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Mengenverknüpfungen

In diesem Kapitel schauen wir uns alle Arten von Mengenverknüpfungen an.
Grundkenntnisse der Mengenlehre werden als bekannt vorausgesetzt.

Problemstellung

Wir wissen, dass wir Zahlen durch Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division miteinander verknüpfen können. Obwohl sich Mengen von Zahlen unterscheiden, können wir auch auf Mengen mathematische Operationen anwenden. Durch diese sog. „Mengenverknüpfungen“ werden aus gegebenen Mengen auf verschiedene Weise neue Mengen gebildet.

Mengenverknüpfungen

  • Vereinigungsmenge (Vereinigung)
  • Schnittmenge (Durchschnitt)
  • Differenzmenge (Differenz)
    Komplementärmenge (Komplement)
  • Symmetrische Differenz
  • Produktmenge (Kartesisches Produkt)

Der mathematische Fachbegriff für Mengenverknüpfungen ist Mengenoperationen.

Beispiele für Mengenverknüpfungen

Im Folgenden schauen wir uns für jede Art von Mengenverknüpfung ein einfaches Beispiel an.

Aufgabenstellung

\(A\) ist die Menge aller meiner Freunde, die im Sportverein angemeldet sind.
\(B\) ist die Menge aller meiner Freunde, die ein Musikinstrument spielen.

\(A = \{\text{David}, \text{Johanna}, \text{Mark}, \text{Robert}\}\)

\(B = \{\text{Anna}, \text{Laura}, \text{Mark}\}\)




Im Mengendiagramm ist schön zu erkennen, dass \(\text{Mark}\) als einziger meiner Freunde sowohl Sportler als auch Musiker ist.

a) Vereinigungsmenge

Welche meiner Freunde sind im Sportverein angemeldet ODER* spielen ein Musikinstrument?
* Das „oder“ bedeutet hier „und/oder“ und nicht „entweder...oder“.

\(A \cup B = \{{\color{green}\text{David}}, {\color{green}\text{Johanna}}, {\color{green}\text{Mark}}, {\color{green}\text{Robert}}, {\color{green}\text{Anna}}, {\color{green}\text{Laura}}\}\)

Schreibweise
\(A \cup B\)

Sprechweise
A vereinigt mit B

Weiterführende Informationen
Vereinigungsmenge

b) Schnittmenge

Welche meiner Freunde sind im Sportverein angemeldet UND spielen ein Musikinstrument?

\(A \cap B = \{{\color{green}\text{Mark}}\}\)

Schreibweise
\(A \cap B\)

Sprechweise
A geschnitten mit B

Weiterführende Informationen
Schnittmenge

c) Differenzmenge

Welche meiner Freunde sind im Sportverein angemeldet UND spielen kein Musikinstrument?

\(A \setminus B = \{{\color{green}\text{David}}, {\color{green}\text{Johanna}}, {\color{green}\text{Robert}}\}\)

Schreibweise
\(A \setminus B\)

Sprechweise
A ohne B

Weiterführende Informationen
Differenzmenge

Spezialfall
Komplementärmenge

d) Symmetrische Differenz

Welche meiner Freunde sind ENTWEDER im Sportverein ODER spielen ein Musikinstrument?

\(A \bigtriangleup B = \{{\color{green}\text{David}}, {\color{green}\text{Johanna}}, {\color{green}\text{Robert}}, {\color{green}\text{Anna}}, {\color{green}\text{Laura}}\}\)

Schreibweise
\(A \bigtriangleup B\)

Sprechweise
A Delta B

Weiterführende Informationen
Symmetrische Differenz

e) Kartesisches Produkt

Das kartesische Produkt zweier Mengen \(A\) und \(B\) ist das Ergebnis, das wir erhalten, wenn wir jedes Element \(a\) der Menge \(A\) mit jedem Element \(b\) der Menge \(B\) miteinander kombinieren, jede Kombination als geordnetes Paar \((a, b)\) aufschreiben und alle geordneten Paare in einer Menge zusammenfassen. Im Unterschied zu den vorherigen Verknüpfungen erzeugt das kartesische Produkt - wie das folgende Beispiel eindrucksvoll zeigt - also ganz neue Elemente.

