Flächeninhalt:
Sehnenviereck

Beispiel

• Wie groß ist der Flächeninhalt eines Sehnenvierecks mit \(a = 1~\mathrm{cm}\), \(b = 2~\mathrm{cm}\), \(c = 3~\mathrm{cm}\) und \(d = 4~\mathrm{cm}\)?
  
  1.1) Formel aufschreiben
  
  \(s = \frac{1}{2}(a+b+c+d)\)
  
  1.2) Werte für \(a\), \(b\), \(c\) und \(d\) einsetzen
  
  \(\phantom{s} = \frac{1}{2}(1~\mathrm{cm}+2~\mathrm{cm}+3~\mathrm{cm}+4~\mathrm{cm})\)
  
  1.3) Ergebnis berechnen
  
  \(\begin{align*}
  &= \frac{1}{2}(1~\mathrm{cm}+2~\mathrm{cm}+3~\mathrm{cm}+4~\mathrm{cm}) \\[5px]
  &= \frac{1}{2} \cdot 10~\mathrm{cm} \\[5px]
  &= 5~\mathrm{cm}
  \end{align*}\)
  
  2.1) Formel aufschreiben
  
  \(A = \sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}\)
  
  2.2) Werte für \(s\), \(a\), \(b\), \(c\) und \(d\) einsetzen
  
  \(\phantom{A} = \sqrt{(5~\mathrm{cm}-1~\mathrm{cm})(5~\mathrm{cm}-2~\mathrm{cm})(5~\mathrm{cm}-3~\mathrm{cm})(5~\mathrm{cm}-4~\mathrm{cm})}\)
  
  2.3) Ergebnis berechnen
  
  \(\begin{align*}
  &= \sqrt{4~\mathrm{cm} \cdot 3~\mathrm{cm} \cdot 2~\mathrm{cm} \cdot 1~\mathrm{cm}} \\[5px]
  &= \sqrt{24~\mathrm{cm}^4} \\[5px]
  &= \sqrt{24} \cdot \sqrt{\mathrm{cm}^4} \\[5px]
  &= \sqrt{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3} \cdot \sqrt{\mathrm{cm}^4} \\[5px]
  &= \sqrt{2^2 \cdot 6} \cdot \sqrt{\mathrm{cm}^4} \\[5px]
  &= \sqrt{2^2} \cdot \sqrt{6} \cdot \sqrt{\mathrm{cm}^4} \\[5px]
  &= \pm 2\sqrt{6}~\mathrm{cm}^2 \\[5px]
  &\approx \pm 4{,}9~\mathrm{cm}^2
  \end{align*}\)
  
  Rein rechnerisch betrachtet kommen als Lösungen \(4{,}9~\mathrm{cm}^2\) und \(-4{,}9~\mathrm{cm}^2\) infrage.
  Da Flächen immer positiv sind (Bedingung \(A > 0\)), ist \(A = 4{,}9~\mathrm{cm}^2\) die einzige Lösung.