Kongruenzsätze

In diesem Kapitel schauen wir uns an, was man unter den Kongruenzsätzen versteht.

Zum Verständnis dieses Themas ist es erforderlich, dass du bereits weißt, was sich hinter dem Begriff Kongruenz verbirgt.

Als Kongruenzssätze bezeichnet man Aussagen, anhand derer sich einfach die Kongruenz von Dreiecken nachweisen lässt.

Im letzten Artikel haben wir die Kongruenz folgendermaßen definiert:

Unter der Kongruenz geometrischer Figuren versteht man allgemein ihre Deckungsgleichheit, d.h. die völlige Übereinstimmung in Form und Größe.

Zwei kongruente Figuren kannst du dir so vorstellen:
Man kann die eine Figur mit der Schere ausschneiden und so auf die andere legen, dass beide genau übereinander liegen, einander also exakt „überdecken“. Man nennt kongruente Figuren daher auch deckungsgleich.

Wann sind Dreiecke kongruent?

Laut Definition:
Dreiecke sind kongruent, wenn sie in Form und Größe (Fläche) übereinstimmen.

Anders gesagt:
Dreiecke sind kongruent, wenn sie in allen Seiten und Winkeln übereinstimmen.

Die Kongruenzsätze definieren Eigenschaften, mit deren Hilfe wir die Kongruenz von Dreiecken einfach nachweisen können:

1. Kongruenzssatz (SSS-Satz)

Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn sie übereinstimmen in...

...drei Seiten.

2. Kongruenzssatz (SWS-Satz)

Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn sie übereinstimmen in...

...zwei Seiten und dem von ihnen eingeschlossenen Winkel.

3. Kongruenzssatz (WSW-Satz)

Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn sie übereinstimmen in...

...einer Seite und den beiden anliegenden Winkeln.

4. Kongruenzssatz (SSW-Satz)

Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn sie übereinstimmen in...

...zwei Seiten und dem der größeren Seite gegenüberliegenden Winkel.

Zusammenfassung

Dreiecke sind kongruent, wenn sie übereinstimmen in:

  • drei Seiten (SSS)
  • zwei Seiten und dem von ihnen eingeschlossenen Winkel (SWS)
  • einer Seite und den beiden anliegenden Winkeln (WSW)
  • zwei Seiten und dem der größeren Seite gegenüberliegenden Winkel (SSW)

WWW ist kein Kongruenzsatz!

Zwei Dreiecke, die in allen drei Winkeln übereinstimmen, sind nicht kongruent. Es handelt sich dann lediglich um ähnliche Dreiecke (> Ähnlichkeit). Ähnliche Dreiecke stimmen zwar in ihrer Form, nicht jedoch in ihrer Größe überein.

In der Abbildung gilt:

\(\alpha_1 = \alpha_2\)
\(\beta_1 = \beta_2\)
\(\gamma_1 = \gamma_2\)

Obwohl die Dreiecke in allen Winkeln übereinstimmen, sind sie nicht kongruent. Die Dreiecke besitzen zwar dieselbe Form, aber eben nicht dieselbe Größe. Daraus folgt, dass die Dreicke ähnlich sind. (> Ähnlichkeitssätze)

Andreas Schneider

Jeden Tag suche ich für dich nach der verständlichsten Erklärung.

Ich hoffe, dass sich meine Arbeit lohnt und ich dir helfen kann.

Weiterhin viel Erfolg beim Lernen!

Dein Andreas

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