Außenwinkelsumme im Dreieck
In diesem Kapitel schauen wir uns an, welcher Satz für die Außenwinkelsumme eines Dreiecks gilt. Dieser Satz ist als Außenwinkelsummensatz
bekannt und lässt sich leicht beweisen.
Erforderliches Vorwissen
Satz
In jedem Dreieck beträgt die Summe der Außenwinkel $360^\circ$.
Beweis
Wir verlängern die Seiten des Dreiecks, damit wir an jedem Eckpunkt eine einfache Geradenkreuzung erhalten. Aus dem Kapitel Winkelarten wissen wir, dass wir an einer einfachen Geradenkreuzung Scheitelwinkel und Nebenwinkel beobachten können.
Danach zeichnen wir die Nebenwinkel der Innenwinkel, die sog. Außenwinkel, ein.
Der Nebenwinkelsatz besagt, dass sich Nebenwinkel zu $180^\circ$, also zu einem gestreckten Winkel, ergänzen.
Folglich gilt:
$$ \alpha + \alpha^\prime = 180^\circ $$
$$ \beta + \beta^\prime = 180^\circ $$
$$ \gamma + \gamma^\prime = 180^\circ $$
Wenn wir die drei Gleichungen addieren, erhalten wir:
$$ (\alpha + \alpha^\prime) + (\beta + \beta^\prime) + (\gamma + \gamma^\prime) = 3 \cdot 180^\circ $$
Wir stellen die linke Seite der Gleichung so um, dass zuerst die Innenwinkel kommen:
$$ (\alpha + \beta + \gamma) + (\alpha^\prime + \beta^\prime + \gamma^\prime) = 3 \cdot 180^\circ $$
Der Innenwinkelsummensatz besagt: $\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ$. Eingesetzt in die obige Gleichung ergibt das:
$$ 180^\circ + (\alpha^\prime + \beta^\prime + \gamma^\prime) = 3 \cdot 180^\circ $$
Wir ziehen auf beiden Seiten $180^\circ$ ab
$$ \alpha^\prime + \beta^\prime + \gamma^\prime = 2 \cdot 180^\circ $$
und rechnen zusammen
$$ \alpha^\prime + \beta^\prime + \gamma^\prime = 360^\circ $$
