Flächeninhalt:
Raute

In diesem Kapitel lernen wir, den Flächeninhalt einer Raute zu berechnen.

Flächeninhalt ist der Fachbegriff für die Größe einer Fläche.

Notwendiges Vorwissen: Flächeninhalt eines Rechtecks

Raute: Herleitung der Flächenformel


Der Flächeninhalt eines Rechtecks
berechnet sich nach der Formel
\(A = a \cdot b\)   (Länge mal Breite)

Jede Raute lässt sich zu einem Rechteck umformen.


Herleitung der 1. Formel

Gegeben ist eine beliebige Raute.

Die untere Seite nennen wir \(a\).

Wir zeichnen die Höhe \(h_a\) ein.

Anschließend verschieben wir das Dreieck, das durch \(h_a\) gebildet wird,...

...auf die gegenüberliegende Seite.

Der Flächeninhalt des auf diese Weise gebildeten Rechtecks können wir mit der Formel „Länge mal Breite“ berechnen:
\(A = a \cdot h_a\)

...und weil das Rechteck flächengleich zu dem ursprünglichen Parallelogramm ist, gilt diese Flächenformel natürlich auch für Rauten!

Herleitung der 2. Formel

Gegeben ist eine beliebige Raute.

Die Diagonalen nennen wir \(e\) und \(f\).

Da \(e\) und \(f\) aufeinander senkrecht stehen,
wird die Raute durch die Diagonalen in vier rechtwinklige Dreiecke geteilt.

Wir wählen zwei nebeneinanderliegende Dreiecke aus und verschieben diese jeweils auf die gegenüberliegende Seite.

In unserem Beispiel verschieben wir das Dreieck \(1\) auf die Position \(1^{\prime}\) und \(2\) auf \(2^{\prime}\).

Wie groß ist das Rechteck, das aus den Dreiecken \(2^{\prime}\), \(4\), \(3\) und \(1^{\prime}\) gebildet wird?
Die Formel ist klar: „Länge mal Breite“.

Länge: \(e\)

In einer Raute halbieren \(e\) und \(f\) einander.
Für die Breite gilt deshalb: \(\frac{1}{2}f\)

\(\Rightarrow A = e \cdot \frac{1}{2}f = \frac{1}{2}ef\)

Formeln für den Flächeninhalt einer Raute

\(\begin{align*}
A
&= a \cdot h_a &&{\color{gray}|\text{ 1. Formel}}\\[5pt]
&= \frac{1}{2} e f &&{\color{gray}|\text{ 2. Formel}}
\end{align*}\)

\(a\) und \(h_a\) sowie \(e\) und \(f\) sind Längen in jeweils derselben Maßeinheit.
Falls die Längen nicht in derselben Maßeinheit vorliegen, müssen wir umrechnen.

\(A\) steht für den Flächeninhalt.

Längeneinheiten Flächeneinheiten
\(\mathrm{mm}\) Millimeter \(\mathrm{mm}^2\) Quadratmillimeter
\(\mathrm{cm}\) Zentimeter \(\mathrm{cm}^2\) Quadratzentimeter
\(\mathrm{dm}\) Dezimeter \(\mathrm{dm}^2\) Quadratdezimeter
\(\mathrm{m}\) Meter \(\mathrm{m}^2\) Quadratmeter
\(\mathrm{km}\) Kilometer \(\mathrm{km}^2\) Quadratkilometer

Der Vollständigkeit halber sei erwähnt, dass es noch eine dritte Formel gibt: \(A = a^2 \sin \alpha\).
Da diese Formel in der Schule allerdings keine Rolle spielt, verzichte ich auf eine Herleitung.

Raute: Flächeninhalt berechnen

Die folgenden Beispiele sollen dich mit der Flächenformel für Rauten vertraut machen.
Achte besonders auf die Einheiten! Eine \(6~\mathrm{cm}\) große Fläche gibt es nicht!

Beispiel 1

Wie groß ist der Flächeninhalt einer Raute mit \(a = 3~\mathrm{cm}\) und \(h_a = 2~\mathrm{cm}\)?


Lösung zu Beispiel 1

\(\begin{align*} A &= a \cdot h_a\\[5pt] &= 3~\mathrm{cm} \cdot 2~\mathrm{cm}\\[5pt] &= (3 \cdot 2) \cdot (\mathrm{cm} \cdot \mathrm{cm})\\[5pt] &= 6~\mathrm{cm}^2 \end{align*}\)

Beispiel 2

Wie groß ist der Flächeninhalt einer Raute mit \(e = 7~\mathrm{m}\) und \(f = 5~\mathrm{m}\)?


Lösung zu Beispiel 2

\(\begin{align*} A &= \frac{1}{2}ef\\[5pt] &= \frac{1}{2} \cdot 7~\mathrm{m} \cdot 5~\mathrm{m}\\[5pt] &= (\frac{1}{2} \cdot 7 \cdot 5) \cdot (\mathrm{m} \cdot \mathrm{m})\\[5pt] &= 17{,}5~\mathrm{m}^2 \end{align*}\)

Wusstest du schon, dass \(\mathrm{m}^2\) lediglich eine abkürzende Schreibweise für \(\mathrm{m} \cdot \mathrm{m}\) ist?
Mehr zu diesem Thema erfährst du im Kapitel zu den Potenzen!

Vierecke und deren Flächeninhalte

Alle geradlinig begrenzten Figuren lassen sich zu einem Rechteck umformen.

  Formel
Leicht  
Flächeninhalt: Rechteck \(A = a \cdot b\)   (Länge mal Breite)
Flächeninhalt: Quadrat \(A = a \cdot a\)   (Seitenlänge mal Seitenlänge)
Mittel  
Flächeninhalt: Parallelogramm \(A = a \cdot h_a = b \cdot h_b\)
Flächeninhalt: Raute \(A = a \cdot h_a = \frac{1}{2}ef\)
Flächeninhalt: Drachenviereck \(A = \frac{1}{2}ef\)
Flächeninhalt: Trapez
+ Gleichschenkliges Trapez
+ Rechtwinkliges Trapez
\(A = m \cdot h = \frac{1}{2}(a+c) \cdot h\)
Schwer  
Flächeninhalt: Tangentenviereck \(A = r_i(a+c) = r_i(b+d)\)
Flächeninhalt: Sehnenviereck \(A = \sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}\)
mit \(s = \frac{1}{2}(a+b+c+d)\)

Andreas Schneider

Jeden Tag suche ich für dich nach der verständlichsten Erklärung.

Ich hoffe, dass sich meine Arbeit lohnt und ich dir helfen kann.

Weiterhin viel Erfolg beim Lernen!

Dein Andreas

PS: Ich freue mich, wenn du mir mal schreibst!

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