Unbestimmtes Integral

In diesem Kapitel schauen wir uns an, was ein unbestimmtes Integral ist.

Inhaltsverzeichnis

Erforderliches Vorwissen

Definition

Die Gesamtheit aller Stammfunktionen $F(x) + C$ einer Funktion $f(x)$ heißt unbestimmtes Integral.

Schreibweise

$$ \int \! f(x) \, \textrm{d}x = F(x) + C $$

Sprechweise

Integral über $f$ von $x$ $\, \textrm{d}x$

Symbolverzeichnis

Beispiel 1

$$ \int \! 2x \, \textrm{d}x = x^2 + C $$

Beispiel 2

$$ \int \! x^2 \, \textrm{d}x = \frac{1}{3} x^3 + C $$

Beispiel 3

$$ \int \! \cos(x) \, \textrm{d}x = \sin(x) + C $$

Die folgende Tabelle zeigt die Formeln zur Berechnung der unbestimmten Integrale einiger wichtiger Funktionen:

Name	Funktion	Unbestimmtes Integral
Konstante Funktion	`$$f(x) = k$$`	`$$\int \! k \, \textrm{d}x = k \cdot x + C$$`
Potenzfunktion	`$$f(x) = x^n$$`	`$$\int \! x^n \, \textrm{d}x = \frac{1}{1+n} x^{n+1} + C$$`
Hyperbel	`$$f(x) = \frac{1}{x}$$`	`$$\int \! \frac{1}{x} \, \textrm{d}x = \ln\|x\|+ C$$`
Wurzelfunktion	`$$f(x) = \sqrt[n]{x}$$`	`$$\int \! \sqrt[n]{x} \, \textrm{d}x = \frac{1}{\frac{1}{n} + 1}x^{\frac{1}{n} + 1} + C$$`
e-Funktion	`$$f(x) = e^x$$`	`$$\int \! e^x \, \textrm{d}x = e^x + C$$`
ln-Funktion	`$$f(x) = \ln(x)$$`	`$$\int \! \ln(x) \, \textrm{d}x = -x + x \cdot \ln(x) + C$$`
Sinusfunktion	`$$f(x) = \sin(x)$$`	`$$\int \! \sin(x) \, \textrm{d}x = -\cos(x) + C$$`
Kosinusfunktion	`$$f(x) = \cos(x)$$`	`$$\int \! \cos(x) \, \textrm{d}x = \sin(x) + C$$`
Tangensfunktion	`$$f(x) = \tan(x)$$`	`$$\int \! \tan(x) \, \textrm{d}x = -\ln\|\cos(x)\| + C$$`

Für komplizierte Funktionen müssen wir zur Berechnung der unbestimmten Integrale die Integrationsregeln anwenden.