Flächeninhalt: Raute

In diesem Kapitel lernen wir, den Flächeninhalt einer Raute zu berechnen. Ein Raute ist eine geometrische Figur, genauer gesagt ein Viereck, mit speziellen Eigenschaften und Flächeninhalt ist der Fachbegriff für die Größe einer Fläche.

Herleitung der Formeln 

Der Flächeninhalt eines Rechtecks berechnet sich nach der Formel $A = a \cdot b$ (Länge mal Breite)

Abb. 1 

Jede Raute lässt sich zu einem Rechteck umformen.

Herleitung der 1. Formel 

Gegeben ist eine beliebige Raute.

Die untere Seite nennen wir $a$.

Abb. 2 

Wir zeichnen die Höhe $h_a$ ein.

Anschließend verschieben wir das Dreieck, das durch $h_a$ gebildet wird,…

Abb. 3 

…auf die gegenüberliegende Seite.

Der Flächeninhalt des auf diese Weise gebildeten Rechtecks können wir mit der Formel Länge mal Breite berechnen: $A = a \cdot h_a$

…und weil das Rechteck flächengleich zu dem ursprünglichen Parallelogramm ist, gilt diese Flächenformel natürlich auch für Rauten!

Abb. 4 

Herleitung der 2. Formel 

Gegeben ist eine beliebige Raute.

Die Diagonalen nennen wir $e$ und $f$.

Da $e$ und $f$ aufeinander senkrecht stehen, wird die Raute durch die Diagonalen in vier rechtwinklige Dreiecke geteilt.

Abb. 5 

Wir wählen zwei nebeneinanderliegende Dreiecke aus und verschieben diese jeweils auf die gegenüberliegende Seite.

In unserem Beispiel verschieben wir das Dreieck $1$ auf die Position $1^{\prime}$ und $2$ auf $2^{\prime}$.

Abb. 6 

Wie groß ist das Rechteck, das aus den Dreiecken $2^{\prime}$, $4$, $3$ und $1^{\prime}$ gebildet wird? Die Formel ist klar: Länge mal Breite.

Länge: $e$

In einer Raute halbieren $e$ und $f$ einander. Für die Breite gilt deshalb: $\frac{1}{2}f$

$$ \Rightarrow A = e \cdot \frac{1}{2}f = \frac{1}{2}ef $$

Abb. 7 

Formeln 

$$ \begin{align*} A &= a \cdot h_a &&{\color{gray}|\text{ 1. Formel}} \\[5px] &= \frac{1}{2} e f &&{\color{gray}|\text{ 2. Formel}} \end{align*} $$

$a$ und $h_a$ sowie $e$ und $f$ sind Längen in jeweils derselben Maßeinheit. Falls die Längen nicht in derselben Maßeinheit vorliegen, müssen wir umrechnen.

$A$ steht für den Flächeninhalt.

LängeneinheitenFlächeneinheiten
$\textrm{mm}$ Millimeter$\textrm{mm}^2$ Quadratmillimeter
$\textrm{cm}$ Zentimeter$\textrm{cm}^2$ Quadratzentimeter
$\textrm{dm}$ Dezimeter$\textrm{dm}^2$ Quadratdezimeter
$\textrm{m}$ Meter$\textrm{m}^2$ Quadratmeter
$\textrm{km}$ Kilometer$\textrm{km}^2$ Quadratkilometer

Der Vollständigkeit halber sei erwähnt, dass es noch eine dritte Formel gibt: $A = a^2 \sin \alpha$. Da diese Formel in der Schule allerdings keine Rolle spielt, verzichte ich auf eine Herleitung.

Anleitung 

Formel aufschreiben

Werte einsetzen

Ergebnis berechnen

Achte beim Ergebnis auf die Einheit! Eine $6\ \textrm{cm}$ große Fläche gibt es nicht!

Beispiele 

Beispiel 1 

Wie groß ist der Flächeninhalt einer Raute mit $a = 3\ \textrm{cm}$ und $h_a = 2\ \textrm{cm}$?

Formel aufschreiben

$$ A = a \cdot h_a $$

Werte für $\boldsymbol{a}$ und $\boldsymbol{h_a}$ einsetzen

$$ \phantom{A} = 3\ \textrm{cm} \cdot 2\ \textrm{cm} $$

Ergebnis berechnen

$$ \begin{align*} \phantom{A} &= (3 \cdot 2) \cdot (\textrm{cm} \cdot \textrm{cm}) \\[5px] &= 6\ \textrm{cm}^2 \end{align*} $$

Skizze zu obigem Beispiel

Abb. 8 

Beispiel 2 

Wie groß ist der Flächeninhalt einer Raute mit $e = 7\ \textrm{m}$ und $f = 5\ \textrm{m}$?

Formel aufschreiben

$$ A = \frac{1}{2}ef $$

Werte für $\boldsymbol{e}$ und $\boldsymbol{f}$ einsetzen

$$ \phantom{A} = \frac{1}{2} \cdot 7\ \textrm{m} \cdot 5\ \textrm{m} $$

Ergebnis berechnen

$$ \begin{align*} \phantom{A} &= (\frac{1}{2} \cdot 7 \cdot 5) \cdot (\textrm{m} \cdot \textrm{m}) \\[5px] &= 17{,}5\ \textrm{m}^2 \end{align*} $$

Skizze zu obigem Beispiel

Abb. 9 

Wusstest du schon, dass $\textrm{m}^2$ lediglich eine abkürzende Schreibweise für $\textrm{m} \cdot \textrm{m}$ ist? Mehr zu diesem Thema erfährst du im Kapitel zu den Potenzen!

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