Differenzmenge

In diesem Kapitel schauen wir uns an, was die Differenzmenge ist.

Inhaltsverzeichnis

Erforderliches Vorwissen

Einführungsbeispiel

Gegeben

$A$ ist die Menge aller meiner Freunde, die im Sportverein angemeldet sind:
$$ A = \{{\color{green}\text{David}}, {\color{green}\text{Johanna}}, {\color{red}\text{Mark}}, {\color{green}\text{Robert}}\} $$

$B$ ist die Menge aller meiner Freunde, die ein Musikinstrument spielen:
$$ B = \{\text{Anna}, \text{Laura}, {\color{red}\text{Mark}}\} $$

Ein Blick auf das Mengendiagramm verrät, dass $\text{Mark}$ als einziger meiner Freunde sowohl Sportler als auch Musiker ist.

Abb. 1

Frage

Welche meiner Freunde sind im Sportverein angemeldet UND spielen kein Musikinstrument?

Antwort

$$ L = \{{\color{green}\text{David}}, {\color{green}\text{Johanna}}, {\color{green}\text{Robert}}\} $$

$L$ enthält alle meine Freunde, die im Sportverein sind, aber kein Musikinstrument spielen.

Mathematische Bezeichnung

Die Menge $L$ heißt Differenzmenge oder Differenz von $A$ und $B$ .
Wir können die Menge $L$ auch als Restmenge bezeichnen.

Mathematische Schreibweise

$$ \definecolor{naranja}{RGB}{255,128,0} L = {\color{naranja}A \setminus B} $$ (sprich: L gleich A ohne B)

Definition der Differenzmenge

Seien $A$ und $B$ Mengen, dann gilt:

Die Differenzmenge $A \setminus B$ ist die Menge aller Elemente, die zu $A$ , aber nicht zu $B$ gehören:

$$ A \setminus B = \{x \,|\, x \in A \enspace \wedge \enspace x \notin B\} $$

Sprechweise

$$ \underbrace{\vphantom{\big \vert}A \setminus B}_\text{A ohne B}~~ \underbrace{\vphantom{\big \vert}=}_\text{ist}~~ \underbrace{\vphantom{\big \vert}\{}_\text{die Menge aller}~ \underbrace{\vphantom{\big \vert}x}_\text{x}~ \underbrace{\vert}_\text{für die gilt:}~~ \underbrace{\vphantom{\vert}x \in A}_\text{x ist Element von A}~~ \underbrace{\vphantom{\vert}\wedge}_\text{und}~~ \underbrace{\vphantom{\vert}x \notin B}_\text{x ist nicht Element von B}~~ \} $$

Bedeutung von $\wedge$

$\wedge$ ist das mathematische Symbol für das logische UND. In der Logik ist eine Aussage, die mit $\wedge$ (und) verknüpft ist, wahr, wenn beide der beteiligten Aussagen wahr sind.

Mengendiagramm

Die grün linierte Fläche entspricht der Menge aller Elemente, die zu $A$ , aber nicht zu $B$ gehören.

Abb. 2

Differenzmenge bestimmen

Um Fehler zu vermeiden, empfiehlt sich ein systematisches Vorgehen:

Elemente, die sowohl in $\boldsymbol{A}$ als auch in $\boldsymbol{B}$ vorkommen, streichen

Nicht durchgestrichene Elemente von $\boldsymbol{A}$ in neuer Menge zusammenfassen

Beispiel 1

Bestimme die Differenzmenge von $$ A = \{1, 2, 3\} $$ und $B = \{\,\}$ .

Elemente, die sowohl in $\boldsymbol{A}$ als auch in $\boldsymbol{B}$ vorkommen, streichen

$A = \{{\color{green}1}, {\color{green}2}, {\color{green}3}\}$
$$ B = \{\,\} $$

Nicht durchgestrichene Elemente von $\boldsymbol{A}$ in neuer Menge zusammenfassen

$A \setminus B = \{{\color{green}1}, {\color{green}2}, {\color{green}3}\}$ .

