Komplement
In diesem Kapitel schauen wir uns an, was das Komplement einer Menge ist.
Grundkenntnisse der Mengenlehre werden als bekannt vorausgesetzt.
Gegeben
\(A\) ist die Menge aller meiner Freunde, die ein Musikinstrument spielen.
\(B\) ist die Menge aller meiner Freunde.
\(A = \{{\color{red}\text{Anna}}, {\color{red}\text{Laura}}, {\color{red}\text{Mark}}\}\)
\(B = \{{\color{red}\text{Anna}}, {\color{green}\text{David}}, {\color{green}\text{Johanna}}, {\color{red}\text{Laura}}, {\color{red}\text{Mark}}, {\color{green}\text{Robert}}\}\)
Beobachtung
\(A\) ist (echte) Teilmenge von \(B\).
Gesucht
Welche meiner Freunde spielen kein Musikinstrument?
Lösung
\(L = \{{\color{green}\text{David}}, {\color{green}\text{Johanna}}, {\color{green}\text{Robert}}\}\)
\(L\) enthält alle meine Freunde, die kein Musikinstrument spielen.
Mathematische Bezeichnung
Die Menge \(L\) heißt Komplementärmenge oder Komplement von \(A\) bezüglich \(B\).
Mathematische Schreibweise
\(\definecolor{naranja}{RGB}{255,128,0}
L = {\color{naranja}\bar{A}_{B}}
\) (sprich: „L gleich Komplement von A bezüglich B“)
Definition des Komplements
Ist \(A\) eine Teilmenge von \(B\), dann heißt die Menge aller Elemente,
die zu \(B\), aber nicht zu \(A\) gehören, auch Komplement von \(A\) bzgl. \(B\):
\(\bar{A}_B = \{x \,|\, x \in B \enspace \wedge \enspace x \notin A\}\)
Sprechweise
Das Komplement von A bezüglich B...
\(
\bar{A}_B \quad
\underbrace{\vphantom{\big \vert}=}_\text{ist}~~
\underbrace{\vphantom{\big \vert}\{}_\text{die Menge aller}~
\underbrace{\vphantom{\big \vert}x}_\text{x}~
\underbrace{\vert}_\text{für die gilt:}~~
\underbrace{\vphantom{\vert}x \in B}_\text{x ist Element von B}~~
\underbrace{\vphantom{\vert}\wedge}_\text{und}~~
\underbrace{\vphantom{\vert}x \notin A}_\text{x ist nicht Element von A}~~
\}
\)
Bedeutung von \(\wedge\)
\(\wedge\) ist das mathematische Symbol für das „logische UND“. In der Logik ist eine Aussage, die mit \(\wedge\) („und“) verknüpft ist, wahr, wenn beide der beteiligten Aussagen wahr sind.
Mengendiagramm
Die grün linierte Fläche entspricht der Menge aller Elemente, die zu \(B\), aber nicht zu \(A\) gehören.
Verhältnis zur Differenzmenge
Das Komplement (die Komplementärmenge) ist ein Spezialfall der Differenzmenge:
Wenn \(A\) Teilmenge von \(B\) ist, wird
die Differenzmenge \(B \setminus A\) auch Komplement von \(A\) bzgl. \(B\) genannt:
\(\bar{A}_B = B \setminus A = \{x \,|\, x \in B \enspace \wedge \enspace x \notin A\}\)
Offensichtlich ist jede Komplementärmenge auch eine Differenzmenge, eine Differenzmenge muss jedoch keine Komplementärmenge sein. Differenzmenge ist der allgemeinere Begriff.
Vereinfachte Schreibweise
Ist die Menge \(B\) aus dem Zusammenhang heraus offenbar, so können wir auch schreiben:
Die Menge aller Elemente, die nicht zu \(A\) gehören,
heißt Komplement von \(A\).
\(\bar{A} = \{x \,|\, x \notin A\}\)
Komplement bestimmen
Um Fehler zu vermeiden, empfiehlt sich ein systematisches Vorgehen:
Lösungsverfahren (\(A \subseteq B\))
- Elemente, die sowohl in \(A\) als auch in \(B\) vorkommen, streichen
- Nicht durchgestrichene Elemente von \(B\) in neuer Menge zusammenfassen
Beispiel
\(A = \{{\color{red}\cancel{4}}, {\color{red}\cancel{5}}\}\)
\(B = \{{\color{green}1}, {\color{green}2}, {\color{green}3}, {\color{red}\cancel{4}}, {\color{red}\cancel{5}}\}\)
Das Komplement von \(A\) bzgl. \(B\) ist:
\(\bar{A}_B = B \setminus A = \{{\color{green}1}, {\color{green}2}, {\color{green}3}\}\)
\(\bar{A}_B\) ist die Menge aller Elemente von \(B\), die nicht in \(A\) enthalten sind.
Mehr zum Thema Mengenlehre
Im Zusammenhang mit der Mengenlehre gibt es einige Themen, die in Klausuren immer wieder abgefragt werden. Daher lohnt es sich, die folgenden Kapital nacheinander durchzuarbeiten.
| Symbol | Bedeutung | |
| Mengenschreibweise | ||
| Leere Menge | \(\emptyset\) | \(= \text{Menge, die keine Elemente enthält}\) |
| Mächtigkeit | \(|A|\) | \(= \text{Anzahl der Elemente von } A\) |
| Potenzmenge | \(\mathcal{P}(A)\) | \(:= \{X~|~X \subseteq A\}\) |
| Mengenbeziehungen | ||
| Gleichheit von Mengen | \(A = B\) | \(:\Leftrightarrow~\forall x~(x \in A \Leftrightarrow x \in B)\) |
| Teilmenge | \(A \subseteq B\) | \(:\Leftrightarrow \forall x~(x \in A \Rightarrow x \in B)\) |
| Disjunkte Mengen | \(A \cap B = \emptyset\) | \(= \text{Mengen ohne gemeinsame Elemente}\) |
| Mengenverknüpfungen | ||
| Vereinigungsmenge | \(A \cup B\) | \(:= \{x~|~x \in A ~\vee~ x \in B\}\) |
| Schnittmenge | \(A \cap B\) | \(:= \{x~|~x \in A ~\wedge~ x \in B\}\) |
| Differenzmenge | \(A \setminus B\) | \(:= \{x~|~x \in A ~\wedge~ x \notin B\}\) |
| - Komplement | \(\bar{A}_B\) | \(:= \{x \,|\, x \in B \enspace \wedge \enspace x \notin A\}\) |
| Symmetrische Differenz | \(A \bigtriangleup B\) | \(:= \{x~|~(x \in A ~\wedge~ x \notin B) \vee (x \in B ~\wedge~ x \notin A)\}\) |
| Kartesisches Produkt | \(A \times B\) | \(:= \{(a,b)~|~a \in A ~\wedge~ b \in B\}\) |
Hinweis:
Zur Definition von mathematischen Symbolen wird für gewöhnlich ein Doppelpunkt vor einem Gleichheitszeichen benutzt, dabei wird der links (beim Doppelpunkt) stehende Ausdruck durch den anderen definiert. Das Doppelpunkt-Gleichheitszeichen \(:=\) spricht man "ist definitionsgemäß gleich". Häufig wird der Doppelpunkt einfach weggelassen.
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