Partielle Integration

In diesem Kapitel lernen wir die partielle Integration (Produktintegration) kennen.

Erforderliches Vorwissen

Einordnung 

Um ein Produkt von Funktionen

$$ f(x) = g(x) \cdot h(x) $$

abzuleiten, brauchen wir die Produktregel:

Produktregel

$$ f'(x) = g'(x) \cdot h(x) + g(x) \cdot h'(x) $$

Was beim Ableiten die Produktregel ist, ist beim Integrieren die partielle Integration:

Partielle Integration

$$ \int \! f'(x) g(x) \, \textrm{d}x = f(x) g(x) - \int \! f(x) g'(x) \, \textrm{d}x $$

Dabei muss man einen Faktor integrieren

$$ f(x) \quad \underleftarrow{\text{ integrieren }} \quad f'(x) $$

und den anderen Faktor ableiten

$$ g(x) \quad \underrightarrow{\text{ ableiten }} \quad g'(x) $$

Ziel ist es, durch die Ableitung das zu berechnende Integral zu vereinfachen:

$$ \int \! f'(x) {\color{red}g(x)} \, \textrm{d}x \quad \underrightarrow{\text{ Ziel: Vereinfachung }} \quad \int \! f(x) {\color{red}g'(x)} \, \textrm{d}x $$

Es ist nicht von vornherein festgelegt, welcher Faktor für $f(x)$ und welcher für $g(x)$ steht. Tipp: Bei $g(x)$ handelt es sich um den Faktor, der nach dem Ableiten das Integral vereinfacht!

Anleitung 

Vorüberlegung: Die Ableitung welchen Faktors vereinfacht das Integral?

1. Faktor integrieren

2. Faktor ableiten

Ergebnisse in Formel einsetzen

zu 1)

  • Potenzfunktionen ($x^n$) und Umkehrfunktionen (z. B. $\ln(x)$, $\arcsin(x)$,…) werden durch Ableiten einfacher
  • Funktionen wie $\text{e}^x$, $\sin(x)$ usw. werden durch Integrieren nicht komplizierter

Anmerkung

Manchmal hilft zweimaliges partielles Integrieren und Umsortieren.

Beispiele 

Beispiel 1 

Berechne $\int \! x \cdot \text{e}^{x} \, \textrm{d}x$.

Vorüberlegung: Die Ableitung welchen Faktors vereinfacht das Integral?

  • Die Ableitung von $x$ ist $1$.
  • Die Ableitung von $\text{e}^{x}$ ist $\text{e}^{x}$.

Da die Ableitung des 1. Faktors das zu berechnende Integral vereinfacht, vertauschen wir die Faktoren und berechnen im Folgenden: $\int \! \text{e}^{x} \cdot x \, \textrm{d}x$.

1. Faktor integrieren

$$ f(x) = \text{e}^{x} \quad \underleftarrow{\text{ integrieren }} \quad f'(x) = \text{e}^{x} $$

2. Faktor ableiten

$$ g(x) = x \quad \underrightarrow{\text{ ableiten }} \quad g'(x) = 1 $$

Ergebnisse in die Formel einsetzen

$$ \int \! f'(x) g(x) \, \textrm{d}x = f(x) g(x) - \int \! f(x) g'(x) \, \textrm{d}x $$

$$ \begin{align*} \int \! \text{e}^{x} \cdot x \, \textrm{d}x &= \text{e}^{x} \cdot x - \int \! \text{e}^{x} \cdot 1 \, \textrm{d}x \\[5px] &= \text{e}^{x} \cdot x - \int \! \text{e}^{x} \, \textrm{d}x \\[5px] &= \text{e}^{x} \cdot x - \text{e}^{x} + C \\[5px] &= \text{e}^{x} (x - 1) + C \end{align*} $$

Beispiel 2 

Berechne $\int \! x \cdot \cos x \, \textrm{d}x$.

Vorüberlegung: Die Ableitung welchen Faktors vereinfacht das Integral?

  • Die Ableitung von $x$ ist $1$.
  • Die Ableitung von $\cos(x)$ ist $-\sin(x)$.

Da die Ableitung des 1. Faktors das zu berechnende Integral vereinfacht, vertauschen wir die Faktoren und berechnen im Folgenden: $\int \! \cos(x) \cdot x \, \textrm{d}x$.

1. Faktor integrieren

$$ f(x) = \sin(x) \quad \underleftarrow{\text{ integrieren }} \quad f'(x) = \cos(x) $$

2. Faktor ableiten

$$ g(x) = x \quad \underrightarrow{\text{ ableiten }} \quad g'(x) = 1 $$

Ergebnisse in die Formel einsetzen

$$ \int \! f'(x) g(x) \, \textrm{d}x = f(x) g(x) - \int \! f(x) g'(x) \, \textrm{d}x $$

$$ \begin{align*} \int \! \cos(x) \cdot x \, \textrm{d}x &= \sin(x) \cdot x - \int \! \sin(x) \cdot 1 \, \textrm{d}x \\[5px] &= \sin(x) \cdot x - \int \! \sin(x) \, \textrm{d}x \\[5px] &= \sin(x) \cdot x - (- \cos(x)) + C \\[5px] &= \sin(x) \cdot x + \cos(x) + C \end{align*} $$

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