Quadrat

In diesem Kapitel schauen wir uns an, was ein Quadrat ist. Für alle, die das Wort noch nie gehört haben: Ein Quadrat ist eine geometrische Figur, genauer gesagt ein Viereck, mit speziellen Eigenschaften.

Erforderliches Vorwissen

Definition 

Ein Quadrat ist ein Viereck mit
vier gleich langen Seiten und
vier rechten Winkeln.

Rechter Winkel ist der mathematische Fachbegriff für einen Winkel von $90^\circ$.

Beispiel eines Quadrats

Die vier gleich langen Seiten bezeichnen wir mit dem Kleinbuchstaben $a$.

Die vier rechten Winkel deuten wir graphisch durch Viertelkreise mit einem Punkt an.

Abb. 1 / Quadrat 

Beziehungen zu anderen Figuren

Ein Quadrat ist…

  • ein Rechteck mit vier gleich langen Seiten.
  • eine Raute mit vier rechten Winkeln.
  • ein Parallelogramm mit vier gleich langen Seiten und vier rechten Winkeln.
  • ein Trapez mit vier gleich langen Seiten und vier rechten Winkeln.

Eigenschaften 

Geerbte Eigenschaften 

Ecken 

Jedes Viereck hat vier Ecken.

Abb. 2 / Ecken 

Seiten 

Jedes Viereck hat vier Seiten.

Abb. 3 / Seiten 

Winkel 

In jedem Viereck
– gibt es vier Innenwinkel
– beträgt die Winkelsumme $360^\circ$
   $\alpha + \beta + \gamma + \delta = 360^\circ$

Abb. 4 / Winkel 

Diagonale 

Jedes Viereck hat zwei Diagonalen.

Abb. 5 / Diagonale 

Spezielle Eigenschaften 

Seiten 

In einem Quadrat sind
– alle Seiten gleich lang
   $a = b = c = d$
– gegenüberliegende Seiten parallel
   $a \parallel c$ und $b \parallel d$

Aufgrund der Gleichheit ihrer Längen werden alle vier Seiten eines Quadrats meist einfach mit $a$ bezeichnet.

Abb. 6 / Seiten 

Winkel 

Ein Quadrat hat vier rechte Winkel.
$\alpha = \beta = \gamma = \delta = 90^\circ$

Abb. 7 / Winkel 

Diagonale 

Die Diagonalen eines Quadrats
– sind gleich lang ($e = f$)
– halbieren einander
– stehen aufeinander senkrecht ($e \bot f$)
– halbieren die Innenwinkel des Quadrats

Aufgrund der Gleichheit ihrer Längen werden die beiden Diagonalen eines Quadrats häufig einfach mit $d$ bezeichnet.

Abb. 8 / Diagonale 

Symmetrie 

Ein Quadrat ist achsensymmetrisch zu
– den beiden Mittelsenkrechten
– den beiden Diagonalen

Ein Quadrat ist punktsymmetrisch zu
– dem Schnittpunkt der Diagonalen $S$

Abb. 9 / Symmetrie 

Umkreis 

Ein Quadrat besitzt einen Umkreis.
($\Rightarrow$ Sehnenviereck)

Mittelpunkt:
Diagonalenschnittpunkt $S$

Radius:
$r_u = \frac{1}{2} \cdot d$
Der Umkreisradius ist halb so lang wie eine Diagonale des Quadrats.

Abb. 10 / Umkreis 

Inkreis 

Ein Quadrat besitzt einen Inkreis. ($\Rightarrow$ Tangentenviereck)

Mittelpunkt:
Diagonalenschnittpunkt $S$

Radius:
$r_i = \frac{1}{2} \cdot a$
Der Inkreisradius ist halb so lang wie eine Seite des Quadrats.

Abb. 11 / Inkreis 

Quadrat berechnen 

Umfang 

Abb. 12 / Umfang 

Flächeninhalt 

Abb. 13 / Flächeninhalt 

Diagonale 

$$ d = a\sqrt{2} $$

Diagonale eines Quadrats

Abb. 14 / Diagonale 

Seitenlänge 

In manchen Aufgaben ist der Flächeninhalt, der Umfang oder die Diagonale gegeben und die Seitenlänge $a$ des Quadrats ist gesucht.

In so einem Fall müssen wir die oben erwähnten Gleichungen mithilfe von Äquivalenzumformungen nach $a$ auflösen.

Abb. 15 / Seitenlänge 

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