Umfang:
Quadrat

In diesem Kapitel lernen wir, den Umfang eines Quadrats zu berechnen.

Umfang ist der Fachbegriff für die Summe aller Seitenlängen.

Ein allgemeines Viereck hat
vier unterschiedlich lange Seiten.

Umfangsformel
\(U\) \(=\) \(a + b + c + d\)

Die Umfangsformel können wir vereinfachen, wenn Seiten mit gleicher Länge vorkommen.
In einem Quadrat ist genau das der Fall, denn:

Ein Quadrat hat
vier gleich lange Seiten.
\(a = b = c = d\)

Für den Umfang gilt folglich:
\(\begin{align*} U &= a + a + a + a\\ &= 4a \end{align*}\)

Formel für den Umfang eines Quadrats

\(U = 4a\)

Um den Umfang eines Quadrats berechnen zu können, müssen wir die Länge einer Seite kennen. Unter Umständen ist ein Ausmessen erforderlich.

Eine Länge - wie \(5~\mathrm{cm}\) - ist eine Größe, die aus einer Maßzahl und einer Maßeinheit besteht.

Längen können bekanntlich nur addiert werden, wenn sie in derselben Maßeinheit vorliegen.
Deshalb müssen wir gegebenenfalls die Einheiten auf eine gemeinsame Einheit umrechnen.

Wichtige Maßeinheiten für Längen (Längenmaße)

Ein Platzhalter für eine beliebige Längeneinheit ist \(\mathrm{LE}\).

1. Umfang berechnen: Seitenlänge gegeben

1) Formel aufschreiben
2) Wert für \(a\) einsetzen
3) Ergebnis berechnen

Beispiele

  • Wie groß ist der Umfang eines Quadrat mit der Seitenlänge \(a = 2~\mathrm{cm}\)?

    1) Formel aufschreiben

    \(U = 4a\)

    2) Wert für \(a\) einsetzen

    \(\phantom{U} = 4 \cdot 2~\mathrm{cm}\)

    3) Ergebnis berechnen

    \(\phantom{U} = 8~\mathrm{cm}\)

  • Wie groß ist der Umfang eines Quadrat mit der Seitenlänge \(a = 4~\mathrm{m}\)?

    1) Formel aufschreiben

    \(U = 4a\)

    2) Wert für \(a\) einsetzen

    \(\phantom{U} = 4 \cdot 4~\mathrm{m}\)

    3) Ergebnis berechnen

    \(\phantom{U} = 16~\mathrm{m}\)

  • Wie groß ist der Umfang eines Quadrat mit der Seitenlänge \(a = 6~\mathrm{LE}\)?

    1) Formel aufschreiben

    \(U = 4a\)

    2) Wert für \(a\) einsetzen

    \(\phantom{U} = 4 \cdot 6~\mathrm{LE}\)

    3) Ergebnis berechnen

    \(\phantom{U} = 24~\mathrm{LE}\)

2. Umfang berechnen: Flächeninhalt gegeben

1) \(a\) berechnen
1.1) Formel aufschreiben
1.2) Formel nach \(a\) auflösen
1.3) Wert für \(A\) einsetzen
1.4) Ergebnis berechnen
2) \(U\) berechnen
2.1) Formel aufschreiben
2.2) Wert für \(a\) einsetzen
2.3) Ergebnis berechnen

Anmerkung

Zu 1.1) Formel für den Flächeninhalt eines Quadrats
Zu 2.1) Formel für den Umfang eines Quadrats

Beispiel

  • Wie groß ist der Umfang eines Quadrats mit dem Flächeninhalt \(A = 25~\mathrm{cm}^2\)?

    1.1) Formel aufschreiben

    \(A = a^2\)

    1.2) Formel nach \(a\) auflösen

    \(\begin{align*}
    A &= a^2 &&\text{| Seiten vertauschen} \\
    a^2 &= A &&\text{| Wurzel ziehen} \\
    \sqrt{a^2} &= \sqrt{A} \\
    a &= \sqrt{A}
    \end{align*}\)

    1.3) Wert für \(A\) einsetzen

    \(a = \sqrt{25~\mathrm{cm}^2}\)

    1.4) Ergebnis berechnen

    \(\phantom{a} = 5~\mathrm{cm}\)

    2.1) Formel aufschreiben

    \(U = 4a\)

