Gleichschenkliges Dreieck
Dreiecke lassen sich in verschiedene Dreiecksarten einteilen. Eine Einteilung nach den Seitenlängen führt zu unregelmäßigen Dreiecken, gleichschenkligen Dreiecken und gleichseitigen Dreiecken. In diesem Kapitel schauen wir uns an, was ein gleichschenkliges Dreieck ist.
Erforderliches Vorwissen
Definition
Ein Dreieck mit zwei gleich langen Seiten heißt gleichschenkliges Dreieck.
Bezeichnungen
Die beiden gleich langen Seiten heißen Schenkel. Die dritte Seite heißt Grundseite oder Basis.
Der Eckpunkt, der der Basis gegenüberliegt, heißt Spitze.
Die beiden Winkel, die an der Basis anliegen, heißen Basiswinkel. Der dritte Winkel heißt Winkel an der Spitze.
Eigenschaften
Seiten
Winkel
Anmerkung
Ein gleichschenkliges Dreieck kann spitzwinklig, rechtwinklig oder stumpfwinklig sein.
Besondere Linien und Punkte
Die Seitenhalbierenden der Basis, die Mittelsenkrechten der Basis, die Höhe auf die Basis und die Winkelhalbierende des Winkels an der Spitze fallen zusammen.
$$ s_c = m_c = h_c = w_\gamma $$
Symmetrie
Ein gleichschenkliges Dreieck ist achsensymmetrisch.
Es gibt genau eine Symmetrieachse. Die Symmetrieachse fällt mit den besonderen Linien des Dreiecks (siehe oben) zusammen.
Die Symmetrieachse teilt das Dreieck in zwei kongruente, rechtwinklige Dreiecke.
Ausblick
Spezialfall eines gleichschenkligen Dreiecks ist ein gleichseitiges Dreieck.
Formeln
Höhe
Nach dem Satz des Pythagoras gilt:
$$ a^2 = h_c^2 + \left(\frac{1}{2}c\right)^2 $$
Daraus folgt:
$$ h_c = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{4a^2 - c^2} $$
Umfang
Flächeninhalt
$$ \begin{align*} A &= \frac{1}{2} \cdot \text{ Grundseite } \cdot \text{ Höhe } \\[5px] &= \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_a \\[5px] &= \frac{1}{2} \cdot b \cdot h_b \\[5px] &= \frac{1}{2} \cdot c \cdot h_c \end{align*} $$
Wenn wir $h_c = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{4a^2 - c^2}$ in $A = \frac{1}{2} \cdot c \cdot h_c$ einsetzen, erhalten wir
$$ \begin{align*} A &= \frac{1}{2} \cdot c \cdot \frac{1}{2} \cdot \sqrt{4a^2 - c^2} \\[5px] &= \frac{1}{4} \cdot c \cdot \sqrt{4a^2 - c^2} \end{align*} $$
