Quotientenregel
In diesem Kapitel schauen wir uns die Quotientenregel etwas genauer an.
Bei der Quotientenregel handelt es sich um eine Ableitungsregel, die immer dann anzuwenden ist, wenn sowohl im Zähler als auch im Nenner einer Funktion ein \(x\) vorkommt.
Die Quotientenregel besagt
\[f(x) = \frac{g(x)}{h(x)} \quad \rightarrow \quad f'(x)=\frac{h(x) \cdot g'(x) - g(x) \cdot h'(x)}{\left[h(x)\right]^2}\]
Was zunächst vielleicht kompliziert aussieht, ist eigentlich ganz einfach:
- Ableitungen der beiden Teilfunktionen \(g(x)\) und \(h(x)\) berechnen
- Zwischenergebnisse in die Formel einsetzen
Um das folgende Beispiel zu verstehen, sollte dir die Potenzregel bereits bekannt sein.
Beispiel
\[f(x) = \frac{x^2}{x^4}\]
Zunächst berechnen wir die Ableitungen der beiden Teilfunktionen
\(g(x) = x^2 \quad \rightarrow \quad g'(x) = 2x\)
\(h(x) = x^4 \quad \rightarrow \quad h'(x) = 4x^3\)
Anschließend setzen wir entsprechend in die Formel ein
\[f'(x)=\frac{h(x) \cdot g'(x) - g(x) \cdot h'(x)}{\left[h(x)\right]^2}\]
\[f'(x)=\frac{x^4 \cdot 2x - x^2 \cdot 4x^3}{\left[x^4\right]^2}\]
Unter Beachtung der Potenzgesetze lässt sich das Ergebnis vereinfachen zu
\[f'(x)=\frac{x^4 \cdot 2x - x^2 \cdot 4x^3}{\left[x^4\right]^2}=\frac{2x^5 - 4x^5}{x^{8}} = \frac{-2x^5}{x^{8}} = -2x^{-3}\]
Hinweis: Selbstverständlich könnte man im obigen Beispiel den Bruch mit Hilfe der Potenzgesetze vereinfachen und sich so die Arbeit mit der Quotientenregel sparen. Zum Erlernen der Quotientenregel eignet sich dieses "einfache" Beispiel jedoch hervorragend. Normalerweise würde man diese Aufgabe also folgendermaßen (nur mit Hilfe der Potenzregel) berechnen:
Beispiel (ohne Quotientenregel)
\[f(x) = \frac{x^2}{x^4} = x^{-2} \quad \rightarrow \quad f'(x) = -2x^{-3}\]
Quotientenregel - Video
In diesem Mathe Video (2:45 min) wird dir die Anwendung der Quotientenregel anhand einer Potenzfunktion gezeigt.
Ableitungsregeln
Neben der Quotientenregel gibt es noch weitere Ableitungsregeln, die du beherrschen solltest.
| Potenzregel | \(f(x) = x^n\) | \(f'(x) = n \cdot x^{n-1}\) |
| Faktorregel | \(f(x) = c \cdot g(x)\) | \(f'(x) = c \cdot g'(x)\) |
| Summenregel | \(f(x) = g(x) + h(x)\) | \(f'(x) = g'(x) + h'(x)\) |
| Differenzregel | \(f(x) = g(x) - h(x)\) | \(f'(x) = g'(x) - h'(x)\) |
| Produktregel | \(f(x) = g(x) \cdot h(x)\) | \(f'(x) = g'(x) \cdot h(x) + g(x) \cdot h'(x)\) |
| Quotientenregel | \(f(x) = \frac{g(x)}{h(x)}\) | \(f'(x)=\frac{h(x) \cdot g'(x) - g(x) \cdot h'(x)}{\left[h(x)\right]^2}\) |
| Kettenregel | \(f(x) = g(h(x))\) | \(f'(x) = g'(h(x)) \cdot h'(x)\) |
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Weiterhin viel Erfolg beim Lernen!
Andreas Schneider