Umfang:
Drachenviereck

In diesem Kapitel lernen wir, den Umfang eines Drachenvierecks zu berechnen.

Umfang ist der Fachbegriff für die Summe aller Seitenlängen.


Ein allgemeines Viereck hat
vier unterschiedlich lange Seiten.

Umfangsformel
\(U\) \(=\) \(a + b + c + d\)

Die Umfangsformel können wir vereinfachen, wenn Seiten mit gleicher Länge vorkommen.
In einem Drachenviereck ist genau das der Fall, denn:


In einem Drachenviereck sind
je zwei Seiten, die sich auf der Symmetrieachse treffen, gleich lang.
\(a = d\) und \(b = c\)


Für den Umfang gilt folglich:
\(\begin{align*} U &= a + b + b + a\\ &= 2a + 2b\\ &= 2(a+b) \end{align*}\)

Um die Formel zu vereinfachen,
haben wir im letzten Schritt
die 2 ausgeklammert.

Formel für den Umfang eines Drachenvierecks

\(U = 2(a+b)\)

Um den Umfang eines Drachenvierecks berechnen zu können, müssen wir die Länge zweier Seiten, die auf derselben Seite der Symmetrieachse liegen, kennen. Unter Umständen ist ein Ausmessen erforderlich.

Eine Länge - wie \(5~\mathrm{cm}\) - ist eine Größe, die aus einer Maßzahl und einer Maßeinheit besteht.

Längen können bekanntlich nur addiert werden, wenn sie in derselben Maßeinheit vorliegen.
Deshalb müssen wir gegebenenfalls die Einheiten auf eine gemeinsame Einheit umrechnen.

Wichtige Maßeinheiten für Längen (Längenmaße)

Ein Platzhalter für eine beliebige Längeneinheit ist \(\mathrm{LE}\).

Beispiel 1

Wie groß ist der Umfang eines Drachenvierecks mit \(a = 4~\mathrm{cm}\) und \(b = 2~\mathrm{cm}\)?


Lösung zu Beispiel 1

\(\begin{align*} U &= 2(a+b)\\ &= 2 \cdot (4~\mathrm{cm}+2~\mathrm{cm})\\ &= 2 \cdot 6~\mathrm{cm}\\ &= 12~\mathrm{cm} \end{align*}\)

Beispiel 2

Wie groß ist der Umfang eines Drachenvierecks mit \(a = 5~\mathrm{m}\) und \(b = 3~\mathrm{m}\)?


Lösung zu Beispiel 2

\(\begin{align*} U &= 2(a+b)\\ &= 2 \cdot (5~\mathrm{m}+3~\mathrm{m})\\ &= 2 \cdot 8~\mathrm{m}\\ &= 16~\mathrm{m} \end{align*}\)

Beispiel 3

Wie groß ist der Umfang eines Drachenvierecks mit \(a = 7~\mathrm{LE}\) und \(b = 6~\mathrm{LE}\)?


Lösung zu Beispiel 3

\(\begin{align*} U &= 2(a+b)\\ &= 2 \cdot (7~\mathrm{LE}+6~\mathrm{LE})\\ &= 2 \cdot 13~\mathrm{LE}\\ &= 26~\mathrm{LE} \end{align*}\)

Vierecke und deren Umfänge

Die Umfangsformeln können wir danach sortieren, wie viele Seiten gemessen werden müssen.

  Formel
4 Seiten
 
Umfang: Allgemeines Viereck \(U = a + b + c + d\)
Umfang: Trapez \(U = a + b + c + d\)
Umfang: Rechtwinkliges Trapez \(U = a + b + c + d\)
Umfang: Sehnenviereck \(U = a + b + c + d\)
3 Seiten  
Umfang: Gleichschenkliges Trapez \(U = a+2b+c = a+c+2d\)
2 Seiten  
Umfang: Parallelogramm \(U = 2(a+b)\)
Umfang: Rechteck \(U = 2(a+b)\)
Umfang: Drachenviereck \(U = 2(a+b)\)
Umfang: Tangentenviereck \(U = 2(a+c) = 2(b+d)\)
1 Seite  
Umfang: Raute \(U = 4a\)
Umfang: Quadrat \(U = 4a\)

Andreas Schneider

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Weiterhin viel Erfolg beim Lernen!

Andreas Schneider

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