Besonderheit

Die Menge $B$ ist leer.

Ist $B = \{\,\}$ , dann gilt: $A \setminus B = A$ .

Abb. 3

Beispiel 2

Bestimme die Differenzmenge von $$ A = \{1, 2, 3\} $$ und $B = \{4, 5\}$ .

Elemente, die sowohl in $\boldsymbol{A}$ als auch in $\boldsymbol{B}$ vorkommen, streichen

$A = \{{\color{green}1}, {\color{green}2}, {\color{green}3}\}$
$$ B = \{4, 5\} $$

Nicht durchgestrichene Elemente von $\boldsymbol{A}$ in neuer Menge zusammenfassen

$$ A \setminus B = \{{\color{green}1}, {\color{green}2}, {\color{green}3}\} $$

Besonderheit

Die beiden Mengen $A$ und $B$ haben keine gemeinsamen Elemente.

Ist $A \cap B = \emptyset$ , dann gilt: $A \setminus B = A$ .

Abb. 4

Beispiel 3

Bestimme die Differenzmenge von $$ A = \{1, 2, 3\} $$ und $B = \{3, 4, 5\}$ .

Elemente, die sowohl in $\boldsymbol{A}$ als auch in $\boldsymbol{B}$ vorkommen, streichen

$A = \{{\color{green}1}, {\color{green}2}, {\color{red}\cancel{3}}\}$
$$ B = \{{\color{red}\cancel{3}}, 4, 5\} $$

Nicht durchgestrichene Elemente von $\boldsymbol{A}$ in neuer Menge zusammenfassen

$$ A \setminus B = \{{\color{green}1}, {\color{green}2}\} $$

Besonderheit

Die beiden Mengen $A$ und $B$ haben gemeinsame Elemente.

Abb. 5

Beispiel 4

Bestimme die Differenzmenge von $$ A = \{1, 2, 3, 4, 5\} $$ und $B = \{4, 5\}$ .

Elemente, die sowohl in $\boldsymbol{A}$ als auch in $\boldsymbol{B}$ vorkommen, streichen

$A = \{{\color{green}1}, {\color{green}2}, {\color{green}3}, {\color{red}\cancel{4}}, {\color{red}\cancel{5}}\}$
$$ B = \{{\color{red}\cancel{4}}, {\color{red}\cancel{5}}\} $$

Nicht durchgestrichene Elemente von $\boldsymbol{A}$ in neuer Menge zusammenfassen

$$ A \setminus B = \{{\color{green}1}, {\color{green}2}, {\color{green}3}\} $$

Besonderheit

$B$ ist (echte) Teilmenge von $A$ .

Weiterführende Informationen

Wenn $B$ Teilmenge von $A$ , wird die Differenzmenge $A \setminus B$ auch Komplement von $B$ bezüglich $A$ genannt.

Abb. 6

Beispiel 5

Bestimme die Differenzmenge von $$ A = \{1, 2, 3, 4, 5\} $$ und $B = \{1, 2, 3, 4, 5\}$ .

Elemente, die sowohl in $\boldsymbol{A}$ als auch in $\boldsymbol{B}$ vorkommen, streichen

$A = \{{\color{red}\cancel{1}}, {\color{red}\cancel{2}}, {\color{red}\cancel{3}}, {\color{red}\cancel{4}}, {\color{red}\cancel{5}}\}$
$$ B = \{{\color{red}\cancel{1}}, {\color{red}\cancel{2}}, {\color{red}\cancel{3}}, {\color{red}\cancel{4}}, {\color{red}\cancel{5}}\} $$

Nicht durchgestrichene Elemente von $\boldsymbol{A}$ in neuer Menge zusammenfassen

$$ A \setminus B = \{\,\} $$

Besonderheit

$A$ und $B$ sind gleich.

Ist $A = B$ , dann gilt $A \setminus B = \{\,\}$ .

Abb. 7