Echte Teilmenge

In diesem Kapitel schauen wir uns an, was eine echte Teilmenge ist.

Kontext

Der Begriff Teilmenge schließt die Gleichheit von Mengen (\(A = B\)) mit ein:

  • \(A = \{{\color{green}4}, {\color{green}5}\}\) ist Teilmenge von \(B = \{1, 2, 3, {\color{green}4}, {\color{green}5}\}\).
  • \(A = \{{\color{green}1}, {\color{green}2}, {\color{green}3}, {\color{green}4}, {\color{green}5}\}\) ist Teilmenge von \(B = \{{\color{green}1}, {\color{green}2}, {\color{green}3}, {\color{green}4}, {\color{green}5}\}\).

Um den 1. von dem 2. Fall zu unterscheiden, gibt es den Begriff „Echte Teilmenge“.

Definition einer echten Teilmenge

Eine Menge \(A\) heißt echte Teilmenge einer Menge \(B\),
wenn jedes Element von \(A\) auch zur Menge \(B\) gehört und
wenn zu \(B\) mindestens noch ein weiteres Element gehört,
das nicht Element von \(A\) ist.

\(A \subset B \quad \Leftrightarrow \quad A \subseteq B \wedge A \neq B\)

Die obige Formel bedeutet übersetzt:

\(
\underbrace{\vphantom{\big \vert}A \subset B}_\text{A ist echte Teilmenge von B}~~
\underbrace{\vphantom{\big \vert}\Leftrightarrow}_\text{genau dann, wenn}~~
\underbrace{\vphantom{\big \vert}A \subseteq B}_\text{A ist Teilmenge von B}~~
\underbrace{\vphantom{\big \vert}\wedge}_\text{und}~~
\underbrace{\vphantom{\big \vert}A \neq B}_\text{A ungleich B}
\)

Beispiele

  • \(A = \{{\color{green}4}, {\color{green}5}\}\) ist echte Teilmenge von \(B = \{1, 2, 3, {\color{green}4}, {\color{green}5}\}\).
  • \(A = \{{\color{green}1}, {\color{green}2}, {\color{green}3}, {\color{green}4}, {\color{green}5}\}\) ist unechte Teilmenge von \(B = \{{\color{green}1}, {\color{green}2}, {\color{green}3}, {\color{green}4}, {\color{green}5}\}\).
Andreas Schneider

Hat dir meine Erklärung geholfen?
Facebook Like Button
Lob, Kritik oder Anregungen? Schreib mir doch mal persönlich :)

Weiterhin viel Erfolg beim Lernen!

Andreas Schneider

Zum Kontaktformular