Quotientenregel
In diesem Kapitel schauen wir uns die Quotientenregel etwas genauer an.
Erforderliches Vorwissen
Einsatzzweck
Ableitung eines Quotienten von Funktionen
Regel
Quotientenregel
$$ f(x) = \frac{g(x)}{h(x)} \quad \rightarrow \quad f'(x)=\frac{h(x) \cdot g'(x) - g(x) \cdot h'(x)}{\left[h(x)\right]^2} $$
Anleitung
Zähler und Nenner der Quotientenfunktion einzeln ableiten
Quotientenfunktion ableiten
Formel aufschreiben
Werte einsetzen
Ergebnis berechnen
Beispiele
Berechne die Ableitung der Funktion $f(x) = \frac{x^2}{x^4}$.
Zähler und Nenner der Quotientenfunktion einzeln ableiten
Die Ableitung des Zählers/Nenners der Quotientenfunktion $f(x) = \frac{x^2}{x^4}$ ist
| Funktion | Ableitung |
|---|---|
$g(x) = x^2$ | $$g'(x) = 2x$$ |
$h(x) = x^4$ | $$h'(x) = 4x^3$$ |
Quotientenfunktion ableiten
Formel aufschreiben
$$ f'(x) = \frac{h(x) \cdot g'(x) - g(x) \cdot h'(x)}{\left[h(x)\right]^2} $$
Werte einsetzen
$$ \phantom{f'(x)} = \frac{x^4 \cdot 2x - x^2 \cdot 4x^3}{\left[x^4\right]^2} $$
Ergebnis berechnen
$$ \begin{align*} \phantom{f'(x)} &= \frac{2x^5 - 4x^5}{x^{8}} \\[5px] &= \frac{-2x^5}{x^{8}} \\[5px] &= -2x^{-3} \end{align*} $$
Anmerkung
Normalerweise würden wir in dem obigen Beispiel den Funktionsterm vor dem Ableiten gemäß den Potenzgesetzen vereinfachen und uns so die Arbeit mit der Quotientenregel sparen. Zum Erlernen der Quotientenregel eignet sich dieses einfache Beispiel jedoch hervorragend.
