Gleichschenkliges Trapez

In diesem Kapitel schauen wir uns an, was ein gleichschenkliges Trapez ist. Für alle, die das Wort noch nie gehört haben: Ein gleichschenkliges Trapez ist eine geometrische Figur, genauer gesagt ein Viereck, mit speziellen Eigenschaften.

Erforderliches Vorwissen

Definition 

Ein gleichschenkliges Trapez ist ein Viereck mit
– einem Paar paralleler Seiten und
– gleich langen Schenkeln.

Das gleichschenklige Trapez wird häufig auch symmetrisches Trapez genannt.

Beispiel eines gleichschenkligen Trapezes

Neben einem Paar paralleler Seiten ($a \parallel c$) zeichnet sich ein gleichschenkliges Trapez durch gleich lange Schenkel ($b = d$) aus.

Abb. 1 / Gleichschenkliges Trapez 

Eigenschaften 

Geerbte Eigenschaften 

Ecken 

Jedes Viereck hat vier Ecken.

Abb. 2 / Ecken 

Seiten 

Jedes Viereck hat vier Seiten.

In jedem Trapez
– verlaufen zwei Seiten parallel zueinander
– heißen die parallelen Seiten Grundseiten
– heißt die längere Grundseite oft Basis
– heißen die anderen (im Allgemeinen nicht parallelen) Seiten Schenkel

Abb. 3 / Seiten 

Winkel 

In jedem Viereck
– gibt es vier Innenwinkel
– beträgt die Winkelsumme $360^\circ$
   $\alpha + \beta + \gamma + \delta = 360^\circ$

In jedem Trapez ergänzen sich die Winkel an jedem Schenkel zu $180^\circ$.
$\alpha + \delta = 180^\circ$ und $\beta + \gamma = 180^\circ$

Abb. 4 / Winkel 

Diagonale 

Jedes Viereck hat zwei Diagonalen.

Abb. 5 / Diagonale 

Höhe 

Die Höhe in einem Trapez entspricht dem Abstand der beiden parallelen Seiten.

Abb. 6 / Höhe 
Mittelparallele 

Die Verbindungsstrecke der Mittelpunkte der Schenkel heißt Mittelparallele oder Mittellinie.

Die Mittelparallele verläuft parallel zu den Grundseiten.

Die Mittelparallele eines Trapezes ist gleich der halben Summe der beiden Grundseiten: $m = \frac{1}{2}(a+c)$.

Abb. 7 / Mittelparallele 

Spezielle Eigenschaften 

Seiten 

Im gleichschenkligen Trapez sind die Schenkel gleich lang.
$b = d$

Abb. 8 / Seiten 

Winkel 

Im gleichschenkligen Trapez sind die Winkel an jeder Grundseite gleich.
$\alpha = \beta$ und $\gamma = \delta$

Abb. 9 / Winkel 

Diagonale 

Im gleichschenkligen Trapez sind die Diagonalen gleich lang.
$e = f$

Abb. 10 / Diagonale 

Symmetrie 

Ein gleichschenkliges Trapez ist achsensymmetrisch bezüglich der Mittelsenkrechten der Grundseiten.

Ein gleichschenkliges Trapez wird deshalb auch als symmetrisches Trapez bezeichnet.

Abb. 11 / Symmetrie 

Umkreis 

Ein gleichschenkliges Trapez besitzt einen Umkreis ($\Rightarrow$ Sehnenviereck).

Umkreismittelpunkt:
Schnittpunkt der Mittelsenkrechten

Abb. 12 / Umkreis 

Gleichschenkliges Trapez berechnen 

Umfang 

$$ \begin{align*} U &= a + 2b + c &&{\color{gray}|\text{ 1. Formel}} \\[5px] &= a + c + 2d &&{\color{gray}|\text{ 2. Formel}} \end{align*} $$

Umfang eines gleichschenkligen Trapezes

Abb. 13 / Umfang 

Flächeninhalt 

$$ \begin{align*} A &= m \cdot h &&{\color{gray}|\text{ 1. Formel}} \\[5px] &= \frac{1}{2}(a+c) \cdot h &&{\color{gray}|\text{ 2. Formel}} \\[5px] \end{align*} $$

Flächeninhalt eines gleichschenkligen Trapezes

Abb. 14 / Flächeninhalt 

Spezielle gleichschenklige Trapeze 

Rechteck

= ungleichseitiges, gleichschenkliges Trapez mit vier rechten Winkeln

Abb. 15 / Rechteck 

Quadrat

= gleichseitiges, gleichschenkliges Trapez mit vier rechten Winkeln

Abb. 16 / Quadrat 

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