Partielle Integration

In diesem Kapitel lernen wir die partielle Integration kennen.
[Alternative Bezeichnung: Produktintegration]

Zur Ableitung eines Produktes aus Funktionen setzt man die Produktregel ein.

Produktregel

\(f(x) = g(x) \cdot h(x) \quad \rightarrow \quad f'(x) = g'(x) \cdot h(x) + g(x) \cdot h'(x)\)

Was beim Ableiten die Produktregel ist, bezeichnet man beim Integrieren als partielle Integration.

Partielle Integration

\(\int \! f'(x) g(x) \, \mathrm{d}x = f(x) g(x) - \int \! f(x) g'(x) \, \mathrm{d}x\)

Dabei muss man einen Faktor aufleiten (d.h. die Stammfunktion berechnen)

\(f'(x) \quad \underrightarrow{\text{ aufleiten }} \quad f(x)\)

und den anderen Faktor ableiten (d.h. die Ableitung berechnen)

\(g(x) \quad \underrightarrow{\text{ ableiten }} \quad g'(x)\)

Ziel ist es, durch die Ableitung das zu berechnende Integral zu vereinfachen:

\(\int \! f'(x) {\color{red}g(x)} \, \mathrm{d}x \quad \underrightarrow{\text{ Ziel: Vereinfachung }} \quad \int \! f(x) {\color{red}g'(x)} \, \mathrm{d}x\)

Es ist nicht von vornherein festgelegt, welcher Faktor für \(f(x)\) und welcher für \(g(x)\) steht.
Tipp: Bei \(g(x)\) handelt es sich um den Faktor, der nach dem Ableiten das Integral vereinfacht.

Partielle Integration - Beispiele

Vorgehensweise

  1. Vorüberlegung:
    Die Ableitung welchen Faktors vereinfacht das Integral?

  2. Stammfunktion des 1. Faktors berechnen
  3. Ableitung des 2. Faktors berechnen

  4. Ergebnisse in Formel einsetzen

\({\colorbox{yellow}{\(\int \! x \cdot \text{e}^{x} \, \mathrm{d}x\)}}\)

1.) Vorüberlegung: Die Ableitung welchen Faktors vereinfacht das Integral?

  • Die Ableitung von \(x\) ist \(1\).
  • Die Ableitung von \(\text{e}^{x}\) ist \(\text{e}^{x}\).

Da die Ableitung des 1. Faktors das zu berechnende Integral vereinfacht,
vertauschen wir die Faktoren und berechnen im Folgenden: \({\fcolorbox{red}{}{\(\int \! \text{e}^{x} \cdot x \, \mathrm{d}x\)}}\).

2.) Stammfunktion des 1. Faktors berechnen

\(f'(x) = \text{e}^{x} \quad \underrightarrow{\text{ integrieren }} \quad f(x) = \text{e}^{x}\)

3.) Ableitung des 2. Faktors berechnen

\(g(x) = x \quad \underrightarrow{\text{ ableiten }} \quad g'(x) = 1\)

4.) Ergebnisse in die Formel einsetzen

\(\int \! f'(x) g(x) \, \mathrm{d}x = f(x) g(x) - \int \! f(x) g'(x) \, \mathrm{d}x\)

\(\begin{align*}
\int \! \text{e}^{x} \cdot x \, \mathrm{d}x &= \text{e}^{x} \cdot x - \int \! \text{e}^{x} \cdot 1 \, \mathrm{d}x \\
&= \text{e}^{x} \cdot x - \int \! \text{e}^{x} \, \mathrm{d}x \\
&= \text{e}^{x} \cdot x - \text{e}^{x} {\color{grey} \: + \: C} \\
&= \text{e}^{x} (x - 1) {\color{grey} \: + \: C}
\end{align*}\)

\({\colorbox{yellow}{\(\int \! x \cdot \cos x \, \mathrm{d}x\)}}\)

1.) Vorüberlegung: Die Ableitung welchen Faktors vereinfacht das Integral?

  • Die Ableitung von \(x\) ist \(1\).
  • Die Ableitung von \(\cos(x)\) ist \(-\sin(x)\).

Da die Ableitung des 1. Faktors das zu berechnende Integral vereinfacht,
vertauschen wir die Faktoren und berechnen im Folgenden: \({\fcolorbox{red}{}{\(\int \! \cos(x) \cdot x \, \mathrm{d}x\)}}\).

2.) Stammfunktion des 1. Faktors berechnen

\(f'(x) = \cos(x) \quad \underrightarrow{\text{ integrieren }} \quad f(x) = \sin(x)\)

3.) Ableitung des 2. Faktors berechnen

\(g(x) = x \quad \underrightarrow{\text{ ableiten }} \quad g'(x) = 1\)

4.) Ergebnisse in die Formel einsetzen

\(\int \! f'(x) g(x) \, \mathrm{d}x = f(x) g(x) - \int \! f(x) g'(x) \, \mathrm{d}x\)

\(\begin{align*}
\int \! \cos(x) \cdot x \, \mathrm{d}x &= \sin(x) \cdot x - \int \! \sin(x) \cdot 1 \, \mathrm{d}x \\
&= \sin(x) \cdot x - \int \! \sin(x) \, \mathrm{d}x \\
&= \sin(x) \cdot x - (- \cos(x) {\color{grey} \: + \: C}) \\
&= \sin(x) \cdot x + \cos(x) {\color{grey} \: + \: C}
\end{align*}\)

Anmerkungen zur partiellen Integration

  • Potenzen (\(x^n\)) werden durch Ableiten einfacher
  • Umkehrfunktionen (z. B. \(\ln(x)\), \(\arcsin(x)\),...) werden durch Ableiten einfacher
  • Funktionen wie \(\text{e}^x\), \(\sin(x)\) usw. werden durch Integrieren nicht komplizierter
  • Manchmal hilft zweimaliges partielles Integrieren und Umsortieren

Zusammenfassend lässt sich sagen, dass die partielle Integration stets bei einem Produkt zweier Funktionen angewendet wird, wobei von einem Faktor die Stammfunktion bekannt ist und man die Hoffnung hat, dass durch die Ableitung des anderen Faktors das Integral einfacher wird.

Andreas Schneider

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Andreas Schneider

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