Gleichschenkliges Dreieck

In diesem Kapitel schauen wir uns an, was ein gleichschenkliges Dreieck ist.

Benötigtes Vorwissen

Kontext

Dreiecke lassen sich in verschiedene Dreiecksarten einteilen.

Eine Einteilung nach den Seitenlängen führt zu

Ein Dreieck mit zwei gleich langen Seiten heißt gleichschenkliges Dreieck.

Gleichschenkliges Dreieck: Bezeichnungen

Die beiden gleich langen Seiten heißen Schenkel. Die dritte Seite heißt Grundseite oder Basis.

Der Eckpunkt, der der Basis gegenüberliegt, heißt Spitze.

Die beiden Winkel, die an der Basis anliegen, heißen Basiswinkel. Der dritte Winkel heißt Winkel an der Spitze.

Gleichschenkliges Dreieck: Eigenschaften

Seiten

In einem gleichschenkligen Dreieck sind zwei Seiten gleich lang (\(a = b\)).

Winkel

In einem gleichschenkligen Dreieck sind zwei Winkel gleich groß (\(\alpha = \beta\)).

Anmerkung

Ein gleichschenkliges Dreieck kann spitzwinklig, rechtwinklig oder stumpfwinklig sein.

Besondere Linien und Punkte

Die Seitenhalbierenden der Basis, die Mittelsenkrechten der Basis, die Höhe auf die Basis und die Winkelhalbierende des Winkels an der Spitze fallen zusammen.

\(s_c = m_c = h_c = w_\gamma\)

Symmetrie

Ein gleichschenkliges Dreieck ist achsensymmetrisch.

Es gibt genau eine Symmetrieachse. Die Symmetrieachse fällt mit den besonderen Linien des Dreiecks (siehe oben) zusammen.

Die Symmetrieachse teilt das Dreieck in zwei kongruente, rechtwinklige Dreiecke.

Ausblick

Spezialfall eines gleichschenkligen Dreiecks ist ein gleichseitiges Dreieck.

Gleichschenkliges Dreieck: Formeln

Höhe berechnen

Nach dem Satz des Pythagoras gilt:

\(a^2 = h_c^2 + \left(\frac{1}{2}c\right)^2\)

Daraus folgt:

\(h_c = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{4a^2 - c^2}\)

Umfang berechnen

Wegen \(a = b\) gilt:

\(\begin{align*}
U
&= 2a + c \\[5pt]
&= 2b + c
\end{align*}\)

Flächeninhalt berechnen

\(\begin{align*}
A
&= \frac{1}{2} \cdot \text{ Grundseite } \cdot \text{ Höhe } \\[5px]
&= \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_a \\[5px]
&= \frac{1}{2} \cdot b \cdot h_b \\[5px]
&= \frac{1}{2} \cdot c \cdot h_c
\end{align*}\)

Wenn wir \(h_c = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{4a^2 - c^2}\) in \(A = \frac{1}{2} \cdot c \cdot h_c\) einsetzen, erhalten wir

\(\begin{align*}
A
&= \frac{1}{2} \cdot c \cdot \frac{1}{2} \cdot \sqrt{4a^2 - c^2} \\[5px]
&= \frac{1}{4} \cdot c \cdot \sqrt{4a^2 - c^2}
\end{align*}\)

Andreas Schneider

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Andreas Schneider

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