Gleichschenkliges Dreieck
In diesem Kapitel schauen wir uns an, was ein gleichschenkliges Dreieck ist.
Benötigtes Vorwissen
Kontext
Dreiecke lassen sich in verschiedene Dreiecksarten einteilen.
Eine Einteilung nach den Seitenlängen führt zu
- unregelmäßigen Dreiecken (drei verschieden lange Seiten),
- gleichschenkligen Dreiecken (zwei gleich lange Seiten) und
- gleichseitigen Dreiecken (drei gleich lange Seiten).
Ein Dreieck mit zwei gleich langen Seiten heißt gleichschenkliges Dreieck.
Gleichschenkliges Dreieck: Bezeichnungen
Die beiden gleich langen Seiten heißen Schenkel. Die dritte Seite heißt Grundseite oder Basis.
Der Eckpunkt, der der Basis gegenüberliegt, heißt Spitze.
Die beiden Winkel, die an der Basis anliegen, heißen Basiswinkel. Der dritte Winkel heißt Winkel an der Spitze.
Gleichschenkliges Dreieck: Eigenschaften
Seiten
In einem gleichschenkligen Dreieck sind zwei Seiten gleich lang (\(a = b\)).
Winkel
In einem gleichschenkligen Dreieck sind zwei Winkel gleich groß (\(\alpha = \beta\)).
Anmerkung
Ein gleichschenkliges Dreieck kann spitzwinklig, rechtwinklig oder stumpfwinklig sein.
Besondere Linien und Punkte
Die Seitenhalbierenden der Basis, die Mittelsenkrechten der Basis, die Höhe auf die Basis und die Winkelhalbierende des Winkels an der Spitze fallen zusammen.
\(s_c = m_c = h_c = w_\gamma\)
Symmetrie
Ein gleichschenkliges Dreieck ist achsensymmetrisch.
Es gibt genau eine Symmetrieachse. Die Symmetrieachse fällt mit den besonderen Linien des Dreiecks (siehe oben) zusammen.
Die Symmetrieachse teilt das Dreieck in zwei kongruente, rechtwinklige Dreiecke.
Ausblick
Spezialfall eines gleichschenkligen Dreiecks ist ein gleichseitiges Dreieck.
Gleichschenkliges Dreieck: Formeln
Höhe berechnen
Nach dem Satz des Pythagoras gilt:
\(a^2 = h_c^2 + \left(\frac{1}{2}c\right)^2\)
Daraus folgt:
\(h_c = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{4a^2 - c^2}\)
Umfang berechnen
Wegen \(a = b\) gilt:
\(\begin{align*}
U
&= 2a + c \\[5pt]
&= 2b + c
\end{align*}\)
Flächeninhalt berechnen
\(\begin{align*}
A
&= \frac{1}{2} \cdot \text{ Grundseite } \cdot \text{ Höhe } \\[5px]
&= \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_a \\[5px]
&= \frac{1}{2} \cdot b \cdot h_b \\[5px]
&= \frac{1}{2} \cdot c \cdot h_c
\end{align*}\)
Wenn wir \(h_c = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{4a^2 - c^2}\) in \(A = \frac{1}{2} \cdot c \cdot h_c\) einsetzen, erhalten wir
\(\begin{align*}
A
&= \frac{1}{2} \cdot c \cdot \frac{1}{2} \cdot \sqrt{4a^2 - c^2} \\[5px]
&= \frac{1}{4} \cdot c \cdot \sqrt{4a^2 - c^2}
\end{align*}\)
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