Schnittmenge
In diesem Kapitel schauen wir uns an, was die Schnittmenge ist.
Erforderliches Vorwissen
Einführungsbeispiel
Gegeben
$A$ ist die Menge aller meiner Freunde, die im Sportverein angemeldet sind:$$ A = \{\text{David}, \text{Johanna}, {\color{green}\text{Mark}}, \text{Robert}\} $$
$B$ ist die Menge aller meiner Freunde, die ein Musikinstrument spielen:$$ B = \{\text{Anna}, \text{Laura}, {\color{green}\text{Mark}}\} $$
Ein Blick auf das Mengendiagramm verrät, dass $\text{Mark}$ als einziger meiner Freunde sowohl Sportler als auch Musiker ist.
Frage
Welche meiner Freunde sind im Sportverein angemeldet UND spielen ein Musikinstrument?
Antwort
$$ L = \{{\color{green}\text{Mark}}\} $$
$L$ enthält alle meine Freunde, die im Sportverein sind und ein Musikinstrument spielen.
Mathematische Bezeichnung
Die Menge $L$ heißt Schnittmenge oder Durchschnitt von $A$ und $B$.
Wir können die Menge $L$ auch als Durchschnittsmenge bezeichnen.
Mathematische Schreibweise
$$ \definecolor{naranja}{RGB}{255,128,0} L = {\color{naranja}A \cap B} $$
(sprich: L gleich A geschnitten mit B
)
Definition der Schnittmenge
Seien $A$ und $B$ Mengen, dann gilt:
Die Schnittmenge $A \cap B$ ist die Menge aller Elemente,
die sowohl zu $A$ als auch zu $B$ gehören:
$$ A \cap B = \{x \,|\, x \in A \enspace \wedge \enspace x \in B\} $$
Sprechweise
$$ \underbrace{\vphantom{\big \vert}A \cap B}_\text{A geschnitten mit B}~~ \underbrace{\vphantom{\big \vert}=}_\text{ist}~~ \underbrace{\vphantom{\big \vert}\{}_\text{die Menge aller}~ \underbrace{\vphantom{\big \vert}x}_\text{x}~ \underbrace{\vert}_\text{für die gilt:}~~ \underbrace{\vphantom{\vert}x \in A}_\text{x ist Element von A}~~ \underbrace{\vphantom{\vert}\wedge}_\text{und}~~ \underbrace{\vphantom{\vert}x \in B}_\text{x ist Element von B}~~ \} $$
Bedeutung von $\wedge$
$\wedge$ ist das mathematische Symbol für das logische UND
. In der Logik ist eine Aussage, die mit $\wedge$ (und
) verknüpft ist, wahr, wenn beide der beteiligten Aussagen wahr sind.
Mengendiagramm
Die grün linierte Fläche entspricht der Menge aller Elemente, die sowohl zu $A$ als auch zu $B$ gehören.
Schnittmenge bestimmen
Um Fehler zu vermeiden, empfiehlt sich ein systematisches Vorgehen:
Alle Elemente, die in beiden Mengen vorkommen, markieren
Markierte Elemente in einer neuen Menge zusammenfassen
Bestimme die Schnittmenge von
$$ A = \{1, 2, 3\} $$
und
$B = \{\,\}$.
Alle Elemente, die in beiden Mengen vorkommen, markieren
Es gibt keine Elemente, die in beiden Mengen vorkommen.
Markierte Elemente in einer neuen Menge zusammenfassen
$A \cap B = \{\,\}$.
Bestimme die Schnittmenge von
$$ A = \{1, 2, 3\} $$
und
$B = \{4, 5\}$.
Bestimme die Schnittmenge von
$$ A = \{1, 2, 3\} $$
und
$B = \{3, 4, 5\}$.
Bestimme die Schnittmenge von
$$ A = \{1, 2, 3, 4, 5\} $$
und
$B = \{4, 5\}$.
Alle Elemente, die in beiden Mengen vorkommen, markieren
$A = \{1, 2, 3, {\color{green}4}, {\color{green}5}\}$$$ B = \{{\color{green}4}, {\color{green}5}\} $$
Markierte Elemente in einer neuen Menge zusammenfassen
$$ A \cap B = \{{\color{green}4}, {\color{green}5}\} $$
Bestimme die Schnittmenge von
$$ A = \{1, 2, 3, 4, 5\} $$
und
$B = \{1, 2, 3, 4, 5\}$.
Alle Elemente, die in beiden Mengen vorkommen, markieren
$A = \{{\color{green}1}, {\color{green}2}, {\color{green}3}, {\color{green}4}, {\color{green}5}\}$$$ B = \{{\color{green}1}, {\color{green}2}, {\color{green}3}, {\color{green}4}, {\color{green}5}\} $$
Markierte Elemente in einer neuen Menge zusammenfassen
$$ A \cap B = \{{\color{green}1}, {\color{green}2}, {\color{green}3}, {\color{green}4}, {\color{green}5}\} $$
