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Mengenbeziehungen

In diesem Kapitel schauen wir uns alle Arten von Mengenbeziehungen an.
Grundkenntnisse der Mengenlehre werden als bekannt vorausgesetzt.

Problemstellung

Bei der Betrachtung von Mengen interessieren wir uns oftmals dafür, wie diese sich zueinander verhalten. Die Frage ist also: In welcher Beziehung stehen \(A\) und \(B\) zueinander?

Mengenbeziehungen

  • \(A\) und \(B\) sind gleich
  • \(A\) ist in \(B\) enthalten (oder: \(B\) ist in \(A\) enthalten)
  • \(A\) überdeckt \(B\) teilweise
  • \(A\) und \(B\) sind voneinander verschieden

Der mathematische Fachbegriff für Mengenbeziehungen ist Mengenrelationen.

Beispiele für Mengenbeziehungen

Im Folgenden schauen wir uns für jede Art von Mengenbeziehung ein einfaches Beispiel an:

Beispiel 1

\(A = \{{\color{green}1}, {\color{green}2}, {\color{green}3}, {\color{green}4}, {\color{green}5}\}\)
\(B = \{{\color{green}1}, {\color{green}2}, {\color{green}3}, {\color{green}4}, {\color{green}5}\}\)

Beobachtung
\(A\) und \(B\) sind gleich.

Schreib- und Sprechweise
\(A = B\) (sprich: „A gleich B“)

Weiterführende Informationen
Gleichheit von Mengen

Beispiel 2

\(A = \{1, 2, 3, {\color{green}4}, {\color{green}5}\}\)
\(B = \{{\color{green}4}, {\color{green}5}\}\)

Beobachtung
\(B\) ist in \(A\) enthalten.

Schreib- und Sprechweise
\(B \subseteq A\) (sprich: „B ist Teilmenge von A“)

Weiterführende Informationen
Teilmenge

Beispiel 3

\(A = \{1, 2, {\color{green}3}\}\)
\(B = \{{\color{green}3}, 4, 5\}\)

Beobachtung
\(A\) überdeckt \(B\) teilweise.

Beispiel 4

\(A = \{1, 2, 3\}\)
\(B = \{4, 5\}\)

Beobachtung
\(A\) und \(B\) sind voneinander verschieden.

Mathematische Sprechweise
\(A\) und \(B\) sind disjunkt (elementfremd).

Weiterführende Informationen
Disjunkte Mengen

Mehr zum Thema Mengenlehre

Im Zusammenhang mit der Mengenlehre gibt es einige Themen, die in Klausuren immer wieder abgefragt werden. Daher lohnt es sich, die folgenden Kapital nacheinander durchzuarbeiten.

  Symbol Bedeutung
Mengenschreibweise    
     
Leere Menge \(\emptyset\) \(= \text{Menge, die keine Elemente enthält}\)
Mächtigkeit \(|A|\) \(= \text{Anzahl der Elemente von } A\)
     
Potenzmenge \(\mathcal{P}(A)\) \(:= \{X~|~X \subseteq A\}\)
Mengenbeziehungen    
Gleichheit von Mengen \(A = B\) \(:\Leftrightarrow~\forall x~(x \in A \Leftrightarrow x \in B)\)
Teilmenge \(A \subseteq B\) \(:\Leftrightarrow \forall x~(x \in A \Rightarrow x \in B)\)
Disjunkte Mengen \(A \cap B = \emptyset\) \(= \text{Mengen ohne gemeinsame Elemente}\)
Mengenverknüpfungen    
Vereinigungsmenge \(A \cup B\) \(:= \{x~|~x \in A ~\vee~ x \in B\}\)
Schnittmenge \(A \cap B\) \(:= \{x~|~x \in A ~\wedge~ x \in B\}\)
Differenzmenge \(A \setminus B\) \(:= \{x~|~x \in A ~\wedge~ x \notin B\}\)
- Komplement \(\bar{A}_B\) \(:= \{x \,|\, x \in B \enspace \wedge \enspace x \notin A\}\)
Symmetrische Differenz \(A \bigtriangleup B\) \(:= \{x~|~(x \in A ~\wedge~ x \notin B) \vee (x \in B ~\wedge~ x \notin A)\}\)
Kartesisches Produkt \(A \times B\) \(:= \{(a,b)~|~a \in A ~\wedge~ b \in B\}\)

Hinweis:
Zur Definition von mathematischen Symbolen wird für gewöhnlich ein Doppelpunkt vor einem Gleichheitszeichen benutzt, dabei wird der links (beim Doppelpunkt) stehende Ausdruck durch den anderen definiert. Das Doppelpunkt-Gleichheitszeichen \(:=\) spricht man "ist definitionsgemäß gleich". Häufig wird der Doppelpunkt einfach weggelassen.

Andreas Schneider

Jeden Tag suche ich für dich nach der verständlichsten Erklärung.

Ich hoffe, dass sich meine Arbeit lohnt und ich dir helfen kann.

Weiterhin viel Erfolg beim Lernen!

Dein Andreas

PS: Ich freue mich, wenn du mir mal schreibst!

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