Verkettung von Funktionen
In diesem Kapitel schauen wir uns die Verkettung von Funktionen an.
Kontext
Wir wissen, dass wir Zahlen durch die vier Grundrechenarten miteinander verknüpfen können. Obwohl sich Funktionen von Zahlen unterscheiden, können wir auch auf Funktionen diese mathematischen Operationen anwenden. Für Funktionen gibt es neben der Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division eine weitere Verknüpfung namens „Verkettung“.
Verknüpfung von Funktionen
- Summe (\(f + g\))
- Differenz (\(f - g\))
- Produkt (\(f \cdot g\))
- Quotient (\(\frac{f}{g}\))
- Verkettung (\(f \circ g\))
Durch die Verknüpfung von Funktionen können wir
(a) einfache Funktionen zu komplizierten Funktionen zusammensetzen oder
(b) komplizierte Funktionen in einfache Funktionen zerlegen.
Einleitung
Es kommt häufig vor, dass zwei (oder mehr) Funktionen hintereinander ausgeführt werden.
Beispiel
Gegeben seien die Funktionen \(f\) und \(g\):
\(f(x) = 2x\) („\(x\) wird verdoppelt“)
\(g(x) = x^2\) („\(x\) wird quadriert“)
Die Hinteinanderausführung der Funktionen führt zu folgenden beiden Fällen:
Fall 1
Quadriere \(x\). Verdopple anschließend das Ergebnis.
\(x \mapsto x^2 \mapsto 2{\color{#E8960C}x^2}\)
Wir haben den Funktionsterm von \(g\) in \(f\) eingesetzt, also \(f({\color{#E8960C}g(x)})\) gerechnet.
Fall 2
Verdopple \(x\). Quadriere anschließend das Ergebnis.
\(x \mapsto 2x \mapsto ({\color{#E8960C}2x})^2 \quad(= 4x^2)\)
Wir haben den Funktionsterm von \(f\) in \(g\) eingesetzt, also \(g({\color{#E8960C}f(x)})\) gerechnet.
Wir halten fest: Die Hintereinanderausführung von Funktionen bedeutet rechnerisch, den Funktionsterm der einen Funktion in den Funktionsterm der anderen Funktion einzusetzen.
Synonyme
In der Literatur finden sich verschiedene Begriffe mit der gleichen Bedeutung:
- Hintereinanderausführung von Funktionen
- Nacheinanderausführung von Funktionen
- Komposition von Funktionen
- Verkettung von Funktionen
Der in der Schulmathematik wohl am häufigsten verwendete Begriff ist „Verkettung“.
Definition der Verkettung von Funktionen
Gegeben seien zwei Funktionen \(f\) und \(g\), so ist die Verkettung mathematisch definiert als
\((f \circ g)(x) = f(g(x))\)
Schreibweise
Das mathematische Symbol für eine Verkettung ist das Verkettungszeichen \(\circ\).
Sprechweise
\(f \circ g\) spricht man
- „\(f\) nach \(g\)“ (Komisch...\(f\) steht doch vor \(g\)?!)
- „\(f\) Kringel \(g\)“
- „\(f\) verkettet mit \(g\)“
- „\(f\) verknüpft mit \(g\)“
- „\(f\) komponiert mit \(g\)“
\(f(g(x))\) spricht man „\(f\) von \(g\) von \(x\)“.
Äußere Funktion und innere Funktion
In \(({\color{#E85A0C}f }\circ {\color{#E8960C}g})(x) = {\color{#E85A0C}f(}{\color{#E8960C}g(x)}{\color{#E85A0C})}\) heißt \(f\) äußere Funktion und \(g\) innere Funktion.
Bedeutung
\(f \circ g\) erhalten wir durch Einsetzen von \(g(x)\) in \(f(x)\), also \(f(g(x))\).
Um zu verstehen, was mit dem \(x\) in \(f(g(x))\) passiert, hilft folgende Vorstellung:
- \(g\) frisst \(x\)
- \(f\) frisst, was \(g\) ausspuckt
In \(f(g(x))\) wird also von innen nach außen gerechnet.
Aha, deshalb sprechen wir \(f \circ g\) als „\(f\) nach \(g\)“...weil \(g\) zuerst ausgeführt wird!
Voraussetzung für eine sinnvolle Verkettung
Das, was \(g\) ausspuckt, muss \(f\) fressen dürfen.
Etwas mathematischer formuliert:
Die Wertemenge von \(g\) muss in der Definitionsmenge von \(f\) enthalten sein, d.h. \(\mathbb{W_g} \subseteq \mathbb{D}_f\).
Beispiele für die Verkettung von Funktionen
Gegeben sind zwei Funktionen \(f\) und \(g\) mit
\(f(x) = 2x + 1\) und
\(g(x) = 3x^2 - 2\).
Aufgabenstellung
a) Berechne \(h_1 = f \circ g\).
b) Berechne \(h_2 = g \circ f\).
c) Untersuche \(h_1\) und \(h_2\) auf Gleichheit.
Lösung zu a)
\(\begin{align*}
h_1(x)
&= f({\color{#E8960C}g(x)})\\[5px]
&= 2({\color{#E8960C}3x^2 - 2}) + 1\\[5px]
&= 6x^2 - 4 + 1\\[5px]
&= 6x^2 - 3
\end{align*}\)
Abbildung zu Aufgabe a)
Lösung zu b)
\(\begin{align*}
h_2(x)
&= g({\color{#E8960C}f(x)})\\[5px]
&= 3({\color{#E8960C}2x + 1})^2 - 2\\[5px]
&= 3(4x^2 + 4x + 1) - 2\\[5px]
&= 12x^2 + 12x + 3 - 2\\[5px]
&= 12x^2 + 12x + 1
\end{align*}\)
Abbildung zu Aufgabe b)
Lösung zu c)
Wir erkennen, dass gilt: \(h_1 \neq h_2 \Rightarrow f \circ g \neq g \circ f\).
Rechengesetze der Verkettung
Gegeben seien die Funktionen \(f\), \(g\) und \(h\).
Kommutativgesetz gilt nicht!
\(f \circ g \neq g \circ f\)
Im Allgemeinen darf die Reihenfolge der Funktionen beim Verketten nicht vertauscht werden.
Assoziativgesetz gilt!
\((f \circ g) \circ h = f \circ (g \circ h)\)
Beim Verketten dürfen Klammern vertauscht, gesetzt oder ganz weggelassen werden.
Übrigens gilt: \(f \circ g \circ h = f(g(h(x)))\).
Verkettung von Funktionen im Einsatz
- In der Differentialrechnung beim Ableiten verketteter Funktionen
(siehe Kettenregel) - In der Integralrechnung beim Integrieren verketteter Funktionen
(siehe Integration durch Substitution)
Überblick: Verknüpfungen von Funktionen
| Summe von Funktionen | \((f + g)(x) = f(x) + g(x)\) |
| Differenz von Funktionen | \((f - g)(x) = f(x) - g(x)\) |
| Produkt von Funktionen | \((f - g)(x) = f(x) - g(x)\) |
| Quotient von Funktionen | \(\left(\frac{f}{g}\right)(x) = \frac{f(x)}{g(x)}\) |
| Verkettung von Funktionen | \((f \circ g)(x) = f(g(x))\) |
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Weiterhin viel Erfolg beim Lernen!
Andreas Schneider