Außenwinkelsumme im Dreieck

In diesem Kapitel schauen wir uns den Beweis für den Außenwinkelsummensatz an.

In jedem Dreieck beträgt die Summe der Außenwinkel \(360^\circ\).

Beweis: Außenwinkelsummensatz

Gegeben ist ein beliebiges Dreieck \(ABC\) mit den Innenwinkeln \(\alpha\), \(\beta\) und \(\gamma\).

Wir verlängern die Seiten des Dreiecks, damit wir an jedem Eckpunkt eine einfache Geradenkreuzung erhalten. Aus dem Kapitel Winkelarten wissen wir, dass wir an einer einfachen Geradenkreuzung Scheitelwinkel und Nebenwinkel beobachten können.

Wir zeichnen zunächst die gleich großen Scheitelwinkel der Innenwinkel ein.

Danach zeichnen wir die Nebenwinkel der Innenwinkel, die sog. Außenwinkel, ein.

Der Nebenwinkelsatz besagt, dass sich Nebenwinkel zu \(180^\circ\), also zu einem gestreckten Winkel, ergänzen.

Folglich gilt:
\(\alpha + \alpha^\prime = 180^\circ\)
\(\beta + \beta^\prime = 180^\circ\)
\(\gamma + \gamma^\prime = 180^\circ\)

Wenn wir die drei Gleichungen addieren, erhalten wir:

\((\alpha + \alpha^\prime) + (\beta + \beta^\prime) + (\gamma + \gamma^\prime) = 3 \cdot 180^\circ\)

Wir stellen die linke Seite der Gleichung so um, dass zuerst die Innenwinkel kommen:

\((\alpha + \beta + \gamma) + (\alpha^\prime + \beta^\prime + \gamma^\prime) = 3 \cdot 180^\circ\)

Der Innenwinkelsummensatz besagt: \(\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ\). Eingesetzt in die obige Gleichung ergibt das:

\(180^\circ + (\alpha^\prime + \beta^\prime + \gamma^\prime) = 3 \cdot 180^\circ\)

Wir ziehen auf beiden Seiten \(180^\circ\) ab

\(\alpha^\prime + \beta^\prime + \gamma^\prime = 2 \cdot 180^\circ\)

und rechnen zusammen

\(\alpha^\prime + \beta^\prime + \gamma^\prime = 360^\circ\).

Andreas Schneider

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Andreas Schneider

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