    2.2) Wert für \(a\) einsetzen

    \(\phantom{U} = 4 \cdot 5~\mathrm{cm}\)

    2.3) Ergebnis berechnen

    \(\phantom{U} = 20~\mathrm{cm}\)

3. Umfang berechnen: Diagonale gegeben

1) \(a\) berechnen
1.1) Formel aufschreiben
1.2) Formel nach \(a\) auflösen
1.3) Wert für \(d\) einsetzen
1.4) Ergebnis berechnen
2) \(U\) berechnen
2.1) Formel aufschreiben
2.2) Wert für \(a\) einsetzen
2.3) Ergebnis berechnen

Anmerkung

Zu 1.1) Formel für die Länge einer Diagonalen eines Quadrats
Zu 2.1) Formel für den Umfang eines Quadrats

Beispiel

  • Wie groß ist der Umfang eines Quadrats mit der Diagonale \(d = 3~\mathrm{m}\)?

    1.1) Formel aufschreiben

    \(d = a\sqrt{2}\)

    1.2) Formel nach \(a\) auflösen

    \(\begin{align*}
    d &= a\sqrt{2} &&\text{| Seiten vertauschen} \\[5px]
    a\sqrt{2} &= d &&\text{|: \(\sqrt{2}\)} \\[5px]
    \frac{a\sqrt{2}}{\sqrt{2}} &= \frac{d}{\sqrt{2}} \\[5px]
    a &= \frac{d}{\sqrt{2}}
    \end{align*}\)

    1.3) Wert für \(d\) einsetzen

    \(\begin{align*}
    a
    &= \frac{3~\mathrm{m}}{\sqrt{2}} \\[5px]
    &= \frac{3}{\sqrt{2}}~\mathrm{m}
    \end{align*}\)

    1.4) Ergebnis berechnen

    \(\begin{align*}
    \phantom{a}
    &= \frac{3}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}~\mathrm{m} \\[5px]
    &= \frac{3 \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}}~\mathrm{m} \\[5px]
    &= \frac{3\cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2 \cdot 2}}~\mathrm{m} \\[5px]
    &= \frac{3 \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{4}}~\mathrm{m} \\[5px]
    &= \frac{3 \cdot \sqrt{2}}{2}~\mathrm{m} \\[5px]
    &= \frac{3}{2}\sqrt{2}~\mathrm{m} \\[5px]
    &= 1{,}5\sqrt{2}~\mathrm{m}
    \end{align*}\)

    2.1) Formel aufschreiben

    \(U = 4a\)

    2.2) Wert für \(a\) einsetzen

    \(\phantom{U} = 4 \cdot 1{,}5\sqrt{2}~\mathrm{m}\)

    2.3) Ergebnis berechnen

    \(\phantom{U} = 6\sqrt{2}~\mathrm{m} \approx 8{,}49~\mathrm{m}\)

Vierecke und deren Umfänge

Die Umfangsformeln können wir danach sortieren, wie viele Seiten gemessen werden müssen.

  Formel
4 Seiten
 
Umfang: Allgemeines Viereck \(U = a + b + c + d\)
Umfang: Trapez \(U = a + b + c + d\)
Umfang: Rechtwinkliges Trapez \(U = a + b + c + d\)
Umfang: Sehnenviereck \(U = a + b + c + d\)
3 Seiten  
Umfang: Gleichschenkliges Trapez \(U = a+2b+c = a+c+2d\)
2 Seiten  
Umfang: Parallelogramm \(U = 2(a+b)\)
Umfang: Rechteck \(U = 2(a+b)\)
Umfang: Drachenviereck \(U = 2(a+b)\)
Umfang: Tangentenviereck \(U = 2(a+c) = 2(b+d)\)
1 Seite  
Umfang: Raute \(U = 4a\)
Umfang: Quadrat \(U = 4a\)

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Andreas Schneider

Mein Name ist Andreas Schneider und ich betreibe seit 2013 hauptberuflich die kostenlose und mehrfach ausgezeichnete Mathe-Lernplattform www.mathebibel.de. Jeden Monat werden meine Erklärungen von bis zu 1 Million Schülern, Studenten, Eltern und Lehrern aufgerufen. Nahezu täglich veröffentliche ich neue Inhalte. Abonniere jetzt meinen Newsletter und erhalte 5 meiner 42 Lernhilfen gratis!