Schnittmenge

In diesem Kapitel schauen wir uns an, was die Schnittmenge ist.

Erforderliches Vorwissen

Einführungsbeispiel 

Gegeben

$A$ ist die Menge aller meiner Freunde, die im Sportverein angemeldet sind:
$$ A = \{\text{David}, \text{Johanna}, {\color{green}\text{Mark}}, \text{Robert}\} $$

$B$ ist die Menge aller meiner Freunde, die ein Musikinstrument spielen:
$$ B = \{\text{Anna}, \text{Laura}, {\color{green}\text{Mark}}\} $$

Ein Blick auf das Mengendiagramm verrät, dass $\text{Mark}$ als einziger meiner Freunde sowohl Sportler als auch Musiker ist.

Abb. 1 

Frage

Welche meiner Freunde sind im Sportverein angemeldet UND spielen ein Musikinstrument?

Antwort

$$ L = \{{\color{green}\text{Mark}}\} $$

$L$ enthält alle meine Freunde, die im Sportverein sind und ein Musikinstrument spielen.

Mathematische Bezeichnung

Die Menge $L$ heißt Schnittmenge oder Durchschnitt von $A$ und $B$.
Wir können die Menge $L$ auch als Durchschnittsmenge bezeichnen.

Mathematische Schreibweise

$$ \definecolor{naranja}{RGB}{255,128,0} L = {\color{naranja}A \cap B} $$ (sprich: L gleich A geschnitten mit B)

Definition der Schnittmenge 

Seien $A$ und $B$ Mengen, dann gilt:

Die Schnittmenge $A \cap B$ ist die Menge aller Elemente, die sowohl zu $A$ als auch zu $B$ gehören:

$$ A \cap B = \{x \,|\, x \in A \enspace \wedge \enspace x \in B\} $$

Sprechweise

$$ \underbrace{\vphantom{\big \vert}A \cap B}_\text{A geschnitten mit B}~~ \underbrace{\vphantom{\big \vert}=}_\text{ist}~~ \underbrace{\vphantom{\big \vert}\{}_\text{die Menge aller}~ \underbrace{\vphantom{\big \vert}x}_\text{x}~ \underbrace{\vert}_\text{für die gilt:}~~ \underbrace{\vphantom{\vert}x \in A}_\text{x ist Element von A}~~ \underbrace{\vphantom{\vert}\wedge}_\text{und}~~ \underbrace{\vphantom{\vert}x \in B}_\text{x ist Element von B}~~ \} $$

Bedeutung von $\wedge$

$\wedge$ ist das mathematische Symbol für das logische UND. In der Logik ist eine Aussage, die mit $\wedge$ (und) verknüpft ist, wahr, wenn beide der beteiligten Aussagen wahr sind.

Mengendiagramm

Die grün linierte Fläche entspricht der Menge aller Elemente, die sowohl zu $A$ als auch zu $B$ gehören.

Abb. 2 

Schnittmenge bestimmen 

Um Fehler zu vermeiden, empfiehlt sich ein systematisches Vorgehen:

Alle Elemente, die in beiden Mengen vorkommen, markieren

Markierte Elemente in einer neuen Menge zusammenfassen

Beispiel 1 

Bestimme die Schnittmenge von $$ A = \{1, 2, 3\} $$ und $B = \{\,\}$.

Alle Elemente, die in beiden Mengen vorkommen, markieren

Es gibt keine Elemente, die in beiden Mengen vorkommen.

Markierte Elemente in einer neuen Menge zusammenfassen

$A \cap B = \{\,\}$.

Besonderheit

Die Menge $B$ ist leer.

Ist $B = \{\,\}$, dann gilt: $A \cap B = \{\,\}$.

Abb. 3 

Beispiel 2 

Bestimme die Schnittmenge von $$ A = \{1, 2, 3\} $$ und $B = \{4, 5\}$.

Alle Elemente, die in beiden Mengen vorkommen, markieren

Es gibt keine Elemente, die in beiden Mengen vorkommen.

Markierte Elemente in einer neuen Menge zusammenfassen

$$ A \cap B = \{\,\} $$

Besonderheit

Die beiden Mengen $A$ und $B$ haben keine gemeinsamen Elemente.

Abb. 4 

Beispiel 3 

Bestimme die Schnittmenge von $$ A = \{1, 2, 3\} $$ und $B = \{3, 4, 5\}$.

Alle Elemente, die in beiden Mengen vorkommen, markieren

$A = \{1, 2, {\color{green}3}\}$
$$ B = \{{\color{green}3}, 4, 5\} $$

Markierte Elemente in einer neuen Menge zusammenfassen

$$ A \cap B = \{{\color{green}3}\} $$

Besonderheit

Die beiden Mengen $A$ und $B$ haben gemeinsame Elemente.

Abb. 5 

Beispiel 4 

Bestimme die Schnittmenge von $$ A = \{1, 2, 3, 4, 5\} $$ und $B = \{4, 5\}$.

Alle Elemente, die in beiden Mengen vorkommen, markieren

$A = \{1, 2, 3, {\color{green}4}, {\color{green}5}\}$
$$ B = \{{\color{green}4}, {\color{green}5}\} $$

Markierte Elemente in einer neuen Menge zusammenfassen

$$ A \cap B = \{{\color{green}4}, {\color{green}5}\} $$

Besonderheit

$B$ ist echte Teilmenge von $A$.

Ist $B \subset A$, dann gilt $A \cap B = B$.

Abb. 6 

Beispiel 5 

Bestimme die Schnittmenge von $$ A = \{1, 2, 3, 4, 5\} $$ und $B = \{1, 2, 3, 4, 5\}$.

Alle Elemente, die in beiden Mengen vorkommen, markieren

$A = \{{\color{green}1}, {\color{green}2}, {\color{green}3}, {\color{green}4}, {\color{green}5}\}$
$$ B = \{{\color{green}1}, {\color{green}2}, {\color{green}3}, {\color{green}4}, {\color{green}5}\} $$

Markierte Elemente in einer neuen Menge zusammenfassen

$$ A \cap B = \{{\color{green}1}, {\color{green}2}, {\color{green}3}, {\color{green}4}, {\color{green}5}\} $$

Besonderheit

$A$ und $B$ sind gleich.

Ist $A = B$, dann gilt $A \cap B = A = B$.

Abb. 7 

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