Differenz von Funktionen

Definition der Differenz von Funktionen

Gegeben seien zwei Funktionen \(f\) und \(g\) mit ihren Definitionsmengen \(\mathbb{D}_f\) und \(\mathbb{D_g}\).

Die Differenz zweier Funktionen \(f\) und \(g\) ist definiert als die Differenz ihrer Funktionsterme. Die Definitionsmenge der Differenzfunktion \(\mathbb{D}_{f-g}\) entspricht der Schnittmenge von \(\mathbb{D}_f\) und \(\mathbb{D_g}\).

Beispiele für die Differenz von Funktionen

Gegeben sind zwei Funktionen \(f\) und \(g\) mit
\(f(x) = 2x + 1\) (\(\mathbb{D_f} = \mathbb{R}\)) und
\(g(x) = 3x^2 - 2\) (\(\mathbb{D_g} = \mathbb{R}\)).

Aufgabenstellung

a) Berechne \(h_1 = f - g\) und gib die Definitionsmenge der Differenzfunktion an.
b) Berechne \(h_2 = g - f\) und gib die Definitionsmenge der Differenzfunktion an.
c) Untersuche \(h_1\) und \(h_2\) auf Gleichheit.

Lösung zu a)

\(\begin{align*}
h_1(x)
&= f(x) - g(x)\\[5px]
&= (2x + 1) - (3x^2 - 2)\\[5px]
&= 2x + 1 - 3x^2 + 2\\[5px]
&= -3x^2 + 2x + 2 + 1\\[5px]
&= -3x^2 + 2x + 3
\end{align*}\)

Für Definitionsmenge der Differenzfunktion \(h_1\) gilt:

\(\begin{align*}
\mathbb{D}_{h_1}
&= \mathbb{D}_f \cap \mathbb{D}_g\\[5px]
&= \mathbb{R} \cap \mathbb{R}\\[5px]
&= \mathbb{R}
\end{align*}\)

Lösung zu b)

\(\begin{align*}
h_2(x)
&= g(x) - f(x)\\[5px]
&= (3x^2 - 2) - (2x + 1)\\[5px]
&= 3x^2 - 2 - 2x - 1\\[5px]
&= 3x^2 - 2x - 1 - 2\\[5px]
&= 3x^2 - 2x - 3
\end{align*}\)

Für Definitionsmenge der Differenzfunktion \(h_2\) gilt:

\(\begin{align*}
\mathbb{D}_{h_2}
&= \mathbb{D}_f \cap \mathbb{D}_g\\[5px]
&= \mathbb{R} \cap \mathbb{R}\\[5px]
&= \mathbb{R}
\end{align*}\)

Lösung zu c)

Wir erkennen, dass gilt: \(h_1 \neq h_2 \Rightarrow f - g \neq g - f\).

Wie bei Zahlen spielt auch bei Funktionen die Reihenfolge beim Subtrahieren eine Rolle.

Differenz von Funktionen im Einsatz

• In der Differentialrechnung beim Ableiten von Differenzfunktionen
  (siehe Differenzregel)
• In der Integralrechnung beim Integrieren von Differenzfunktionen
  (siehe Integrationsregeln)