Flächeninhalt: Trapez

In diesem Kapitel lernen wir, den Flächeninhalt eines Trapezes zu berechnen. Ein Trapez ist eine geometrische Figur, genauer gesagt ein Viereck, mit speziellen Eigenschaften und Flächeninhalt ist der Fachbegriff für die Größe einer Fläche.

Inhaltsverzeichnis

Erforderliches Vorwissen

Herleitung der Formeln

Der Flächeninhalt eines Rechtecks
berechnet sich nach der Formel
$A = a \cdot b$ (Länge mal Breite)

Abb. 1

Jedes Trapez lässt sich zu einem Rechteck umformen.

Herleitung der 1. Formel

Gegeben ist ein beliebiges Trapez.

Die Mittellinie nennen wir $m$ , die Höhe $h$ .

Abb. 2

Wir können das Trapez zu einem Rechteck umformen, indem wir die Mittellinie als Länge des Rechtecks begreifen, also die beiden überstehenden Dreiecke abschneiden, um $180^\circ$ drehen und oben wieder anfügen.

Abb. 3

Der Flächeninhalt des auf diese Weise gebildeten Rechtecks können wir mit der Formel Länge mal Breite berechnen: $A = m \cdot h$

…und weil das Rechteck flächengleich zu dem ursprünglichen Trapez ist, gilt diese Flächenformel natürlich auch für Trapeze!

Abb. 4

Herleitung der 2. Formel

Gegeben ist ein beliebiges Trapez.

Die untere Seite nennen wir $a$ , die obere $c$ .

Abb. 5

Wir verdoppeln das Trapez,

Abb. 6

drehen das zweite um $180^\circ$

Abb. 7

und fügen die beiden Trapeze zusammen.

Auf diese Weise entsteht ein Parallelogramm, dessen untere (und obere) Seite $a+c$ lang ist.

Abb. 8

Wir zeichnen die Höhe $h = h_a$ ein.

Anschließend verschieben wir das Dreieck, das durch $h$ gebildet wird,…

Abb. 9

…auf die gegenüberliegende Seite.

Der Flächeninhalt des auf diese Weise gebildeten Rechtecks können wir mit der Formel Länge mal Breite berechnen: $A = (a+c) \cdot h$

…und weil das Rechteck genau doppelt so groß ist wie das ursprüngliche Trapez, das wir anfangs ja verdoppelten, gilt für das Trapez: $A = \frac{1}{2}(a+c) \cdot h$

Abb. 10

Formeln

$$ \begin{align*} A_{\text{Trapez}} &= m \cdot h &&{\color{gray}|\text{ 1. Formel}} \\[5px] &= \frac{1}{2}(a+c) \cdot h &&{\color{gray}|\text{ 2. Formel}} \\[5px] \end{align*} $$

$m$ und $h$ sowie $a$ , $c$ und $h$ sind Längen in jeweils derselben Maßeinheit. Falls die Längen nicht in derselben Maßeinheit vorliegen, müssen wir umrechnen.

$A$ steht für den Flächeninhalt.

Längeneinheiten	Flächeneinheiten
$\textrm{mm}$ Millimeter	$\textrm{mm}^2$ Quadratmillimeter
$\textrm{cm}$ Zentimeter	$\textrm{cm}^2$ Quadratzentimeter
$\textrm{dm}$ Dezimeter	$\textrm{dm}^2$ Quadratdezimeter
$\textrm{m}$ Meter	$\textrm{m}^2$ Quadratmeter
$\textrm{km}$ Kilometer	$\textrm{km}^2$ Quadratkilometer

Anleitung

Formel aufschreiben

Werte einsetzen

Ergebnis berechnen

Achte beim Ergebnis auf die Einheit! Eine $6\ \textrm{cm}$ große Fläche gibt es nicht!

Beispiele

Beispiel 1

Wie groß ist der Flächeninhalt eines Trapezes mit $m = 3\ \textrm{cm}$ und $h = 2\ \textrm{cm}$ ?

Formel aufschreiben

$$ A = m \cdot h $$

Werte für $\boldsymbol{m}$ und $\boldsymbol{h}$ einsetzen

$$ \phantom{A} = 3\ \textrm{cm} \cdot 2\ \textrm{cm} $$

Ergebnis berechnen

$$ \begin{align*} \phantom{A} &= (3 \cdot 2) \cdot (\textrm{cm} \cdot \textrm{cm}) \\[5px] &= 6\ \textrm{cm}^2 \end{align*} $$

Skizze zu obigem Beispiel

Abb. 11

Beispiel 2

Wie groß ist der Flächeninhalt eines Trapezes mit $a = 6\ \textrm{m}$ , $c = 4\ \textrm{m}$ und $h = 5\ \textrm{m}$ ?

Formel aufschreiben

$$ A = \frac{1}{2} (a + c) \cdot h $$

Werte für $\boldsymbol{a}$ , $\boldsymbol{c}$ und $\boldsymbol{h}$ einsetzen

$$ \phantom{A} = \frac{1}{2}(6\ \textrm{m} + 4\ \textrm{m}) \cdot 5\ \textrm{m} $$

Ergebnis berechnen

$$ \begin{align*} \phantom{A} &= \frac{1}{2} \cdot 10\ \textrm{m} \cdot 5\ \textrm{m} \\[5px] &= \left(\frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 5\right) \cdot (\textrm{m} \cdot \textrm{m}) \\[5px] &= 25\ \textrm{m}^2 \end{align*} $$

Skizze zu obigem Beispiel

Abb. 12

Wusstest du schon, dass $\textrm{m}^2$ lediglich eine abkürzende Schreibweise für $\textrm{m} \cdot \textrm{m}$ ist? Mehr zu diesem Thema erfährst du im Kapitel zu den Potenzen!