Außenwinkelsatz (Dreieck)

In diesem Kapitel schauen wir uns den Beweis für den Außenwinkelsatz an.

Inhaltsverzeichnis

Erforderliches Vorwissen

Satz

Ein Außenwinkel ist so groß wie die Summe der beiden nicht anliegenden Innenwinkel.

Beweis

Gegeben ist ein beliebiges Dreieck $ABC$ mit den Innenwinkeln $\alpha$ , $\beta$ und $\gamma$ .

Abb. 1

Wir verlängern die Seiten des Dreiecks, damit wir an jedem Eckpunkt eine einfache Geradenkreuzung erhalten. Aus dem Kapitel Winkelarten wissen wir, dass wir an einer einfachen Geradenkreuzung Scheitelwinkel und Nebenwinkel beobachten können.

Abb. 2

Wir zeichnen zunächst die gleich großen Scheitelwinkel der Innenwinkel ein.

Abb. 3

Danach zeichnen wir die Nebenwinkel der Innenwinkel, die sog. Außenwinkel, ein.

Der Nebenwinkelsatz besagt, dass sich Nebenwinkel zu $180^\circ$ , also zu einem gestreckten Winkel, ergänzen.

Folglich gilt:

$$ \alpha + \alpha^\prime = 180^\circ $$

$$ \beta + \beta^\prime = 180^\circ $$

$$ \gamma + \gamma^\prime = 180^\circ $$

Abb. 4

Wenn wir die obigen drei Gleichungen nach den Innenwinkeln auflösen,

$$ \alpha + \alpha^\prime = 180^\circ \quad\Rightarrow\quad \alpha = 180^\circ - \alpha^\prime $$

$$ \beta + \beta^\prime = 180^\circ \quad\Rightarrow\quad \beta = 180^\circ - \beta^\prime $$

$$ \gamma + \gamma^\prime = 180^\circ \quad\Rightarrow\quad \gamma = 180^\circ - \gamma^\prime $$

in den Innenwinkelsummensatz ( $\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ$ ) einsetzen

$$ (180^\circ - \alpha^\prime) + \beta + \gamma = 180^\circ $$

$$ \alpha + (180^\circ - \beta^\prime) + \gamma = 180^\circ $$

$$ \alpha + \beta + (180^\circ - \gamma^\prime) = 180^\circ $$

und nach den Außenwinkeln auflösen, erhalten wir den gesuchten Zusammenhang:

$$ \alpha^\prime = \beta + \gamma $$

$$ \beta^\prime = \alpha + \gamma $$

$$ \gamma^\prime = \alpha + \beta $$

Manche Schüler erkennen diesen Zusammenhang schon durch bloßes Hinschauen:

Aus $\alpha + {\color{red}\alpha^\prime} = 180^\circ$ und $\alpha + {\color{red}\beta + \gamma} = 180^\circ$ folgt $\alpha^\prime = \beta + \gamma$ .
Aus $\beta + {\color{red}\beta^\prime} = 180^\circ$ und ${\color{red}\alpha} + \beta + {\color{red}\gamma} = 180^\circ$ folgt $\beta^\prime = \alpha + \gamma$ .
Aus $\gamma + {\color{red}\gamma^\prime} = 180^\circ$ und ${\color{red}\alpha + \beta} + \gamma = 180^\circ$ folgt $\gamma^\prime = \alpha + \beta$ .