Höhe: Gleichschenkliges Dreieck

In diesem Kapitel lernen wir, die Höhe eines gleichschenkligen Dreiecks zu berechnen.

Herleitung der Formel

Gegeben ist ein gleichschenkliges Dreieck mit den Schenkeln \(a\) und \(b\), der Basis \(c\) sowie die Höhe auf die Basis \(h_c\).

Gesucht ist eine Formel für die Höhe \(h_c\).

Die Höhe \(h_c\) teilt das Dreieck in zwei kongruente, rechtwinklige Dreiecke. Sie teilt zudem die Basis \(c\) in zwei gleich große Teile.

Nach dem Satz des Pythagoras gilt:

\(a^2 = h_c^2 + \left(\frac{1}{2}c\right)^2\)

Diese Gleichung müssen wir jetzt nur noch nach \(h_c\) auflösen.

Zunächst berechnen wir den quadrierten Ausdruck

\(a^2 = h_c^2 + \left(\frac{1}{2}c\right)^2\)

zu

\(a^2 = h_c^2 + \frac{1}{4}c^2\).

Dann bringen wir \(\frac{1}{4}c^2\) auf die andere Seite der Gleichung

\(a^2 - \frac{1}{4}c^2 = h_c^2\)

und vertauschen anschließend die Seiten

\(h_c^2 = a^2 - \frac{1}{4}c^2\).

Durch Wurzelziehen

\(\sqrt{h_c^2} = \sqrt{a^2 - \frac{1}{4}c^2}\)

erhalten wir

\(h_c = \sqrt{a^2 - \frac{1}{4}c^2}\).

Der Bruch unter der Wurzel stört uns. Durch Ausklammern von \(\frac{1}{4}\) in der Wurzel

\(h_c = \sqrt{\frac{1}{4} \cdot (4 \cdot a^2 - c^2)}\)

und anschließendem teilweisen Wurzelziehen

\(h_c = \sqrt{\frac{1}{4}} \cdot \sqrt{4 \cdot a^2 - c^2}\)

erhalten wir einen etwas schöneren Ausdruck

\(h_c =\frac{1}{2} \cdot \sqrt{4 \cdot a^2 - c^2}\).

Formel

\(h_c =\frac{1}{2} \cdot \sqrt{4 \cdot a^2 - c^2}\)

Um die Höhe \(h_c\) eines gleichschenkligen Dreiecks berechnen zu können, müssen wir die Länge eines Schenkels (\(a\)) und die Länge der Basis (\(c\)) kennen. Unter Umständen ist ein Ausmessen erforderlich.

Eine Länge - wie \(5~\mathrm{cm}\) - ist eine Größe, die aus einer Maßzahl und einer Maßeinheit besteht.

Längen können bekanntlich nur addiert werden, wenn sie in derselben Maßeinheit vorliegen.
Deshalb müssen wir gegebenenfalls die Einheiten auf eine gemeinsame Einheit umrechnen.

Wichtige Maßeinheiten für Längen (Längenmaße)

Ein Platzhalter für eine beliebige Längeneinheit ist \(\mathrm{LE}\).

Beispiele

1) Formel aufschreiben
2) Gegebene Werte einsetzen
3) Ergebnis berechnen

Beispiele

  • Wie groß ist die Höhe \(h_c\) eines gleichschenkligen Dreiecks mit \(a = 5~\mathrm{cm}\) (Länge eines Schenkels) und \(c = 6~\mathrm{cm}\) (Länge der Basis)?

    1) Formel aufschreiben

    \(h_c =\frac{1}{2} \cdot \sqrt{4 \cdot a^2 - c^2}\)

    2) Gegebene Werte einsetzen

    \(\phantom{h_c} = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{4 \cdot (5~\mathrm{cm})^2 - (6~\mathrm{cm})^2}\)

    3) Ergebnis berechnen

    \(\begin{align*}
    \phantom{h_c}
    &= \tfrac{1}{2} \cdot \sqrt{4 \cdot 25~\mathrm{cm}^2 - 36~\mathrm{cm}^2} \\[5px]
    &= \tfrac{1}{2} \cdot \sqrt{100~\mathrm{cm}^2 - 36~\mathrm{cm}^2} \\[5px]
    &= \tfrac{1}{2} \cdot \sqrt{64~\mathrm{cm}^2} \\[5px]
    &= \tfrac{1}{2} \cdot 8~\mathrm{cm} \\[5px]
    &= 4~\mathrm{cm}
    \end{align*}\)

  • Wie groß ist die Höhe \(h_c\) eines gleichschenkligen Dreiecks mit \(a = 4~\mathrm{m}\) (Länge eines Schenkels) und \(c = 4~\mathrm{m}\) (Länge der Basis)?

    1) Formel aufschreiben

    \(h_c =\frac{1}{2} \cdot \sqrt{4 \cdot a^2 - c^2}\)

    2) Gegebene Werte einsetzen

    \(\phantom{h_c} = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{4 \cdot (4~\mathrm{m})^2 - (4~\mathrm{m})^2}\)

    3) Ergebnis berechnen

    \(\begin{align*}
    \phantom{h_c}
    &= \tfrac{1}{2} \cdot \sqrt{4 \cdot 16~\mathrm{m}^2 - 16~\mathrm{m}^2} \\[5px]
    &= \tfrac{1}{2} \cdot \sqrt{64~\mathrm{m}^2 - 16~\mathrm{m}^2} \\[5px]
    &= \tfrac{1}{2} \cdot \sqrt{48~\mathrm{m}^2} \\[5px]
    &= \tfrac{1}{2} \cdot \sqrt{2^4 \cdot 3~\mathrm{m}^2} \\[5px]
    &= \tfrac{1}{2} \cdot \sqrt{2^4} \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{\mathrm{m}^2} \\[5px]
    &= \tfrac{1}{2} \cdot \sqrt{16} \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{\mathrm{m}^2} \\[5px]
    &= \tfrac{1}{2} \cdot 4 \cdot \sqrt{3} \cdot \mathrm{m} \\[5px]
    &= 2\sqrt{3}~\mathrm{m}
    \end{align*}\)

  • Wie groß ist die Höhe \(h_c\) eines gleichschenkligen Dreiecks mit \(a = 2~\mathrm{km}\) (Länge eines Schenkels) und \(c = 3~\mathrm{km}\) (Länge der Basis)?

    1) Formel aufschreiben

    \(h_c =\frac{1}{2} \cdot \sqrt{4 \cdot a^2 - c^2}\)

    2) Gegebene Werte einsetzen

    \(\phantom{h_c} = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{4 \cdot (2~\mathrm{km})^2 - (3~\mathrm{km})^2}\)

    3) Ergebnis berechnen

    \(\begin{align*}
    \phantom{h_c}
    &= \tfrac{1}{2} \cdot \sqrt{4 \cdot 4~\mathrm{km}^2 - 9~\mathrm{km}^2} \\[5px]
    &= \tfrac{1}{2} \cdot \sqrt{16~\mathrm{km}^2 - 9~\mathrm{km}^2} \\[5px]
    &= \tfrac{1}{2} \cdot \sqrt{7~\mathrm{km}^2} \\[5px]
    &= \tfrac{1}{2} \cdot \sqrt{7} \cdot \sqrt{\mathrm{km}^2} \\[5px]
    &= \tfrac{1}{2} \cdot \sqrt{7} \cdot \mathrm{km} \\[5px]
    &= 0{,}5\sqrt{7}~\mathrm{km}
    \end{align*}\)
Andreas Schneider

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Andreas Schneider

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