Umfang: Gleichschenkliges Dreieck

In diesem Kapitel lernen wir, den Umfang eines gleichschenkligen Dreiecks zu berechnen.

Umfang ist der Fachbegriff für die Summe aller Seitenlängen.

Herleitung der Formel

Ein allgemeines Dreieck hat drei unterschiedlich lange Seiten.

Umfangsformel
\(U = a + b + c\)

Die Umfangsformel können wir vereinfachen, wenn gleich lange Seiten vorkommen.
In einem gleichschenkligen Dreieck ist genau das der Fall, denn:

In einem gleichschenkligen Dreieck sind zwei Seiten gleich lang (\(a = b\)).

Für den Umfang gilt folglich:

\(U = 2a + c\)

Formel

\(U = 2a + c\)      (\(= 2 \cdot \text{Schenkel} + \text{Basis}\))

Um den Umfang eines gleichschenkligen Dreiecks berechnen zu können, müssen wir die Länge eines Schenkels (\(a\)) und die Länge der Basis (\(c\)) kennen. Unter Umständen ist ein Ausmessen erforderlich.

Eine Länge - wie \(5~\mathrm{cm}\) - ist eine Größe, die aus einer Maßzahl und einer Maßeinheit besteht.

Längen können bekanntlich nur addiert werden, wenn sie in derselben Maßeinheit vorliegen.
Deshalb müssen wir gegebenenfalls die Einheiten auf eine gemeinsame Einheit umrechnen.

Wichtige Maßeinheiten für Längen (Längenmaße)

Ein Platzhalter für eine beliebige Längeneinheit ist \(\mathrm{LE}\).

Beispiele

1) Formel aufschreiben
2) Werte für \(a\) und \(c\) einsetzen
3) Ergebnis berechnen

Beispiele

  • Wie groß ist der Umfang eines gleichschenkligen Dreiecks mit \(a = 4~\mathrm{cm}\) (Länge eines Schenkels) und \(c = 2~\mathrm{cm}\) (Länge der Basis)?

    1) Formel aufschreiben

    \(U = 2a + c\)

    2) Werte für \(a\) und \(c\) einsetzen

    \(\phantom{U} = 2 \cdot 4~\mathrm{cm} + 2~\mathrm{cm}\)

    3) Ergebnis berechnen

    \(\begin{align*}
    \phantom{U}
    &= 8~\mathrm{cm} + 2~\mathrm{cm} \\[5px]
    &= 10~\mathrm{cm}
    \end{align*}\)

  • Wie groß ist der Umfang eines gleichschenkligen Dreiecks mit \(a = 5~\mathrm{m}\) (Länge eines Schenkels) und \(c = 3~\mathrm{m}\) (Länge der Basis)?

    1) Formel aufschreiben

    \(U = 2a + c\)

    2) Werte für \(a\) und \(c\) einsetzen

    \(\phantom{U} = 2 \cdot 5~\mathrm{m} + 3~\mathrm{m}\)

    3) Ergebnis berechnen

    \(\begin{align*}
    \phantom{U}
    &= 10~\mathrm{m} + 3~\mathrm{m} \\[5px]
    &= 13~\mathrm{m}
    \end{align*}\)

  • Wie groß ist der Umfang eines gleichschenkligen Dreiecks mit \(a = 7~\mathrm{LE}\) (Länge eines Schenkels) und \(c = 6~\mathrm{LE}\) (Länge der Basis)?

    1) Formel aufschreiben

    \(U = 2a + c\)

    2) Werte für \(a\) und \(c\) einsetzen

    \(\phantom{U} = 2 \cdot 7~\mathrm{LE} + 6~\mathrm{LE}\)

    3) Ergebnis berechnen

    \(\begin{align*}
    \phantom{U}
    &= 14~\mathrm{LE} + 6~\mathrm{LE} \\[5px]
    &= 20~\mathrm{LE}
    \end{align*}\)
Andreas Schneider

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Weiterhin viel Erfolg beim Lernen!

Andreas Schneider

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