Quadrat

Beispiel eines Quadrats

Die vier gleich langen Seiten bezeichnen wir mit dem Kleinbuchstaben $a$.

Die vier rechten Winkel deuten wir graphisch durch Viertelkreise mit einem Punkt an.

Jedes Viereck hat vier Ecken.

Jedes Viereck hat vier Seiten.

In jedem Viereck
– gibt es vier Innenwinkel
– beträgt die Winkelsumme $360^\circ$
   $\alpha + \beta + \gamma + \delta = 360^\circ$

Jedes Viereck hat zwei Diagonalen.

In einem Quadrat sind
– alle Seiten gleich lang
   $a = b = c = d$
– gegenüberliegende Seiten parallel
   $a \parallel c$ und $b \parallel d$

Aufgrund der Gleichheit ihrer Längen werden alle vier Seiten eines Quadrats meist einfach mit $a$ bezeichnet.

Ein Quadrat hat vier rechte Winkel.
$\alpha = \beta = \gamma = \delta = 90^\circ$

Die Diagonalen eines Quadrats
– sind gleich lang ($e = f$)
– halbieren einander
– stehen aufeinander senkrecht ($e \bot f$)
– halbieren die Innenwinkel des Quadrats

Aufgrund der Gleichheit ihrer Längen werden die beiden Diagonalen eines Quadrats häufig einfach mit $d$ bezeichnet.

Ein Quadrat ist achsensymmetrisch zu
– den beiden Mittelsenkrechten
– den beiden Diagonalen

Ein Quadrat ist punktsymmetrisch zu
– dem Schnittpunkt der Diagonalen $S$

Ein Quadrat besitzt einen Umkreis.
($\Rightarrow$ Sehnenviereck)

Mittelpunkt:
Diagonalenschnittpunkt $S$

Radius:
$r_u = \frac{1}{2} \cdot d$
Der Umkreisradius ist halb so lang wie eine Diagonale des Quadrats.

Ein Quadrat besitzt einen Inkreis. ($\Rightarrow$ Tangentenviereck)

Mittelpunkt:
Diagonalenschnittpunkt $S$

Radius:
$r_i = \frac{1}{2} \cdot a$
Der Inkreisradius ist halb so lang wie eine Seite des Quadrats.

$$ U = 4a $$

Umfang eines Quadrats

$$ A = a^2 $$

Flächeninhalt eines Quadrats

$$ d = a\sqrt{2} $$

Diagonale eines Quadrats

In manchen Aufgaben ist der Flächeninhalt, der Umfang oder die Diagonale gegeben und die Seitenlänge $a$ des Quadrats ist gesucht.

In so einem Fall müssen wir die oben erwähnten Gleichungen mithilfe von Äquivalenzumformungen nach $a$ auflösen.