Gegeben

\(A\) ist die Menge aller meiner männlichen Freunde.
\(B\) ist die Menge aller meiner weiblichen Freunde.

\(A = \{\text{David}, \text{Mark}, \text{Robert}\}\)
\(B = \{\text{Anna}, \text{Johanna}, \text{Laura}\}\)

Gesucht

Auf meiner Geburtstagsfeier soll jeder Junge mit jedem Mädchen einmal tanzen.

Ich interessiere mich für die Menge aller möglichen Tanzpaare.

Lösung

\(A \times B = \left\{
\begin{align*}
&(\text{David}, \text{Anna}), (\text{David}, \text{Johanna}), (\text{David}, \text{Laura}),\\
&(\text{Mark}, \text{Anna}), (\text{Mark}, \text{Johanna}), (\text{Mark}, \text{Laura}),\\
&(\text{Robert}, \text{Anna}), (\text{Robert}, \text{Johanna}), (\text{Robert}, \text{Laura})
\end{align*}
\right\}\)

Mehr zum Thema Mengenlehre

Im Zusammenhang mit der Mengenlehre gibt es einige Themen, die in Klausuren immer wieder abgefragt werden. Daher lohnt es sich, die folgenden Kapital nacheinander durchzuarbeiten.

  Symbol Bedeutung
Mengenschreibweise    
     
Leere Menge \(\emptyset\) \(= \text{Menge, die keine Elemente enthält}\)
Mächtigkeit \(|A|\) \(= \text{Anzahl der Elemente von } A\)
     
Potenzmenge \(\mathcal{P}(A)\) \(:= \{X~|~X \subseteq A\}\)
Mengenbeziehungen    
Gleichheit von Mengen \(A = B\) \(:\Leftrightarrow~\forall x~(x \in A \Leftrightarrow x \in B)\)
Teilmenge \(A \subseteq B\) \(:\Leftrightarrow \forall x~(x \in A \Rightarrow x \in B)\)
Disjunkte Mengen \(A \cap B = \emptyset\) \(= \text{Mengen ohne gemeinsame Elemente}\)
Mengenverknüpfungen    
Vereinigungsmenge \(A \cup B\) \(:= \{x~|~x \in A ~\vee~ x \in B\}\)
Schnittmenge \(A \cap B\) \(:= \{x~|~x \in A ~\wedge~ x \in B\}\)
Differenzmenge \(A \setminus B\) \(:= \{x~|~x \in A ~\wedge~ x \notin B\}\)
- Komplement \(\bar{A}_B\) \(:= \{x \,|\, x \in B \enspace \wedge \enspace x \notin A\}\)
Symmetrische Differenz \(A \bigtriangleup B\) \(:= \{x~|~(x \in A ~\wedge~ x \notin B) \vee (x \in B ~\wedge~ x \notin A)\}\)
Kartesisches Produkt \(A \times B\) \(:= \{(a,b)~|~a \in A ~\wedge~ b \in B\}\)

Hinweis:
Zur Definition von mathematischen Symbolen wird für gewöhnlich ein Doppelpunkt vor einem Gleichheitszeichen benutzt, dabei wird der links (beim Doppelpunkt) stehende Ausdruck durch den anderen definiert. Das Doppelpunkt-Gleichheitszeichen \(:=\) spricht man "ist definitionsgemäß gleich". Häufig wird der Doppelpunkt einfach weggelassen.

Andreas Schneider

Jeden Tag suche ich für dich nach der verständlichsten Erklärung.

Ich hoffe, dass sich meine Arbeit lohnt und ich dir helfen kann.

Weiterhin viel Erfolg beim Lernen!

Dein Andreas

PS: Ich freue mich, wenn du mir mal schreibst!

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