Quotient von Funktionen

In diesem Kapitel schauen wir uns an, wie der Quotient von Funktionen berechnet wird.

Kontext

Wir wissen, dass wir Zahlen durch die vier Grundrechenarten miteinander verknüpfen können. Obwohl sich Funktionen von Zahlen unterscheiden, können wir auch auf Funktionen diese mathematischen Operationen anwenden. Für Funktionen gibt es neben der Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division eine weitere Verknüpfung namens „Verkettung“.

Verknüpfung von Funktionen

  • Summe (\(f + g\))
  • Differenz (\(f - g\))
  • Produkt (\(f \cdot g\))
  • Quotient (\(\frac{f}{g}\))
  • Verkettung (\(f \circ g\))

Durch die Verknüpfung von Funktionen können wir
(a) einfache Funktionen zu komplizierten Funktionen zusammensetzen oder
(b) komplizierte Funktionen in einfache Funktionen zerlegen.

Definition des Quotienten von Funktionen

Gegeben seien zwei Funktionen \(f\) und \(g\) mit ihren Definitionsmengen \(\mathbb{D}_f\) und \(\mathbb{D_g}\).

\(\left(\frac{f}{g}\right)(x) = \frac{f(x)}{g(x)}\) mit \(\mathbb{D}_{\frac{f}{g}} = \mathbb{D}_f \cap \mathbb{D}_g \setminus \{x \,|\, g(x) = 0\}\)

Der Quotient zweier Funktionen \(f\) und \(g\) ist definiert als der Quotient ihrer Funktionsterme. Die Definitionsmenge der Quotientenfunktion \(\mathbb{D}_{\frac{f}{g}}\) entspricht der Schnittmenge von \(\mathbb{D}_f\) und \(\mathbb{D_g}\) abzüglich aller \(x\), für die \(g(x)\) gleich Null wird, da eine Division durch Null nicht definiert ist.

Beispiele für den Quotienten von Funktionen

Gegeben sind zwei Funktionen \(f\) und \(g\) mit
\(f(x) = 2x + 1\) (\(\mathbb{D_f} = \mathbb{R}\)) und
\(g(x) = 3x^2 - 2\) (\(\mathbb{D_g} = \mathbb{R}\)).

Aufgabenstellung

a) Berechne \(h_1 = \frac{f}{g}\) und gib die Definitionsmenge der Quotientenfunktion an.

b) Berechne \(h_2 = \frac{g}{f}\) und gib die Definitionsmenge der Quotientenfunktion an.

c) Untersuche \(h_1\) und \(h_2\) auf Gleichheit.

Lösung zu a)

\(\begin{align*}
h_1(x)
&= \frac{f(x)}{g(x)}\\[5px]
&= \frac{2x + 1}{3x^2 - 2}
\end{align*}\)

Nebenrechnung: Wann wird der Nenner gleich Null?

\(\begin{align*}
&3x^2 - 2 = 0 &&{\color{gray}|-2}\\[5px]
&3x^2 = 2 &&{\color{gray}|:3}\\[5px]
&x^2 = \frac{2}{3} &&{\color{gray}|\sqrt{\phantom{x}}}\\[5px]
&x = \pm\sqrt{\frac{2}{3}}
\end{align*}\)

Für Definitionsmenge der Quotientenfunktion \(h_1\) gilt:

\(\begin{align*}
\mathbb{D}_{h_1}
&= \mathbb{D}_f \cap \mathbb{D}_g \setminus \left\{\pm\sqrt{\frac{2}{3}}\right\}\\[5px]
&= \mathbb{R} \cap \mathbb{R} \setminus \left\{\pm\sqrt{\frac{2}{3}}\right\}\\[5px]
&= \mathbb{R} \setminus \left\{\pm\sqrt{\frac{2}{3}}\right\}
\end{align*}\)

Abbildung zu Aufgabe a)

Lösung zu b)

\(\begin{align*}
h_2(x)
&= \frac{g(x)}{f(x)}\\[5px]
&= \frac{3x^2 - 2}{2x + 1}
\end{align*}\)

Nebenrechnung: Wann wird der Nenner gleich Null?

\(\begin{align*}
&2x + 1 = 0 &&{\color{gray}|-1}\\[5px]
&2x = -1 &&{\color{gray}|:2}\\[5px]
&x = -0{,}5
\end{align*}\)

Für Definitionsmenge der Quotientenfunktion \(h_2\) gilt:

\(\begin{align*}
\mathbb{D}_{h_2}
&= \mathbb{D}_f \cap \mathbb{D}_g \setminus \{-0{,}5\}\\[5px]
&= \mathbb{R} \cap \mathbb{R} \setminus \{-0{,}5\}\\[5px]
&= \mathbb{R} \setminus \{-0{,}5\}
\end{align*}\)

Abbildung zu Aufgabe b)

Lösung zu c)

Wir erkennen, dass gilt: \(h_1 \neq h_2 \Rightarrow \frac{f}{g} \neq \frac{g}{f}\).

Wie bei Zahlen spielt auch bei Funktionen die Reihenfolge beim Dividieren eine Rolle.

Quotient von Funktionen im Einsatz

  • In der Differentialrechnung beim Ableiten von Quotientenfunktionen
    (siehe Quotientenregel)

Überblick: Verknüpfungen von Funktionen

Summe von Funktionen \((f + g)(x) = f(x) + g(x)\)
Differenz von Funktionen \((f - g)(x) = f(x) - g(x)\)
Produkt von Funktionen \((f - g)(x) = f(x) - g(x)\)
Quotient von Funktionen \(\left(\frac{f}{g}\right)(x) = \frac{f(x)}{g(x)}\)
Verkettung von Funktionen \((f \circ g)(x) = f(g(x))\)
Andreas Schneider

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Andreas Schneider

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