Unbestimmtes Integral

In diesem Kapitel schauen wir uns an, was ein unbestimmtes Integral ist.

Als unbestimmtes Integral bezeichnet man die
Gesamtheit aller Stammfunktionen \(F(x) + C\) einer Funktion \(f(x)\).

Die Schreibweise für unbestimmte Integrale lautet

\(\int \! f(x) \, \mathrm{d}x = F(x) + C\)

gesprochen: "Integral über \(f\) von \(x\) \(\, \mathrm{d}x\)"

Dabei ist \(\int\) das Integrationszeichen und \(f(x)\) der Integrand. Die Variable \(x\) heißt Integrationsvariable und \(C\) ist die Integrationskonstante.

Beispiele

\(\int \! 2x \, \mathrm{d}x = x^2 + C\)

\(\int \! x^2 \, \mathrm{d}x = \frac{1}{3} x^3 + C\)

\(\int \! \cos(x) \, \mathrm{d}x = \sin(x) + C\)

Unbestimmte Integrale einiger Funktionen

konstante Funktion \[\int \! k \, \mathrm{d}x = k \cdot x + C\]
Potenzfunktion \[\int \! x^n \, \mathrm{d}x = \frac{1}{1+n} x^{n+1} + C \]
e-Funktion \[\int \! e^x \, \mathrm{d}x = e^x + C\]
Logarithmus \[\int \! \ln(x) \, \mathrm{d}x = -x + x \cdot \ln(x)+ C\]
Hyperbel \[\int \! \frac{1}{x} \, \mathrm{d}x = \ln|x|+ C\]
Sinus \[\int \! \sin(x) \, \mathrm{d}x = -\cos(x) + C\]
Kosinus \[\int \! \cos(x) \, \mathrm{d}x = \sin(x) + C\]
Tangens \[\int \! \tan(x) \, \mathrm{d}x = -\ln|\cos(x)| + C\]
Wurzel \[\int \! \sqrt[n]{x} \, \mathrm{d}x = \frac{1}{\frac{1}{n} + 1}x^{\frac{1}{n} + 1} + C\]

Selten sind die Funktionen so einfach wie in der obigen Tabelle. Es ist daher unerlässlich, sich mit den Integrationsregeln zu beschäftigen.

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Andreas Schneider

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