wegen \(h_a = b\) und \(h_b = a\)!)

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Andreas Schneider

Mein Name ist Andreas Schneider und ich betreibe seit 2013 hauptberuflich die kostenlose und mehrfach ausgezeichnete Mathe-Lernplattform www.mathebibel.de. Jeden Monat werden meine Erklärungen von bis zu 1 Million Schülern, Studenten, Eltern und Lehrern aufgerufen. Nahezu täglich veröffentliche ich neue Inhalte. Abonniere jetzt meinen Newsletter und erhalte 5 meiner 42 Lernhilfen gratis!

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