Quotientenregel

Beispiel

\[f(x) = \frac{x^2}{x^4}\]

Zunächst berechnen wir die Ableitungen der beiden Teilfunktionen

\(g(x) = x^2 \quad \rightarrow \quad g'(x) = 2x\)

\(h(x) = x^4 \quad \rightarrow \quad h'(x) = 4x^3\)

Anschließend setzen wir entsprechend in die Formel ein

\[f'(x)=\frac{h(x) \cdot g'(x) - g(x) \cdot h'(x)}{\left[h(x)\right]^2}\]

\[f'(x)=\frac{x^4 \cdot 2x - x^2 \cdot 4x^3}{\left[x^4\right]^2}\]

Unter Beachtung der Potenzgesetze lässt sich das Ergebnis vereinfachen zu

\[f'(x)=\frac{x^4 \cdot 2x - x^2 \cdot 4x^3}{\left[x^4\right]^2}=\frac{2x^5 - 4x^5}{x^{8}} = \frac{-2x^5}{x^{8}} = -2x^{-3}\]

Hinweis: Selbstverständlich könnte man im obigen Beispiel den Bruch mit Hilfe der Potenzgesetze vereinfachen und sich so die Arbeit mit der Quotientenregel sparen. Zum Erlernen der Quotientenregel eignet sich dieses "einfache" Beispiel jedoch hervorragend. Normalerweise würde man diese Aufgabe also folgendermaßen (nur mit Hilfe der Potenzregel) berechnen:

Beispiel (ohne Quotientenregel)

\[f(x) = \frac{x^2}{x^4} = x^{-2} \quad \rightarrow \quad f'(x) = -2x^{-3}\]