Kathetensatz

In diesem Kapitel besprechen wir den Kathetensatz.

Wiederholung wichtiger Begriffe im rechtwinkligen Dreieck

Die Hypotenuse ist die längste Seite eines rechtwinkliges Dreiecks. Sie liegt stets gegenüber dem rechten Winkel.

Als Kathete bezeichnet man jede der beiden kürzeren Seiten des rechtwinkligen Dreiecks. Diese beiden Seiten bilden den rechten Winkel.

Die Ecken des Dreiecks werden mit Großbuchstaben (A, B, C) gegen den Uhrzeigersinn beschriftet.

Die Seiten des Dreiecks werden mit Kleinbuchstaben (a, b, c) beschriftet. Dabei liegt die Seite a gegenüber dem Eckpunkt A...

Die Winkel des Dreiecks werden mit griechischen Buchstaben beschriftet. Dabei befindet sich der Winkel \(\alpha\) beim Eckpunkt A...

Die Höhe \(h\) des rechtwinkligen Dreiecks teilt die Hypotenuse \(c\) in zwei Hypotenusenabschnitte.

Den Hypotenusenabschnitt unterhalb der Kathete \(a\) bezeichnen wir mit \(p\).

Den Hypotenusenabschnitt unterhalb der Kathete \(b\) bezeichnen wir mit \(q\).

Es gilt: \(c = p + q\).

Der Kathetensatz besagt, dass in einem rechtwinkligen Dreieck
das Quadrat über einer Kathete
genauso groß ist wie
das Rechteck, welches sich aus der Hypotenuse und dem anliegenden Hypotenusenabschnitt ergibt.

Mathematisch formuliert:

\(a^2 = c \cdot p\)

\(b^2 = c \cdot q\)

Wir wissen bereits, dass es sich bei \(a\), \(b\) und \(c\) um die Seiten des Dreiecks handelt und \(p\) und \(q\) die Hypotenusenabschnitte sind. Doch wie kann man sich \(a^2\), \(b^2\), \(c \cdot p\) oder \(c \cdot q\) vorstellen?

In der 5. oder 6. Klasse hast du dich wahrscheinlich zum ersten Mal mit Flächen auseinandergesetzt. Schauen wir uns dazu ein kleines Beispiel an.

Von einer Länge zu einer Fläche

Wenn du auf einem karierten Blatt Papier ein Quadrat mit der Seitenlänge 4 cm zeichnest, dann ist die umrandete Fläche 16 cm² groß.

Rechnerisch:
\(4\text{ cm} \cdot 4\text{ cm} = 16\text{ cm}^2\)

Mit diesem Wissen aus der Unterstufe können wir uns \(a^2\), \(b^2\), \(c \cdot p\) oder \(c \cdot q\) schon besser vorstellen.

  • \(a^2\) und \(b^2\) sind Quadrate mit den Seitenlängen \(a\) bzw. \(b\).
  • Bei \(c \cdot p\) und \(c \cdot q\) handelt es sich dagegen um Rechtecke.

In der folgenden Abbildung versuchen wir den Sachverhalt noch einmal graphisch darzustellen:

Laut dem Kathetensatz gilt:

grüne Fläche = grüne Fläche
\({\color{green}a^2\qquad\qquad} = {\color{green}c \cdot p}\)

blaue Fläche \(=\) blaue Fläche
\({\color{blue}b^2\qquad\qquad} = {\color{blue}c \cdot q}\)

Der Kathetensatz besagt, dass in einem rechtwinkligen Dreieck das Quadrat über einer Kathete (\(a^2\) bzw. \(b^2\)) genauso groß ist wie das Rechteck, welches sich aus der Hypotenuse \(c\) und dem anliegenden Hypotenusenabschnitt (\(p\) bzw. \(q\)) ergibt.

Wenn du bis hierhin alles verstanden hast, dann denkst du dir wahrscheinlich gerade: "Rechtecke, Quadrate, Dreiecke...alles schön und gut, aber was bringt mir der Kathetensatz?".

Wie du im nächsten Abschnitt sehen wirst, gibt es zahlreiche Fragestellungen, bei denen sich der Kathetensatz als äußerst nützlich erweist.

Kathetensatz: Anwendungen

Im Folgenden besprechen wir einige Aufgaben, die im Zusammenhang mit dem Kathetensatz immer wieder abgefragt werden.

Katheten gesucht

Gegeben ist die Hypotenuse \(c\) sowie der Hypotenusenabschnitt \(p\):

\(c = 5\)

\(p = 3,2\)

Gesucht ist die Länge der Katheten \(a\) und \(b\).

Laut dem Kathetensatz gilt: \(a^2 = c \cdot p\).

Setzen wir \(c = 5\) und \(p = 3,2\) in die Formel ein, so halten wir:

\(a^2 = 5 \cdot 3,2\)

\(a^2 = 16\)

\(a = \sqrt{16} = 4\)

Damit haben wir die erste Kathete berechnet.

