Flächeninhalt:
Trapez
In diesem Kapitel lernen wir, den Flächeninhalt eines Trapezes zu berechnen.
Flächeninhalt ist der Fachbegriff für die Größe einer Fläche.
Notwendiges Vorwissen: Flächeninhalt eines Rechtecks
Trapez: Herleitung der Flächenformel
Der Flächeninhalt eines Rechtecks
berechnet sich nach der Formel
\(A = a \cdot b\) (Länge mal Breite)
Jedes Trapez lässt sich zu einem Rechteck umformen.
Herleitung der 1. Formel
Gegeben ist ein beliebiges Trapez.
Die Mittellinie nennen wir \(m\), die Höhe \(h\).
Wir können das Trapez zu einem Rechteck umformen, indem wir die Mittellinie als Länge des Rechtecks begreifen, also die beiden überstehenden Dreiecke abschneiden, um 180° drehen und oben wieder anfügen.
Der Flächeninhalt des auf diese Weise gebildeten Rechtecks können wir mit der Formel „Länge mal Breite“ berechnen:
\(A = m \cdot h\)
...und weil das Rechteck flächengleich zu dem ursprünglichen Trapez ist, gilt diese Flächenformel natürlich auch für Trapeze!
Herleitung der 2. Formel
Gegeben ist ein beliebiges Trapez.
Die untere Seite nennen wir \(a\), die obere \(c\).
Wir verdoppeln das Trapez,
drehen das zweite um 180°
und fügen die beiden Trapeze zusammen.
Auf diese Weise entsteht ein Parallelogramm, dessen untere (und obere) Seite \(a+c\) lang ist.
Wir zeichnen die Höhe \(h = h_a\) ein.
Anschließend verschieben wir das Dreieck, das durch \(h\) gebildet wird,...
...auf die gegenüberliegende Seite.
Der Flächeninhalt des auf diese Weise gebildeten Rechtecks können wir mit der Formel „Länge mal Breite“ berechnen:
\(A = (a+c) \cdot h\)
...und weil das Rechteck genau doppelt so groß ist wie das ursprüngliche Trapez, das wir anfangs ja verdoppelten, gilt für das Trapez:
\(A = \frac{1}{2}(a+c) \cdot h\)
Formeln für den Flächeninhalt eines Trapezes
\(\begin{align*}
A
&= m \cdot h &&{\color{gray}|\text{ 1. Formel}}\\[5pt]
&= \frac{1}{2}(a+c) \cdot h &&{\color{gray}|\text{ 2. Formel}}\\[5pt]
\end{align*}\)
\(m\) und \(h\) sowie \(a\), \(c\) und \(h\) sind Längen in jeweils derselben Maßeinheit.
Falls die Längen nicht in derselben Maßeinheit vorliegen, müssen wir umrechnen.
\(A\) steht für den Flächeninhalt.
| Längeneinheiten | Flächeneinheiten | ||
| \(\mathrm{mm}\) | Millimeter | \(\mathrm{mm}^2\) | Quadratmillimeter |
| \(\mathrm{cm}\) | Zentimeter | \(\mathrm{cm}^2\) | Quadratzentimeter |
| \(\mathrm{dm}\) | Dezimeter | \(\mathrm{dm}^2\) | Quadratdezimeter |
| \(\mathrm{m}\) | Meter | \(\mathrm{m}^2\) | Quadratmeter |
| \(\mathrm{km}\) | Kilometer | \(\mathrm{km}^2\) | Quadratkilometer |
Trapez: Flächeninhalt berechnen
Die folgenden Beispiele sollen dich mit der Flächenformel für Trapeze vertraut machen.
Achte besonders auf die Einheiten! Eine \(6~\mathrm{cm}\) große Fläche gibt es nicht!
1) Formel aufschreiben
2) Werte für \(m\) und \(h\) einsetzen
3) Ergebnis berechnen
Beispiel
- Wie groß ist der Flächeninhalt eines Trapezes mit \(m = 3~\mathrm{cm}\) und \(h = 2~\mathrm{cm}\)?
1) Formel aufschreiben
\(A = m \cdot h\)
2) Werte für \(m\) und \(h\) einsetzen
\(\phantom{A} = 3~\mathrm{cm} \cdot 2~\mathrm{cm}\)
3) Ergebnis berechnen
\(\begin{align*}
\phantom{A}
&= (3 \cdot 2) \cdot (\mathrm{cm} \cdot \mathrm{cm}) \\[5px]
&= 6~\mathrm{cm}^2
\end{align*}\)
Skizze zu obigem Beispiel
1) Formel aufschreiben
2) Werte für \(a\), \(c\) und \(h\) aufschreiben
3) Ergebnis berechnen
Beispiel
- Wie groß ist der Flächeninhalt eines Trapezes mit \(a = 6~\mathrm{m}\), \(c = 4~\mathrm{m}\) und \(h = 5~\mathrm{m}\)?
1) Formel aufschreiben
\(A = \frac{1}{2} (a + c) \cdot h\)
2) Werte für \(a\), \(c\) und \(h\) einsetzen
\(\phantom{A} = \frac{1}{2}(6~\mathrm{m} + 4~\mathrm{m}) \cdot 5~\mathrm{m}\)
3) Ergebnis berechnen
\(\begin{align*}
\phantom{A}
&= \frac{1}{2} \cdot 10~\mathrm{m} \cdot 5~\mathrm{m} \\[5pt]
&= (\frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 5) \cdot (\mathrm{m} \cdot \mathrm{m}) \\[5pt]
&= 25~\mathrm{m}^2
\end{align*}\)
Skizze zu obigem Beispiel
Wusstest du schon, dass \(\mathrm{m}^2\) lediglich eine abkürzende Schreibweise für \(\mathrm{m} \cdot \mathrm{m}\) ist?
Mehr zu diesem Thema erfährst du im Kapitel zu den Potenzen!
Vierecke und deren Flächeninhalte
Alle geradlinig begrenzten Figuren lassen sich zu einem Rechteck umformen.
| Formel | |
| Leicht | |
| Flächeninhalt: Rechteck | \(A = a \cdot b\) (Länge mal Breite) |
| Flächeninhalt: Quadrat | \(A = a \cdot a\) (Seitenlänge mal Seitenlänge) |
| Mittel | |
| Flächeninhalt: Parallelogramm | \(A = a \cdot h_a = b \cdot h_b\) |
| Flächeninhalt: Raute | \(A = a \cdot h_a = \frac{1}{2}ef\) |
| Flächeninhalt: Drachenviereck | \(A = \frac{1}{2}ef\) |
| Flächeninhalt: Trapez + Gleichschenkliges Trapez + Rechtwinkliges Trapez |
\(A = m \cdot h = \frac{1}{2}(a+c) \cdot h\) |
| Schwer | |
| Flächeninhalt: Tangentenviereck | \(A = r_i(a+c) = r_i(b+d)\) |
| Flächeninhalt: Sehnenviereck | \(A = \sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}\) mit \(s = \frac{1}{2}(a+b+c+d)\) |
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