Differenz von Funktionen
In diesem Kapitel schauen wir uns an, wie die Differenz von Funktionen berechnet wird.
Kontext
Wir wissen, dass wir Zahlen durch die vier Grundrechenarten miteinander verknüpfen können. Obwohl sich Funktionen von Zahlen unterscheiden, können wir auch auf Funktionen diese mathematischen Operationen anwenden. Für Funktionen gibt es neben der Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division eine weitere Verknüpfung namens „Verkettung“.
Verknüpfung von Funktionen
- Summe (\(f + g\))
- Differenz (\(f - g\))
- Produkt (\(f \cdot g\))
- Quotient (\(\frac{f}{g}\))
- Verkettung (\(f \circ g\))
Durch die Verknüpfung von Funktionen können wir
(a) einfache Funktionen zu komplizierten Funktionen zusammensetzen oder
(b) komplizierte Funktionen in einfache Funktionen zerlegen.
Definition der Differenz von Funktionen
Gegeben seien zwei Funktionen \(f\) und \(g\) mit ihren Definitionsmengen \(\mathbb{D}_f\) und \(\mathbb{D_g}\).
\((f-g)(x) = f(x) - g(x)\) mit \(\mathbb{D}_{f-g} = \mathbb{D}_f \cap \mathbb{D}_g\)
Die Differenz zweier Funktionen \(f\) und \(g\) ist definiert als die Differenz ihrer Funktionsterme. Die Definitionsmenge der Differenzfunktion \(\mathbb{D}_{f-g}\) entspricht der Schnittmenge von \(\mathbb{D}_f\) und \(\mathbb{D_g}\).
Beispiele für die Differenz von Funktionen
Gegeben sind zwei Funktionen \(f\) und \(g\) mit
\(f(x) = 2x + 1\) (\(\mathbb{D_f} = \mathbb{R}\)) und
\(g(x) = 3x^2 - 2\) (\(\mathbb{D_g} = \mathbb{R}\)).
Aufgabenstellung
a) Berechne \(h_1 = f - g\) und gib die Definitionsmenge der Differenzfunktion an.
b) Berechne \(h_2 = g - f\) und gib die Definitionsmenge der Differenzfunktion an.
c) Untersuche \(h_1\) und \(h_2\) auf Gleichheit.
Lösung zu a)
\(\begin{align*}
h_1(x)
&= f(x) - g(x)\\[5px]
&= (2x + 1) - (3x^2 - 2)\\[5px]
&= 2x + 1 - 3x^2 + 2\\[5px]
&= -3x^2 + 2x + 2 + 1\\[5px]
&= -3x^2 + 2x + 3
\end{align*}\)
Für Definitionsmenge der Differenzfunktion \(h_1\) gilt:
\(\begin{align*}
\mathbb{D}_{h_1}
&= \mathbb{D}_f \cap \mathbb{D}_g\\[5px]
&= \mathbb{R} \cap \mathbb{R}\\[5px]
&= \mathbb{R}
\end{align*}\)
Abbildung zu Aufgabe a)
Lösung zu b)
\(\begin{align*}
h_2(x)
&= g(x) - f(x)\\[5px]
&= (3x^2 - 2) - (2x + 1)\\[5px]
&= 3x^2 - 2 - 2x - 1\\[5px]
&= 3x^2 - 2x - 1 - 2\\[5px]
&= 3x^2 - 2x - 3
\end{align*}\)
Für Definitionsmenge der Differenzfunktion \(h_2\) gilt:
\(\begin{align*}
\mathbb{D}_{h_2}
&= \mathbb{D}_f \cap \mathbb{D}_g\\[5px]
&= \mathbb{R} \cap \mathbb{R}\\[5px]
&= \mathbb{R}
\end{align*}\)
Abbildung zu Aufgabe b)
Lösung zu c)
Wir erkennen, dass gilt: \(h_1 \neq h_2 \Rightarrow f - g \neq g - f\).
Wie bei Zahlen spielt auch bei Funktionen die Reihenfolge beim Subtrahieren eine Rolle.
Differenz von Funktionen im Einsatz
- In der Differentialrechnung beim Ableiten von Differenzfunktionen
(siehe Differenzregel) - In der Integralrechnung beim Integrieren von Differenzfunktionen
(siehe Integrationsregeln)
Überblick: Verknüpfungen von Funktionen
| Summe von Funktionen | \((f + g)(x) = f(x) + g(x)\) |
| Differenz von Funktionen | \((f - g)(x) = f(x) - g(x)\) |
| Produkt von Funktionen | \((f - g)(x) = f(x) - g(x)\) |
| Quotient von Funktionen | \(\left(\frac{f}{g}\right)(x) = \frac{f(x)}{g(x)}\) |
| Verkettung von Funktionen | \((f \circ g)(x) = f(g(x))\) |
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Weiterhin viel Erfolg beim Lernen!
Andreas Schneider