Jetzt haben wir zwei Möglichkeiten, um die zweite Kathete zu berechnen. Entweder wir greifen auf den Satz des Pythagoras zurück oder wir machen mit dem Kathetensatz weiter.

Berechnung der zweiten Kathete - Variante 1 (Satz des Pythagoras)

Laut Pythagoras gilt: \(a^2 + b^2 = c^2\)

Setzen wir \(a = 4\) und \(c = 5\) in die Formel ein, so halten wir:

\(4^2 + b^2 = 5^2\)

\(16 + b^2 = 25\)

\(b^2 = 25-16\)

\(b^2 = 9\)

\(b = \sqrt{9} = 3\)

Damit haben wir auch die zweite Kathete berechnet.

Berechnung der zweiten Kathete - Variante 2 (Kathetensatz)

Bisher wissen kennen wir \(a\), \(c\) und \(p\). Gesucht ist die Kathete \(b\).

Dazu greifen wir auf die 2. Formel des Kathetensatzes zurück: \(b^2 = c \cdot q\).

In dieser Formel sind uns \(b\) und \(q\) noch nicht bekannt. \(q\) lässt sich aber sehr leicht mit der Hilfe von \(p\) berechnen, da ja gilt:

\(c = p + q\) (die Hypotenuse setzt sich aus den Hypotenusenabschnitten zusammen)

\(q = c - p = 5 - 3,2 = 1,8\)

Setzen wir jetzt \(c = 5\) und \(q = 1,8\) in den Kathetensatz ein, so halten wir:

\(b^2 = c \cdot q\)

\(b^2 = 5 \cdot 1,8 = 9\)

\(b = \sqrt{9} = 3\)

Somit haben wir die gesuchte Kathete gefunden.

Handelt es sich um ein rechtwinkliges Dreieck?

Mit Hilfe des Kathetensatz können wir überprüfen, ob ein Dreieck rechtwinklig ist, ohne dabei auch nur einen einzigen Winkel zu messen.

Beispiel 1

Von einem Dreieck kennen wir die Hypotenuse, eine Kathete sowie einen Hypotenusenabschnitt:

\(c = 6\)

\(a = 4\)

\(p = 2\)

Wir sollen überprüfen, ob es sich um ein rechtwinkliges Dreieck handelt.

Überlegung: Wenn das Dreieck rechtwinklig wäre, dann müsste der Kathetensatz gelten. Wir setzen also die gegebenen Werte in die Formel ein und betrachten dann, was dabei herauskommt.

Wenn das Dreieck rechtwinklig ist, so gilt:

\(a^2 = c \cdot p\)

\(4^2 = 6 \cdot 2\)

\(16 = 12\)

Da der Kathetensatz zu einem falschen Ergebnis führt, ist das Dreieck nicht rechtwinklig.

Beispiel 2

Von einem Dreieck kennen wir die Hypotenuse, eine Kathete sowie einen Hypotenusenabschnitt:

\(c = 5\)

\(a = 4\)

\(p = 3,2\)

Wir sollen überprüfen, ob es sich um ein rechtwinkliges Dreieck handelt.

Überlegung: Wenn das Dreieck rechtwinklig wäre, dann müsste der Kathetensatz gelten. Wir setzen also die gegebenen Werte in die Formel ein und betrachten dann, was dabei herauskommt.

Wenn das Dreieck rechtwinklig ist, so gilt:

\(a^2 = c \cdot p\)

\(4^2 = 5 \cdot 3,2\)

\(16 = 16\)

Da der Kathetensatz zu einem wahren Ergebnis führt, ist das Dreieck rechtwinklig.

Mehr zum Thema Dreiecke

Wenn du dich ausführlicher mit Dreiecken beschäftigen möchtest, so empfehlen wir dir, die folgenden Kapitel nacheinander durchzuarbeiten.

Dreiecke (Hauptkapitel)  
Einteilung nach Seitenlängen  
Unregelmäßiges Dreieck  
Gleichschenkliges Dreieck  
Gleichseitiges Dreieck  
Einteilung nach Winkeln  
Spitzwinkliges Dreieck \(\alpha, \beta, \gamma < 90°\)
Rechtwinkliges Dreieck \(\gamma = 90°\)
Stumpfwinkliges Dreieck \(\gamma > 90°\)
Satzgruppe des Pythagoras  
Satz des Pythagoras \(a^2 + b^2 = c^2\)
Kathetensatz \(a^2 = c \cdot p\)

\(b^2 = c \cdot q\)

Höhensatz \(h^2 = p \cdot q\)

Andreas Schneider

Jeden Tag suche ich für dich nach der verständlichsten Erklärung.

Ich hoffe, dass sich meine Arbeit lohnt und ich dir helfen kann.

Weiterhin viel Erfolg beim Lernen!

Dein Andreas

PS: Ich freue mich, wenn du mir mal schreibst!

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