Dreieck

In diesem Kapitel schauen wir uns an, was ein Dreieck ist.

Ein Dreieck ist eine geometrische Figur, die
- aus drei Punkten, die nicht auf einer Geraden liegen, und
- den drei Strecken, die diese Punkte miteinander verbinden,
besteht.

Beispiel

Drei Punkte, die nicht auf einer Geraden liegen, lassen sich zu einem Dreieck verbinden.

Gegenbeispiel

Drei Punkte, die auf einer Geraden liegen, lassen sich nicht zu einem Dreieck verbinden.

Dreiecke beschriften

Eckpunkte

Jedes Dreieck hat drei Eckpunkte.

Die Eckpunkte werden meist mit den großen Buchstaben \(A\), \(B\) und \(C\) - beginnend
von dem linken unteren Eckpunkt gegen den Uhrzeigersinn - bezeichnet.

Seiten

Jedes Dreieck hat drei Seiten.

Die Seiten werden meist mit den kleinen Buchstaben \(a\), \(b\) und \(c\) bezeichnet, wobei \(a\) gegenüber von \(A\), \(b\) gegenüber von \(B\) und \(c\) gegenüber von \(C\) liegt.

Innenwinkel

Jedes Dreieck hat drei Innenwinkel.

Die Innenwinkel werden meist mit den griechischen Kleinbuchstaben \(\alpha\) (alpha),
\(\beta\) (beta) und \(\gamma\) (gamma) bezeichnet.
\(A\) ist der Scheitelpunkt von \(\alpha\), \(B\) von \(\beta\) usw.

Außenwinkel

Durch Verlängerung der Dreiecksseiten entsteht an jedem der drei Eckpunkte eine Geradenkreuzung, an der wir Scheitelwinkel und Nebenwinkel des jeweiligen Innenwinkels eintragen können. Der Nebenwinkel eines Innenwinkels heißt Außenwinkel.

Jedes Dreieck hat drei Außenwinkel.

Außenwinkel werden meist mit einem Apostroph ( \(^{\prime}\)) von Innenwinkeln abgegrenzt.

Sprechweise

  • \(\alpha^\prime\) sprechen wir „alpha Strich“
  • \(\beta^\prime\) sprechen wir „beta Strich“
  • \(\gamma^\prime\) sprechen wir „gamma Strich“

Beziehungen zwischen Größen des Dreiecks

a) Beziehungen zwischen Seitenlängen

In jedem Dreieck ist die Summe zweier Seitenlängen stets größer als die dritte Seitenlänge.

\(a + b > c\),  \(a + c > b\)  und  \(b + c > a\) (Dreiecksungleichungen)

b) Beziehungen zwischen Winkelgrößen

In jedem Dreieck beträgt die Summe der Innenwinkel \(180^\circ\).

\(\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ\) (Innenwinkelsummensatz)

In jedem Dreieck beträgt die Summe der Außenwinkel \(360^\circ\).

\(\alpha^{\prime} + \beta^{\prime} + \gamma^{\prime} = 360^\circ\) (Außenwinkelsummensatz)

Ein Außenwinkel ist so groß wie die Summe der beiden nicht anliegenden Innenwinkel.

\(\alpha^\prime = \beta + \gamma\),  \(\beta^\prime = \alpha + \gamma\)  und  \(\gamma^\prime = \alpha + \beta\) (Außenwinkelsatz)

c) Beziehungen zwischen Seitenlängen und Winkelgrößen

In jedem Dreieck liegt der größte Winkel der größten Seite gegenüber.

Beispiel: Aus \(a > b > c\) folgt \(\alpha > \beta > \gamma\).

Die Umkehrung des Satzes gilt auch:

In jedem Dreieck liegt die größte Seite dem größten Winkel gegenüber.

Beispiel: Aus \(\alpha > \beta > \gamma\) folgt \(a > b > c\).

In manchen Dreiecken kommen gleich lange Seiten / gleich große Winkel vor. Dann gilt:

Gleich langen Seiten liegen gleich große Winkeln gegenüber.

Beispiel: Aus \(a = b\) folgt \(\alpha = \beta\).

Gleich großen Winkeln liegen gleich lange Seiten gegenüber.

Beispiel: Aus \(\alpha = \beta\) folgt \(a = b\).

Ausblick

Andreas Schneider

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Andreas Schneider

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