Flächeninhalt: Gleichseitiges Dreieck

In diesem Kapitel lernen wir, den Flächeninhalt eines gleichseitigen Dreiecks zu berechnen.

Flächeninhalt ist der Fachbegriff für die Größe einer Fläche.

Herleitung der Formel

Flächenformel eines allgemeinen Dreiecks:

\(A = \frac{1}{2} \cdot \text{Grundseite } g \cdot \text{Höhe } h\)

In einem gleichseitigen Dreieck sind alle drei Seiten und Höhen gleich lang. Folglich gilt:

\(A = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h\)

\(A = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h\) bedeutet, dass wir sowohl die Seitenlänge \(a\) als auch die Höhe \(h\) kennen müssen, um den Flächeninhalt \(A\) zu berechnen. Aber geht das nicht auch einfacher? Natürlich! Die Höhe \(h\) eines gleichseitigen Dreiecks können wir durch die Seitenlänge \(a\) ausdrücken:

\(h = \frac{1}{2}a\sqrt{3}\)

Eingesetzt in \(A = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h\) ergibt das:

\(\begin{align*}
A
&= \frac{1}{2} a \cdot \frac{1}{2} a \sqrt{3} \\[5px]
&= \frac{1}{4}a^2\sqrt{3}
\end{align*}\)

Formel

\(A = \frac{1}{4} \cdot a^2 \cdot \sqrt{3}\)

Um den Flächeninhalt eines gleichseitigen Dreiecks berechnen zu können, müssen wir lediglich die Länge einer Seite (\(a\)) kennen. Unter Umständen ist ein Ausmessen erforderlich.

Eine Länge - wie \(5~\mathrm{cm}\) - ist eine Größe, die aus einer Maßzahl und einer Maßeinheit besteht.

Längen können bekanntlich nur addiert werden, wenn sie in derselben Maßeinheit vorliegen.
Deshalb müssen wir gegebenenfalls die Einheiten auf eine gemeinsame Einheit umrechnen.

Wichtige Maßeinheiten für Längen (Längenmaße)

Ein Platzhalter für eine beliebige Längeneinheit ist \(\mathrm{LE}\).

Beispiele

1) Formel aufschreiben
2) Gegebene Werte einsetzen
3) Ergebnis berechnen

Beispiele

  • Wie groß ist der Flächeninhalt eines gleichseitigen Dreiecks mit \(a = 4~\mathrm{cm}\)?

    1) Formel aufschreiben

    \(A = \frac{1}{4} \cdot a^2 \cdot \sqrt{3}\)

    2) Gegebene Werte einsetzen

    \(\phantom{A} = \frac{1}{4} \cdot (4~\mathrm{cm})^2 \cdot \sqrt{3}\)

    3) Ergebnis berechnen

    \(\begin{align*}
    \phantom{A}
    &= \tfrac{1}{4} \cdot 16~\mathrm{cm}^2 \cdot \sqrt{3} \\[5px]
    &= (\tfrac{1}{4} \cdot 16 \cdot \sqrt{3})~\mathrm{cm}^2 \\[5px]
    &= 4\sqrt{3}~\mathrm{cm}^2
    \end{align*}\)

  • Wie groß ist der Flächeninhalt eines gleichseitigen Dreiecks mit \(a = 5~\mathrm{m}\)?

    1) Formel aufschreiben

    \(A = \frac{1}{4} \cdot a^2 \cdot \sqrt{3}\)

    2) Gegebene Werte einsetzen

    \(\phantom{A} = \frac{1}{4} \cdot (5~\mathrm{m})^2 \cdot \sqrt{3}\)

    3) Ergebnis berechnen

    \(\begin{align*}
    \phantom{A}
    &= \tfrac{1}{4} \cdot 25~\mathrm{m}^2 \cdot \sqrt{3} \\[5px]
    &= (\tfrac{1}{4} \cdot 25 \cdot \sqrt{3})~\mathrm{m}^2 \\[5px]
    &= 6{,}25\sqrt{3}~\mathrm{m}^2
    \end{align*}\)

  • Wie groß ist der Flächeninhalt eines gleichseitigen Dreiecks mit \(a = 6~\mathrm{km}\)?

    1) Formel aufschreiben

    \(A = \frac{1}{4} \cdot a^2 \cdot \sqrt{3}\)

    2) Gegebene Werte einsetzen

    \(\phantom{A} = \frac{1}{4} \cdot (6~\mathrm{km})^2 \cdot \sqrt{3}\)

    3) Ergebnis berechnen

    \(\begin{align*}
    \phantom{A}
    &= \tfrac{1}{4} \cdot 36~\mathrm{km}^2 \cdot \sqrt{3} \\[5px]
    &= (\tfrac{1}{4} \cdot 36 \cdot \sqrt{3})~\mathrm{km}^2 \\[5px]
    &= 9\sqrt{3}~\mathrm{km}^2
    \end{align*}\)
Andreas Schneider

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Weiterhin viel Erfolg beim Lernen!

Andreas Schneider

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