Flächeninhalt: Gleichschenkliges Dreieck

In diesem Kapitel lernen wir, den Flächeninhalt eines gleichschenkligen Dreiecks zu berechnen.

Flächeninhalt ist der Fachbegriff für die Größe einer Fläche.

Herleitung der Formel

Flächenformel eines allgemeinen Dreiecks:

\(\begin{align*}
A
&= \frac{1}{2} \cdot \text{Grundseite } g \cdot \text{Höhe } h \\[5px]
&= \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_a \\[5px]
&= \frac{1}{2} \cdot b \cdot h_b \\[5px]
&= \frac{1}{2} \cdot c \cdot h_c
\end{align*}\)

Neben den obigen Formeln gibt es für gleichschenklige Dreiecke eine weitere Formel, da für die Höhe \(h_c\) in einem gleichschenkligen Dreieck gilt:

\(h_c = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{4 \cdot a^2 - c^2}\)

Eingesetzt in \(A = \frac{1}{2} \cdot c \cdot h_c\) ergibt das:

\(\begin{align*}
A
&= \frac{1}{2} \cdot c \cdot \frac{1}{2} \cdot \sqrt{4 \cdot a^2 - c^2} \\[5px]
&= \frac{1}{4} \cdot c \cdot \sqrt{4 \cdot a^2 - c^2}
\end{align*}\)

Formel

\(A = \frac{1}{4} \cdot c \cdot \sqrt{4 \cdot a^2 - c^2}\)

Um den Flächeninhalt eines gleichschenkligen Dreiecks berechnen zu können, müssen wir entweder die Länge einer Seite und die Länge der zu der Seite gehörenden Höhe oder die Länge eines Schenkels (\(a\)) und die Länge der Basis (\(c\)) kennen. Unter Umständen ist ein Ausmessen erforderlich.

Eine Länge - wie \(5~\mathrm{cm}\) - ist eine Größe, die aus einer Maßzahl und einer Maßeinheit besteht.

Längen können bekanntlich nur addiert werden, wenn sie in derselben Maßeinheit vorliegen.
Deshalb müssen wir gegebenenfalls die Einheiten auf eine gemeinsame Einheit umrechnen.

Wichtige Maßeinheiten für Längen (Längenmaße)

Ein Platzhalter für eine beliebige Längeneinheit ist \(\mathrm{LE}\).

Beispiele

1) Formel aufschreiben
2) Gegebene Werte einsetzen
3) Ergebnis berechnen

Beispiele

  • Wie groß ist der Flächeninhalt eines gleichschenkligen Dreiecks mit \(a = 4~\mathrm{cm}\) und \(h_a = 2~\mathrm{cm}\)?

    1) Formel aufschreiben

    \(A = \frac{1}{2} \cdot g \cdot h\)

    2) Gegebene Werte einsetzen

    \(\phantom{A} = \frac{1}{2} \cdot 4~\mathrm{cm} \cdot 2~\mathrm{cm}\)

    3) Ergebnis berechnen

    \(\begin{align*}
    \phantom{A}
    &= (\tfrac{1}{2} \cdot 4 \cdot 2) (\mathrm{cm} \cdot \mathrm{cm}) \\[5px]
    &= 4~\mathrm{cm}^2
    \end{align*}\)

  • Wie groß ist der Flächeninhalt eines gleichschenkligen Dreiecks mit \(b = 5~\mathrm{m}\) und \(h_b = 3~\mathrm{m}\)?

    1) Formel aufschreiben

    \(A = \frac{1}{2} \cdot g \cdot h\)

    2) Gegebene Werte einsetzen

    \(\phantom{A} = \frac{1}{2} \cdot 5~\mathrm{m} \cdot 3~\mathrm{m}\)

    3) Ergebnis berechnen

    \(\begin{align*}
    \phantom{A}
    &= (\tfrac{1}{2} \cdot 5 \cdot 3) (\mathrm{m} \cdot \mathrm{m}) \\[5px]
    &= 7{,}5~\mathrm{m}^2
    \end{align*}\)

  • Wie groß ist der Flächeninhalt eines gleichschenkligen Dreiecks mit \(c = 7~\mathrm{km}\) und \(h_c = 6~\mathrm{km}\)?

    1) Formel aufschreiben

    \(A = \frac{1}{2} \cdot g \cdot h\)

    2) Gegebene Werte einsetzen

    \(\phantom{A} = \frac{1}{2} \cdot 7~\mathrm{km} \cdot 6~\mathrm{km}\)

    3) Ergebnis berechnen

    \(\begin{align*}
    \phantom{A}
    &= (\tfrac{1}{2} \cdot 7 \cdot 6) (\mathrm{km} \cdot \mathrm{km}) \\[5px]
    &= 21~\mathrm{km}^2
    \end{align*}\)

  • Wie groß ist der Flächeninhalt eines gleichschenkligen Dreiecks mit \(a = 5~\mathrm{cm}\) und \(c = 6~\mathrm{cm}\)?

    1) Formel aufschreiben

    \(A = \frac{1}{4} \cdot c \cdot \sqrt{4 \cdot a^2 - c^2}\)

    2) Gegebene Werte einsetzen

    \(\phantom{A} = \frac{1}{4} \cdot 3~\mathrm{cm} \cdot \sqrt{4 \cdot (5~\mathrm{cm})^2 - (6~\mathrm{cm})^2}\)

    3) Ergebnis berechnen

    \(\begin{align*}
    \phantom{A}
    &= \frac{1}{4} \cdot 3~\mathrm{cm} \cdot \sqrt{4 \cdot 25~\mathrm{cm}^2 - 36~\mathrm{cm}^2} \\[5px]
    &= \frac{1}{4} \cdot 3~\mathrm{cm} \cdot \sqrt{100~\mathrm{cm}^2 - 36~\mathrm{cm}^2} \\[5px]
    &= \frac{1}{4} \cdot 3~\mathrm{cm} \cdot \sqrt{64~\mathrm{cm}^2} \\[5px]
    &= \frac{1}{4} \cdot 3~\mathrm{cm} \cdot 8~\mathrm{cm} \\[5px]
    &= \frac{1}{4} \cdot 24~\mathrm{cm}^2 \\[5px]
    &= 6~\mathrm{cm}^2
    \end{align*}\)
Andreas Schneider

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Andreas Schneider

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