Symmetrische Differenz

In diesem Kapitel schauen wir uns an, was die symmetrische Differenz ist.

Inhaltsverzeichnis

Erforderliches Vorwissen

Einführungsbeispiel

Gegeben

$A$ ist die Menge aller meiner Freunde, die im Sportverein angemeldet sind:
$$ A = \{{\color{green}\text{David}}, {\color{green}\text{Johanna}}, {\color{red}\text{Mark}}, {\color{green}\text{Robert}}\} $$

$B$ ist die Menge aller meiner Freunde, die ein Musikinstrument spielen:
$$ B = \{{\color{green}\text{Anna}}, {\color{green}\text{Laura}}, {\color{red}\text{Mark}}\} $$

Ein Blick auf das Mengendiagramm verrät, dass $\text{Mark}$ als einziger meiner Freunde sowohl Sportler als auch Musiker ist.

Abb. 1

Frage

Welche meiner Freunde sind ENTWEDER im Sportverein ODER spielen ein Musikinstrument?

Antwort

$$ L = \{{\color{green}\text{David}}, {\color{green}\text{Johanna}}, {\color{green}\text{Robert}}, {\color{green}\text{Anna}}, {\color{green}\text{Laura}}\} $$

$L$ enthält alle meine Freunde, die entweder im Sportverein sind oder ein Musikstrument spielen.

Mathematische Bezeichnung

Die Menge $L$ heißt symmetrische Differenz von $A$ und $B$ .

Mathematische Schreibweise

$$ \definecolor{naranja}{RGB}{255,128,0} L = {\color{naranja}A \bigtriangleup B} $$ (sprich: L gleich der symmetrischen Differenz von A und B)

Abkürzend können wir $L = A \bigtriangleup B$ auch als L gleich A Delta B sprechen.

Definition

Seien $A$ und $B$ Mengen, dann gilt:

Die symmetrische Differenz $A \bigtriangleup B$ ist die Menge aller Elemente, die zu $A$ oder zu $B$ , aber nicht zu beiden Mengen gehören:

$$ A \bigtriangleup B = \{x~|~(x \in A ~\wedge~ x \notin B) \vee (x \in B ~\wedge~ x \notin A)\} $$

Sprechweise

$$ \underbrace{\vphantom{\big \vert}A \bigtriangleup B}_\text{Die symmetrische Differenz von A und B}~~ \underbrace{\vphantom{\big \vert}=}_\text{ist}~~ \underbrace{\vphantom{\big \vert}\{}_\text{die Menge aller}~ \underbrace{\vphantom{\big \vert}x}_\text{x}~ \underbrace{\vert}_\text{für die gilt:} $$

$$ ( \underbrace{\vphantom{\vert}x \in A}_\text{x ist Element von A}~~ \underbrace{\vphantom{\vert}\wedge}_\text{und}~~ \underbrace{\vphantom{\vert}x \notin B}_\text{x ist kein Element von B} ) \underbrace{\vphantom{\vert}\vee}_\text{oder} ( \underbrace{\vphantom{\vert}x \in B}_\text{x ist Element von B}~~ \underbrace{\vphantom{\vert}\wedge}_\text{und}~~ \underbrace{\vphantom{\vert}x \notin A}_\text{x ist kein Element von A} ) \} $$

Vereinfachte Schreibweise

Mithilfe der Differenzmenge können wir die obige Definition erheblich vereinfachen:

$$ A \bigtriangleup B = (A \setminus B) \cup (B \setminus A) $$

$$ \underbrace{\vphantom{\big \vert}A \bigtriangleup B}_\text{A Delta B}~~ \underbrace{\vphantom{\big \vert}=}_\text{ist}~~ \underbrace{\vphantom{\big \vert}(A \setminus B)}_\text{A ohne B}~ \underbrace{\vphantom{\big \vert}\cup}_\text{vereinigt mit}~ \underbrace{\vphantom{\big \vert}(B \setminus A)}_\text{B ohne A} $$

Alternative Definition

$$ A \bigtriangleup B = (A \cup B) \setminus (A \cap B) $$

$$ \underbrace{\vphantom{\big \vert}A \bigtriangleup B}_\text{A Delta B}~~ \underbrace{\vphantom{\big \vert}=}_\text{ist}~~ \underbrace{\vphantom{\big \vert}(A \cup B)}_\text{A vereinigt mit B}~ \underbrace{\vphantom{\big \vert}\setminus}_\text{ohne}~ \underbrace{\vphantom{\big \vert}(A \cap B)}_\text{A geschnitten mit B} $$

Die symmetrische Differenz ist die Vereinigung von $A$ und $B$ abzüglich ihres Durchschnitts.

Mengendiagramm

Die grün linierte Fläche entspricht der Menge aller Elemente, die zu $A$ oder zu $B$ , aber nicht zu beiden Mengen gehören.

