Umfang:
Gleichschenkliges Trapez

In diesem Kapitel lernen wir, den Umfang eines gleichschenkligen Trapezes zu berechnen.

Umfang ist der Fachbegriff für die Summe aller Seitenlängen.


Ein allgemeines Viereck hat
vier unterschiedlich lange Seiten.

Umfangsformel
\(U\) \(=\) \(a + b + c + d\)

Die Umfangsformel können wir vereinfachen, wenn Seiten mit gleicher Länge vorkommen.
Im gleichschenkligen Trapez ist genau das der Fall, denn:


Ein gleichschenkliges Trapez hat
zwei gleich lange Schenkel.
\(b = d\)

Herleitung der 1. Formel

\(\begin{align*}
U
&= a + b + c + {\color{red}d} &&{\color{gray}|~ d = b}\\
&= a + b + c + {\color{red}b} &&{\color{gray}|\text{ Zusammenrechnen}}\\
&= a + 2b + c
\end{align*}\)

Herleitung der 2. Formel

\(\begin{align*}
U
&= a + {\color{red}b} + c + d &&{\color{gray}|~ b = d}\\
&= a + {\color{red}d} + c + d &&{\color{gray}|\text{ Zusammenrechnen}}\\
&= a + c + 2d
\end{align*}\)

Formeln für den Umfang eines gleichschenkligen Trapezes

(1)  \(U = a + 2b + c\)

(2)  \(U = a + c + 2d\)

Um den Umfang eines gleichschenkligen Trapezes berechnen zu können, müssen wir die Längen der beiden parallelen Seiten (\(a\) und \(c\)) sowie die eines Schenkels (\(b\) oder \(d\)) kennen. Unter Umständen ist ein Ausmessen erforderlich.

Eine Länge - wie \(5~\mathrm{cm}\) - ist eine Größe, die aus einer Maßzahl und einer Maßeinheit besteht.

Längen können bekanntlich nur addiert werden, wenn sie in derselben Maßeinheit vorliegen.
Deshalb müssen wir gegebenenfalls die Einheiten auf eine gemeinsame Einheit umrechnen.

Wichtige Maßeinheiten für Längen (Längenmaße)

Ein Platzhalter für eine beliebige Längeneinheit ist \(\mathrm{LE}\).

Beispiel 1

Wie groß ist der Umfang eines gleichschenkligen Trapezes
mit den Seitenlängen \(a = 4~\mathrm{cm}\), \(b = 2~\mathrm{cm}\) und \(c = 1~\mathrm{cm}\)?


Lösung zu Beispiel 1

\(\begin{align*} U &= a + 2b + c\\ &= 4~\mathrm{cm} + 2 \cdot 2~\mathrm{cm} + 1~\mathrm{cm}\\ &= 4~\mathrm{cm} + 4~\mathrm{cm} + 1~\mathrm{cm}\\ &= 9~\mathrm{cm} \end{align*}\)

Beispiel 2

Wie groß ist der Umfang eines gleichschenkligen Trapezes
mit den Seitenlängen \(a = 6~\mathrm{m}\), \(c = 3~\mathrm{m}\) und \(d = 5~\mathrm{m}\)?


Lösung zu Beispiel 2

\(\begin{align*} U &= a + c + 2d\\ &= 6~\mathrm{m} + 3~\mathrm{m} + 2 \cdot 5~\mathrm{m}\\ &= 6~\mathrm{m} + 3~\mathrm{m} + 10~\mathrm{m}\\ &= 19~\mathrm{m} \end{align*}\)

Beispiel 3

Wie groß ist der Umfang eines gleichschenkligen Trapezes
mit den Seitenlängen \(a = 8~\mathrm{LE}\), \(b = 6~\mathrm{LE}\) und \(c = 5~\mathrm{LE}\)?


Lösung zu Beispiel 3

\(\begin{align*} U &= a + 2b + c\\ &= 8~\mathrm{LE} + 2 \cdot 6~\mathrm{LE} + 5~\mathrm{LE}\\ &= 25~\mathrm{LE} \end{align*}\)

Vierecke und deren Umfänge

Die Umfangsformeln können wir danach sortieren, wie viele Seiten gemessen werden müssen.

  Formel
4 Seiten
 
Umfang: Allgemeines Viereck \(U = a + b + c + d\)
Umfang: Trapez \(U = a + b + c + d\)
Umfang: Rechtwinkliges Trapez \(U = a + b + c + d\)
Umfang: Sehnenviereck \(U = a + b + c + d\)
3 Seiten  
Umfang: Gleichschenkliges Trapez \(U = a+2b+c = a+c+2d\)
2 Seiten  
Umfang: Parallelogramm \(U = 2(a+b)\)
Umfang: Rechteck \(U = 2(a+b)\)
Umfang: Drachenviereck \(U = 2(a+b)\)
Umfang: Tangentenviereck \(U = 2(a+c) = 2(b+d)\)
1 Seite  
Umfang: Raute \(U = 4a\)
Umfang: Quadrat \(U = 4a\)

Andreas Schneider

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Andreas Schneider

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