Produkt von Funktionen

In diesem Kapitel schauen wir uns an, wie das Produkt von Funktionen berechnet wird.

Kontext

Wir wissen, dass wir Zahlen durch die vier Grundrechenarten miteinander verknüpfen können. Obwohl sich Funktionen von Zahlen unterscheiden, können wir auch auf Funktionen diese mathematischen Operationen anwenden. Für Funktionen gibt es neben der Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division eine weitere Verknüpfung namens „Verkettung“.

Verknüpfung von Funktionen

  • Summe (\(f + g\))
  • Differenz (\(f - g\))
  • Produkt (\(f \cdot g\))
  • Quotient (\(\frac{f}{g}\))
  • Verkettung (\(f \circ g\))

Durch die Verknüpfung von Funktionen können wir
(a) einfache Funktionen zu komplizierten Funktionen zusammensetzen oder
(b) komplizierte Funktionen in einfache Funktionen zerlegen.

Definition des Produkts von Funktionen

Gegeben seien zwei Funktionen \(f\) und \(g\) mit ihren Definitionsmengen \(\mathbb{D}_f\) und \(\mathbb{D_g}\).

\((f \cdot g)(x) = f(x) \cdot g(x)\) mit \(\mathbb{D}_{f \cdot g} = \mathbb{D}_f \cap \mathbb{D}_g\)

Das Produkt zweier Funktionen \(f\) und \(g\) ist definiert als das Produkt ihrer Funktionsterme. Die Definitionsmenge der Produktfunktion \(\mathbb{D}_{f \cdot g}\) entspricht der Schnittmenge von \(\mathbb{D}_f\) und \(\mathbb{D_g}\).

Beispiele für das Produkt von Funktionen

Gegeben sind zwei Funktionen \(f\) und \(g\) mit
\(f(x) = 2x + 1\) (\(\mathbb{D_f} = \mathbb{R}\)) und
\(g(x) = 3x^2 - 2\) (\(\mathbb{D_g} = \mathbb{R}\)).

Aufgabenstellung

a) Berechne \(h_1 = f \cdot g\) und gib die Definitionsmenge der Produktfunktion an.
b) Berechne \(h_2 = g \cdot f\) und gib die Definitionsmenge der Produktfunktion an.
c) Untersuche \(h_1\) und \(h_2\) auf Gleichheit.

Lösung zu a)

\(\begin{align*}
h_1(x)
&= f(x) \cdot g(x)\\[5px]
&= (2x + 1) \cdot (3x^2 - 2)\\[5px]
&= 6x^3 - 4x + 3x^2 - 2\\[5px]
&= 6x^3 + 3x^2 - 4x - 2
\end{align*}\)

Für Definitionsmenge der Produktfunktion \(h_1\) gilt:

\(\begin{align*}
\mathbb{D}_{h_1}
&= \mathbb{D}_f \cap \mathbb{D}_g\\[5px]
&= \mathbb{R} \cap \mathbb{R}\\[5px]
&= \mathbb{R}
\end{align*}\)

Abbildung zu Aufgabe a)

Lösung zu b)

\(\begin{align*}
h_2(x)
&= g(x) \cdot f(x)\\[5px]
&=  (3x^2 - 2) \cdot (2x + 1)\\[5px]
&= 6x^3 + 3x^2 - 4x - 2
\end{align*}\)

Für Definitionsmenge der Produktfunktion \(h_2\) gilt:

\(\begin{align*}
\mathbb{D}_{h_2}
&= \mathbb{D}_f \cap \mathbb{D}_g\\[5px]
&= \mathbb{R} \cap \mathbb{R}\\[5px]
&= \mathbb{R}
\end{align*}\)

Abbildung zu Aufgabe b)

Lösung zu c)

Wir erkennen, dass gilt: \(h_1 = h_2 \Rightarrow f \cdot g = g \cdot f\).

Rechengesetze der Multiplikation

Bei der Multiplikation der Funktionen \(f\), \(g\) und \(h\) gilt, dass sich das Ergebnis nicht ändert,...

Kommutativgesetz

\(f \cdot g = g \cdot f\)

...wenn du die Faktoren vertauscht.

Assoziativgesetz

\((f \cdot g) \cdot h = f \cdot (g \cdot h)\)

...wenn du Klammern vertauscht, setzt oder ganz weglässt.

Produkt von Funktionen im Einsatz

  • In der Differentialrechnung beim Ableiten von Produktfunktionen
    (siehe Produktregel)
  • In der Integralrechnung beim Integrieren von Produktfunktionen
    (siehe Partielle Integration)

Überblick: Verknüpfungen von Funktionen

Summe von Funktionen \((f + g)(x) = f(x) + g(x)\)
Differenz von Funktionen \((f - g)(x) = f(x) - g(x)\)
Produkt von Funktionen \((f - g)(x) = f(x) - g(x)\)
Quotient von Funktionen \(\left(\frac{f}{g}\right)(x) = \frac{f(x)}{g(x)}\)
Verkettung von Funktionen \((f \circ g)(x) = f(g(x))\)
Andreas Schneider

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Andreas Schneider

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