Beispiel eines Quadrats

Die vier gleich langen Seiten bezeichnen wir
mit dem Kleinbuchstaben \(a\).

Die vier rechten Winkel deuten wir graphisch durch Viertelkreise mit einem Punkt an.

Eigenschaften eines Quadrats

a) Allgemeine Eigenschaften

Ecken

Jedes Viereck hat vier Ecken.

Seiten

Jedes Viereck hat vier Seiten.

Winkel

In jedem Viereck
- gibt es vier Innenwinkel
- beträgt die Winkelsumme 360°
   \(\alpha + \beta + \gamma + \delta = 360^\circ\)

Diagonale

Jedes Viereck hat zwei Diagonalen.

b) Besondere Eigenschaften

Seiten

In einem Quadrat sind
- alle Seiten gleich lang
   \(a = b = c = d\)
- gegenüberliegende Seiten parallel
   \(a \parallel c\) und \(b \parallel d\)

Aufgrund der Gleichheit ihrer Längen werden alle vier Seiten eines Quadrats meist einfach mit \(a\) bezeichnet.

Winkel

Ein Quadrat hat vier rechte Winkel.
\(\alpha = \beta = \gamma = \delta = 90^\circ\)

Diagonale

Die Diagonalen eines Quadrats
- sind gleich lang (\(e = f\))
- halbieren einander
- stehen aufeinander senkrecht (\(e \bot f\))
- halbieren die Innenwinkel des Quadrats

Aufgrund der Gleichheit ihrer Längen werden die beiden Diagonalen eines Quadrats häufig einfach mit \(d\) bezeichnet.

Symmetrie

Ein Quadrat ist achsensymmetrisch zu
- den beiden Mittelsenkrechten
- den beiden Diagonalen

Ein Quadrat ist punktsymmetrisch zu
- dem Schnittpunkt der Diagonalen \(S\)

Umkreis

Ein Quadrat besitzt einen Umkreis.
(\(\Rightarrow\) Sehnenviereck)

Mittelpunkt: Diagonalenschnittpunkt \(S\)

Radius: \(r_u = \frac{1}{2} \cdot d\)
Der Umkreisradius ist halb so lang
wie eine Diagonale des Quadrats.

Inkreis

Ein Quadrat besitzt einen Inkreis.
(\(\Rightarrow\) Tangentenviereck)

Mittelpunkt: Diagonalenschnittpunkt \(S\)

Radius: \(r_i = \frac{1}{2} \cdot a\)
Der Inkreisradius ist halb so lang
wie eine Seite des Quadrats.

Quadrat berechnen

Umfang eines Quadrats

\(U = 4a\)

Flächeninhalt eines Quadrats

\(A = a^2\)

Diagonale eines Quadrats

\(d = a\sqrt{2}\)

Seitenlänge

In manchen Aufgaben ist der Flächeninhalt, der Umfang oder die Diagonale gegeben und die Seitenlänge \(a\) des Quadrats ist gesucht.

In so einem Fall müssen wir die oben erwähnten Gleichungen mit Hilfe von Äquivalenzumformungen nach \(a\) auflösen.