Verkettung von Funktionen

Einleitung

Es kommt häufig vor, dass zwei (oder mehr) Funktionen hintereinander ausgeführt werden.

Beispiel

Gegeben seien die Funktionen \(f\) und \(g\):
\(f(x) = 2x\)    („\(x\) wird verdoppelt“)
\(g(x) = x^2\)     („\(x\) wird quadriert“)

Die Hinteinanderausführung der Funktionen führt zu folgenden beiden Fällen:

Fall 1

Quadriere \(x\). Verdopple anschließend das Ergebnis.

\(x \mapsto x^2 \mapsto 2{\color{#E8960C}x^2}\)

Wir haben den Funktionsterm von \(g\) in \(f\) eingesetzt, also \(f({\color{#E8960C}g(x)})\) gerechnet.

Fall 2

Verdopple \(x\). Quadriere anschließend das Ergebnis.

\(x \mapsto 2x \mapsto ({\color{#E8960C}2x})^2 \quad(= 4x^2)\)

Wir haben den Funktionsterm von \(f\) in \(g\) eingesetzt, also \(g({\color{#E8960C}f(x)})\) gerechnet.

Wir halten fest: Die Hintereinanderausführung von Funktionen bedeutet rechnerisch, den Funktionsterm der einen Funktion in den Funktionsterm der anderen Funktion einzusetzen.

Synonyme

In der Literatur finden sich verschiedene Begriffe mit der gleichen Bedeutung:

• Hintereinanderausführung von Funktionen
• Nacheinanderausführung von Funktionen
• Komposition von Funktionen
• Verkettung von Funktionen

Der in der Schulmathematik wohl am häufigsten verwendete Begriff ist „Verkettung“.

Definition der Verkettung von Funktionen

Gegeben seien zwei Funktionen \(f\) und \(g\), so ist die Verkettung mathematisch definiert als

Schreibweise

Das mathematische Symbol für eine Verkettung ist das Verkettungszeichen \(\circ\).

Sprechweise

\(f \circ g\) spricht man

• „\(f\) nach \(g\)“ (Komisch...\(f\) steht doch vor \(g\)?!)
• „\(f\) Kringel \(g\)“
• „\(f\) verkettet mit \(g\)“
• „\(f\) verknüpft mit \(g\)“
• „\(f\) komponiert mit \(g\)“

\(f(g(x))\) spricht man „\(f\) von \(g\) von \(x\)“.

Äußere Funktion und innere Funktion

In \(({\color{#E85A0C}f }\circ {\color{#E8960C}g})(x) = {\color{#E85A0C}f(}{\color{#E8960C}g(x)}{\color{#E85A0C})}\) heißt \(f\) äußere Funktion und \(g\) innere Funktion.

Bedeutung

\(f \circ g\) erhalten wir durch Einsetzen von \(g(x)\) in \(f(x)\), also \(f(g(x))\).

Um zu verstehen, was mit dem \(x\) in \(f(g(x))\) passiert, hilft folgende Vorstellung:

1. \(g\) frisst \(x\)
2. \(f\) frisst, was \(g\) ausspuckt

In \(f(g(x))\) wird also von innen nach außen gerechnet.

Aha, deshalb sprechen wir \(f \circ g\) als „\(f\) nach \(g\)“...weil \(g\) zuerst ausgeführt wird!

Voraussetzung für eine sinnvolle Verkettung

Das, was \(g\) ausspuckt, muss \(f\) fressen dürfen.

Etwas mathematischer formuliert:
Die Wertemenge von \(g\) muss in der Definitionsmenge von \(f\) enthalten sein, d.h. \(\mathbb{W_g} \subseteq \mathbb{D}_f\).

Beispiele für die Verkettung von Funktionen

Gegeben sind zwei Funktionen \(f\) und \(g\) mit
\(f(x) = 2x + 1\) und
\(g(x) = 3x^2 - 2\).

Aufgabenstellung

a) Berechne \(h_1 = f \circ g\).
b) Berechne \(h_2 = g \circ f\).
c) Untersuche \(h_1\) und \(h_2\) auf Gleichheit.

Lösung zu a)

\(\begin{align*}
h_1(x)
&= f({\color{#E8960C}g(x)})\\[5px]
&= 2({\color{#E8960C}3x^2 - 2}) + 1\\[5px]
&= 6x^2 - 4 + 1\\[5px]
&= 6x^2 - 3
\end{align*}\)

Lösung zu b)

\(\begin{align*}
h_2(x)
&= g({\color{#E8960C}f(x)})\\[5px]
&= 3({\color{#E8960C}2x + 1})^2 - 2\\[5px]
&= 3(4x^2 + 4x + 1) - 2\\[5px]
&= 12x^2 + 12x + 3 - 2\\[5px]
&= 12x^2 + 12x + 1
\end{align*}\)

Lösung zu c)

Wir erkennen, dass gilt: \(h_1 \neq h_2 \Rightarrow f \circ g \neq g \circ f\).

Rechengesetze der Verkettung

Gegeben seien die Funktionen \(f\), \(g\) und \(h\).

Im Allgemeinen darf die Reihenfolge der Funktionen beim Verketten nicht vertauscht werden.

Beim Verketten dürfen Klammern vertauscht, gesetzt oder ganz weggelassen werden.

Übrigens gilt: \(f \circ g \circ h = f(g(h(x)))\).

Verkettung von Funktionen im Einsatz

• In der Differentialrechnung beim Ableiten verketteter Funktionen
  (siehe Kettenregel)
• In der Integralrechnung beim Integrieren verketteter Funktionen
  (siehe Integration durch Substitution)