Gleichseitiges Dreieck

In diesem Kapitel schauen wir uns an, was ein gleichseitiges Dreieck ist.

Benötigtes Vorwissen

Kontext

Dreiecke lassen sich in verschiedene Dreiecksarten einteilen.

Eine Einteilung nach den Seitenlängen führt zu

Ein Dreieck mit drei gleich langen Seiten heißt gleichseitiges Dreieck.

Gleichseitige Dreiecke sind auch gleichschenklig; jede Seite kann als Basis angesehen werden.

Gleichseitiges Dreieck: Eigenschaften

Seiten

In einem gleichseitigen Dreieck sind alle drei Seiten gleich lang (\(a = b = c\)).

Winkel

In einem gleichseitigen Dreieck sind alle Winkel gleich groß (\(\alpha = \beta = \gamma = 60^\circ\)).

Anmerkung

Ein gleichseitiges Dreieck ist immer spitzwinklig (wegen \(\alpha = \beta = \gamma = 60^\circ\)).
Es kann deshalb niemals rechtwinklig oder stumpfwinklig sein!

Besondere Linien und Punkte

Seitenhalbierende, Mittelsenkrechte, Höhen und Winkelhalbierende fallen zusammen und schneiden sich in einem Punkt, dem Mittelpunkt \(M\).

\(\begin{array}{rrrrrrr}
s_a &=& m_a &=& h_a &=& w_\alpha \\[5px]
s_b &=& m_b &=& h_b &=& w_\beta \\[5px]
s_c &=& m_c &=& h_c &=& w_\gamma \\[5px]
\end{array}\)

Außerdem gilt \(s_a = s_b = s_c\) usw.

Symmetrie

Ein gleichschenkliges Dreieck ist achsensymmetrisch.

Es gibt drei Symmetrieachsen. Jede Symmetrieachse fällt mit den besonderen Linien des Dreiecks (siehe oben) zusammen.

Jede Symmetrieachse teilt das Dreieck in zwei kongruente, rechtwinklige Dreiecke.

Ein gleichschenkliges Dreieck ist drehsymmetrisch.

Symmetriezentrum: Mittelpunkt \(M\)
Drehwinkel: \(\varphi = 120^\circ\)

Anmerkung

  • Alle gleichseitigen Dreiecke sind ähnlich.
  • Die Angabe nur einer beliebigen Länge legt ein gleichseitiges Dreieck vollständig fest.

Gleichseitiges Dreieck: Formeln

Höhe berechnen

Nach dem Satz des Pythagoras gilt:

\(a^2 = h^2 + \left(\frac{1}{2}a\right)^2\)

Daraus folgt:

\(h = \frac{1}{2}a\sqrt{3}\)

Umfang berechnen

\(U = 3a\)

Flächeninhalt berechnen

\(A = \frac{1}{4}a^2\sqrt{3}\)

Andreas Schneider

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Andreas Schneider

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