Abb. 2

Symmetrische Differenz bestimmen

Um Fehler zu vermeiden, empfiehlt sich ein systematisches Vorgehen:

Elemente, die sowohl in $\boldsymbol{A}$ als auch in $\boldsymbol{B}$ vorkommen, streichen

Nicht durchgestrichene Elemente von $\boldsymbol{A}$ und $\boldsymbol{B}$ in neuer Menge zusammenfassen

Beispiel 1

Bestimme die symmetrische Differenz von $$ A = \{1, 2, 3\} $$ und $B = \{\,\}$ .

Elemente, die sowohl in $\boldsymbol{A}$ als auch in $\boldsymbol{B}$ vorkommen, streichen

$A = \{{\color{green}1}, {\color{green}2}, {\color{green}3}\}$
$$ B = \{\,\} $$

Nicht durchgestrichene Elemente von $\boldsymbol{A}$ und $\boldsymbol{B}$ in neuer Menge zusammenfassen

$A \bigtriangleup B = \{{\color{green}1}, {\color{green}2}, {\color{green}3}\}$ .

Besonderheit

Die Menge $B$ ist leer.

Ist $B = \{\,\}$ , dann gilt: $A \bigtriangleup B = A$ .

Abb. 3

Beispiel 2

Bestimme die symmetrische Differenz von $$ A = \{1, 2, 3\} $$ und $B = \{4, 5\}$ .

Elemente, die sowohl in $\boldsymbol{A}$ als auch in $\boldsymbol{B}$ vorkommen, streichen

$A = \{{\color{green}1}, {\color{green}2}, {\color{green}3}\}$
$$ B = \{{\color{green}4}, {\color{green}5}\} $$

Nicht durchgestrichene Elemente von $\boldsymbol{A}$ und $\boldsymbol{B}$ in neuer Menge zusammenfassen

$$ A \bigtriangleup B = \{{\color{green}1}, {\color{green}2}, {\color{green}3}, {\color{green}4}, {\color{green}5}\} $$

Besonderheit

Die beiden Mengen $A$ und $B$ haben keine gemeinsamen Elemente.

Ist $A \cap B = \emptyset$ , dann gilt: $A \bigtriangleup B = A \cup B$ .

Abb. 4

Beispiel 3

Bestimme die symmetrische Differenz von $$ A = \{1, 2, 3\} $$ und $B = \{3, 4, 5\}$ .

Elemente, die sowohl in $\boldsymbol{A}$ als auch in $\boldsymbol{B}$ vorkommen, streichen

$A = \{{\color{green}1}, {\color{green}2}, {\color{red}\cancel{3}}\}$
$$ B = \{{\color{red}\cancel{3}}, {\color{green}4}, {\color{green}5}\} $$

Nicht durchgestrichene Elemente von $\boldsymbol{A}$ und $\boldsymbol{B}$ in neuer Menge zusammenfassen

$$ A \bigtriangleup B = \{{\color{green}1}, {\color{green}2}, {\color{green}4}, {\color{green}5}\} $$

Besonderheit

Die beiden Mengen $A$ und $B$ haben gemeinsame Elemente.

Abb. 5

Beispiel 4

Bestimme die symmetrische Differenz von $$ A = \{1, 2, 3, 4, 5\} $$ und $B = \{4, 5\}$ .

Elemente, die sowohl in $\boldsymbol{A}$ als auch in $\boldsymbol{B}$ vorkommen, streichen

$A = \{{\color{green}1}, {\color{green}2}, {\color{green}3}, {\color{red}\cancel{4}}, {\color{red}\cancel{5}}\}$
$$ B = \{{\color{red}\cancel{4}}, {\color{red}\cancel{5}}\} $$

Nicht durchgestrichene Elemente von $\boldsymbol{A}$ und $\boldsymbol{B}$ in neuer Menge zusammenfassen

$$ A \bigtriangleup B = \{{\color{green}1}, {\color{green}2}, {\color{green}3}\} $$

Besonderheit

$B$ ist echte Teilmenge von $A$ .

Ist $B \subset A$ , dann gilt: $A \bigtriangleup B = A \setminus B$ .

Abb. 6

Beispiel 5

Bestimme die symmetrische Differenz von $$ A = \{1, 2, 3, 4, 5\} $$ und $B = \{1, 2, 3, 4, 5\}$ .

Elemente, die sowohl in $\boldsymbol{A}$ als auch in $\boldsymbol{B}$ vorkommen, streichen

$A = \{{\color{red}\cancel{1}}, {\color{red}\cancel{2}}, {\color{red}\cancel{3}}, {\color{red}\cancel{4}}, {\color{red}\cancel{5}}\}$
$$ B = \{{\color{red}\cancel{1}}, {\color{red}\cancel{2}}, {\color{red}\cancel{3}}, {\color{red}\cancel{4}}, {\color{red}\cancel{5}}\} $$

Nicht durchgestrichene Elemente von $\boldsymbol{A}$ und $\boldsymbol{B}$ in neuer Menge zusammenfassen

$$ A \bigtriangleup B = \{\,\} $$

Besonderheit

$A$ und $B$ sind gleich.

Ist $A = B$ , dann gilt $A \bigtriangleup B = \{\,\}$ .

Abb. 7