Flächeninhalt:
Sehnenviereck

In diesem Kapitel lernen wir, den Flächeninhalt eines Sehnenvierecks zu berechnen.

Flächeninhalt ist der Fachbegriff für die Größe einer Fläche.

Sehnenviereck: Flächeninhalt berechnen

Im Sehnenviereck sind alle vier Seiten
Sehnen eines Kreises.

Formel für den Flächeninhalt eines Sehnenvierecks

\(A = \sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}\)

mit \(s = \frac{1}{2}(a+b+c+d)\) (Halber Umfang)

Die Seiten \(a\), \(b\), \(c\) und \(d\) sind Längen in jeweils derselben Maßeinheit.
Falls die Längen nicht in derselben Maßeinheit vorliegen, müssen wir umrechnen.

\(A\) steht für den Flächeninhalt.

Längeneinheiten Flächeneinheiten
\(\mathrm{mm}\) Millimeter \(\mathrm{mm}^2\) Quadratmillimeter
\(\mathrm{cm}\) Zentimeter \(\mathrm{cm}^2\) Quadratzentimeter
\(\mathrm{dm}\) Dezimeter \(\mathrm{dm}^2\) Quadratdezimeter
\(\mathrm{m}\) Meter \(\mathrm{m}^2\) Quadratmeter
\(\mathrm{km}\) Kilometer \(\mathrm{km}^2\) Quadratkilometer

Das folgende Beispiel soll dich mit der Flächenformel für Sehnenvierecke vertraut machen.
Achte besonders auf die Einheiten! Eine \(4{,}9~\mathrm{cm}\) große Fläche gibt es nicht!

1) \(s\) berechnen
1.1) Formel aufschreiben
1.2) Werte für \(a\), \(b\), \(c\) und \(d\) einsetzen
1.3) Ergebnis berechnen
2) \(U\) berechnen
2.1) Formel aufschreiben
2.2) Werte für \(s\), \(a\), \(b\), \(c\) und \(d\) einsetzen
2.3) Ergebnis berechnen

Beispiel

  • Wie groß ist der Flächeninhalt eines Sehnenvierecks mit \(a = 1~\mathrm{cm}\), \(b = 2~\mathrm{cm}\), \(c = 3~\mathrm{cm}\) und \(d = 4~\mathrm{cm}\)?

    1.1) Formel aufschreiben

    \(s = \frac{1}{2}(a+b+c+d)\)

    1.2) Werte für \(a\), \(b\), \(c\) und \(d\) einsetzen

    \(\phantom{s} = \frac{1}{2}(1~\mathrm{cm}+2~\mathrm{cm}+3~\mathrm{cm}+4~\mathrm{cm})\)

    1.3) Ergebnis berechnen

    \(\begin{align*}
    &= \frac{1}{2}(1~\mathrm{cm}+2~\mathrm{cm}+3~\mathrm{cm}+4~\mathrm{cm}) \\[5px]
    &= \frac{1}{2} \cdot 10~\mathrm{cm} \\[5px]
    &= 5~\mathrm{cm}
    \end{align*}\)

    2.1) Formel aufschreiben

    \(A = \sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}\)

    2.2) Werte für \(s\), \(a\), \(b\), \(c\) und \(d\) einsetzen

    \(\phantom{A} = \sqrt{(5~\mathrm{cm}-1~\mathrm{cm})(5~\mathrm{cm}-2~\mathrm{cm})(5~\mathrm{cm}-3~\mathrm{cm})(5~\mathrm{cm}-4~\mathrm{cm})}\)

    2.3) Ergebnis berechnen

    \(\begin{align*}
    &= \sqrt{4~\mathrm{cm} \cdot 3~\mathrm{cm} \cdot 2~\mathrm{cm} \cdot 1~\mathrm{cm}} \\[5px]
    &= \sqrt{24~\mathrm{cm}^4} \\[5px]
    &= \sqrt{24} \cdot \sqrt{\mathrm{cm}^4} \\[5px]
    &= \sqrt{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3} \cdot \sqrt{\mathrm{cm}^4} \\[5px]
    &= \sqrt{2^2 \cdot 6} \cdot \sqrt{\mathrm{cm}^4} \\[5px]
    &= \sqrt{2^2} \cdot \sqrt{6} \cdot \sqrt{\mathrm{cm}^4} \\[5px]
    &= \pm 2\sqrt{6}~\mathrm{cm}^2 \\[5px]
    &\approx \pm 4{,}9~\mathrm{cm}^2
    \end{align*}\)

    Rein rechnerisch betrachtet kommen als Lösungen \(4{,}9~\mathrm{cm}^2\) und \(-4{,}9~\mathrm{cm}^2\) infrage.
    Da Flächen immer positiv sind (Bedingung \(A > 0\)), ist \(A = 4{,}9~\mathrm{cm}^2\) die einzige Lösung.

Wusstest du schon, dass \(\mathrm{cm}^2\) lediglich eine abkürzende Schreibweise für \(\mathrm{cm} \cdot \mathrm{cm}\) ist?
Mehr zu diesem Thema erfährst du im Kapitel zu den Potenzen!

Vierecke und deren Flächeninhalte

Alle geradlinig begrenzten Figuren lassen sich zu einem Rechteck umformen.

  Formel
Leicht  
Flächeninhalt: Rechteck \(A = a \cdot b\)   (Länge mal Breite)
Flächeninhalt: Quadrat \(A = a \cdot a\)   (Seitenlänge mal Seitenlänge)
Mittel  
Flächeninhalt: Parallelogramm \(A = a \cdot h_a = b \cdot h_b\)
Flächeninhalt: Raute \(A = a \cdot h_a = \frac{1}{2}ef\)
Flächeninhalt: Drachenviereck \(A = \frac{1}{2}ef\)
Flächeninhalt: Trapez
+ Gleichschenkliges Trapez
+ Rechtwinkliges Trapez
\(A = m \cdot h = \frac{1}{2}(a+c) \cdot h\)
Schwer  
Flächeninhalt: Tangentenviereck \(A = r_i(a+c) = r_i(b+d)\)
Flächeninhalt: Sehnenviereck \(A = \sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}\)
mit \(s = \frac{1}{2}(a+b+c+d)\)
Andreas Schneider

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Weiterhin viel Erfolg beim Lernen!

Andreas Schneider

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