Komplement
In diesem Kapitel schauen wir uns an, was das Komplement einer Menge ist.
Erforderliches Vorwissen
Einführungsbeispiel
Gegeben
$A$ ist die Menge aller meiner Freunde, die ein Musikinstrument spielen:$$ A = \{{\color{red}\text{Anna}}, {\color{red}\text{Laura}}, {\color{red}\text{Mark}}\} $$
$B$ ist die Menge aller meiner Freunde:$$ B = \{{\color{red}\text{Anna}}, {\color{green}\text{David}}, {\color{green}\text{Johanna}}, {\color{red}\text{Laura}}, {\color{red}\text{Mark}}, {\color{green}\text{Robert}}\} $$
Beobachtung
$A$ ist (echte) Teilmenge von $B$.
Frage
Welche meiner Freunde spielen kein Musikinstrument?
Antwort
$$ L = \{{\color{green}\text{David}}, {\color{green}\text{Johanna}}, {\color{green}\text{Robert}}\} $$
$L$ enthält alle meine Freunde, die kein Musikinstrument spielen.
Mathematische Bezeichnung
Die Menge $L$ heißt Komplementärmenge oder Komplement von $A$ bezüglich $B$.
Mathematische Schreibweise
$$ \definecolor{naranja}{RGB}{255,128,0} L = {\color{naranja}\bar{A}_{B}} $$
(sprich: „L gleich Komplement von A bezüglich B“)
Definition
Ist $A$ eine Teilmenge von $B$, dann heißt die Menge aller Elemente,
die zu $B$, aber nicht zu $A$ gehören, auch Komplement von $A$ bzgl. $B$:
$$ \bar{A}_B = \{x \,|\, x \in B \enspace \wedge \enspace x \notin A\} $$
Sprechweise
Das Komplement von A bezüglich B…
$$ \bar{A}_B \quad \underbrace{\vphantom{\big \vert}=}_\text{ist}~~ \underbrace{\vphantom{\big \vert}\{}_\text{die Menge aller}~ \underbrace{\vphantom{\big \vert}x}_\text{x}~ \underbrace{\vert}_\text{für die gilt:}~~ \underbrace{\vphantom{\vert}x \in B}_\text{x ist Element von B}~~ \underbrace{\vphantom{\vert}\wedge}_\text{und}~~ \underbrace{\vphantom{\vert}x \notin A}_\text{x ist nicht Element von A}~~ \} $$
Bedeutung von $\wedge$
$\wedge$ ist das mathematische Symbol für das „logische UND“. In der Logik ist eine Aussage, die mit $\wedge$ („und“) verknüpft ist, wahr, wenn beide der beteiligten Aussagen wahr sind.
Mengendiagramm
Die grün linierte Fläche entspricht der Menge aller Elemente, die zu $B$, aber nicht zu $A$ gehören.
Verhältnis zur Differenzmenge
Das Komplement (die Komplementärmenge) ist ein Spezialfall der Differenzmenge:
Wenn $A$ Teilmenge von $B$ ist, wird
die Differenzmenge $B \setminus A$ auch Komplement von $A$ bzgl. $B$ genannt:
$$ \bar{A}_B = B \setminus A = \{x \,|\, x \in B \enspace \wedge \enspace x \notin A\} $$
Offensichtlich ist jede Komplementärmenge auch eine Differenzmenge, eine Differenzmenge muss jedoch keine Komplementärmenge sein. Differenzmenge ist der allgemeinere Begriff.
Vereinfachte Schreibweise
Ist die Menge $B$ aus dem Zusammenhang heraus offenbar, so können wir auch schreiben:
Die Menge aller Elemente, die nicht zu $A$ gehören,
heißt Komplement von $A$.
$$ \bar{A} = \{x \,|\, x \notin A\} $$
Komplement bestimmen
Um Fehler zu vermeiden, empfiehlt sich ein systematisches Vorgehen:
Lösungsverfahren ($\boldsymbol{A \subseteq B}$)
Elemente, die sowohl in $\boldsymbol{A}$ als auch in $\boldsymbol{B}$ vorkommen, streichen
Nicht durchgestrichene Elemente von $\boldsymbol{B}$ in neuer Menge zusammenfassen
Bestimme das Komplement von
$$ A = \{4, 5\} $$
bzgl.
$B = \{1, 2, 3, 4, 5\}$.
Elemente, die sowohl in $\boldsymbol{A}$ als auch in $\boldsymbol{B}$ vorkommen, streichen
$A = \{{\color{red}\cancel{4}}, {\color{red}\cancel{5}}\}$$$ B = \{{\color{green}1}, {\color{green}2}, {\color{green}3}, {\color{red}\cancel{4}}, {\color{red}\cancel{5}}\} $$
Nicht durchgestrichene Elemente von $\boldsymbol{B}$ in neuer Menge zusammenfassen
$$ \bar{A}_B = B \setminus A = \{{\color{green}1}, {\color{green}2}, {\color{green}3}\} $$
$\bar{A}_B$ ist die Menge aller Elemente von $B$, die nicht in $A$ enthalten sind.
