Tangensfunktion

In diesem Kapitel schauen wir uns die Tangensfunktion etwas genauer an.

Notwendiges Vorwissen: Tangens

Die Tangensfunktion ist eine Funktion,
die jedem \(x \in \mathbb{D}\) seinen Tangenswert \(y\) zuordnet:

\(y = \tan(x) \quad \text{mit } \mathbb{D} =\mathbb{R}\backslash\{\frac{\pi}{2} + k \cdot \pi, k \in \mathbb{Z}\}\)

Die Tangensfunktion gehört zu den trigonometrischen Funktionen.

Graph der Tangensfunktion

Der Graph der Tangensfunktion heißt Tangenskurve.

Um die Tangensfunktion sauber zu zeichnen, legen wir zunächst eine Wertetabelle an.

\begin{array}{r|c|c|c|c|c|c|c|c|c}
x & 0° & 30° & 45° & 60° & 90° & 120° & 135° & 150° & 180°\\
 & {\color{gray}0} & {\color{gray}\frac{\pi}{6}} & {\color{gray}\frac{\pi}{4}} & {\color{gray}\frac{\pi}{3}} & {\color{gray}\frac{\pi}{2}} & {\color{gray}\frac{2\pi}{3}} & {\color{gray}\frac{3\pi}{4}} & {\color{gray}\frac{5\pi}{6}} & {\color{gray}\pi} \\
\hline
\tan(x) & 0 & \frac{\sqrt{3}}{3} & 1 & \sqrt{3} & \text{n. def.} & -\sqrt{3} & -1 & -\frac{\sqrt{3}}{3} & 0
\end{array}

Die obige Tabelle zeigt, dass es rechnerisch keinen Unterschied macht, ob die Argumente (\(x\)-Werte) der Funktion im Gradmaß oder im Bogenmaß vorliegen. Zur Darstellung von trigonometrischen Funktionen in einem Koordinatensystem ist es allerdings üblich, das Bogenmaß zu verwenden. Zur Erinnerung: \(360°\) (Gradmaß) entsprechen \(2\pi\) (Bogenmaß).

Die Abbildung zeigt den Graphen der Funktion
\[y = \tan(x)\]

Eigenschaften der Tangensfunktion

Die Tangensfunktion besitzt einige interessante Eigenschaften, die wir im Folgenden betrachten:

Definitionsmenge

\(\mathbb{D} =\mathbb{R}\backslash\{\frac{\pi}{2} + k \cdot \pi, k \in \mathbb{Z}\}\)

Wertemenge

\(\mathbb{W} =\mathbb{R}\)

Periode

\(\tan(x + \pi) = \tan(x)\)

Die Tangensfunktion ist periodisch,
d. h. ihre Funktionswerte wiederholen
sich in regelmäßigen Abständen (\(\pi\)).

Symmetrie

\(\tan(-x) = -\tan(x)\)
Punktsymmetrie zum Koordinatenursprung

Aus dem Artikel zum Tangens wissen wir, dass gilt: \(\tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)}\).

Um die Nullstellen der Tangensfunktion zu bestimmen, hilft uns folgender Satz:
Ein Bruch wird Null, wenn sein Zähler gleich Null ist.

Daraus folgt:

Nullstellen der Tangensfunktion = Nullstellen der Sinusfunktion

Nullstellen

\(x_k = k \cdot \pi \quad \text{mit } k \in \mathbb{Z}\)

Beispiele
\(\begin{align*} x_{-2} &= (-2) \cdot \pi = -2\pi\\[5pt] x_{-1} &= (-1) \cdot \pi = -\pi\\[5pt] x_{0} &= 0 \cdot \pi = 0\\[5pt] x_{1} &= 1 \cdot \pi = \pi\\[5pt] x_{2} &= 2 \cdot \pi = 2\pi \end{align*}\)

Wenn wir uns den Zusammenhang \(\tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)}\) noch etwas genauer ansehen, können wir auch erkennen, an welchen Stellen die Tangensfunktion nicht definiert ist. Wir erinnern uns, dass der Nenner eines Bruchs nicht Null werden darf, da eine Division durch Null nicht erlaubt ist.

Daraus folgt:

Definitionslücken der Tangensfunktion = Nullstellen der Kosinusfunktion

Die Tangensfunktion besitzt besondere Definitionslücken, sog. Polstellen.

Polstellen

\(x_k = \frac{\pi}{2} + k \cdot \pi \quad \text{mit } k \in \mathbb{Z}\)

Beispiele
\(\begin{align*} x_{-1} &= \frac{\pi}{2} + (-1) \cdot \pi = -\frac{\pi}{2}\\[5pt] x_{0} &= \frac{\pi}{2} + 0 \cdot \pi = \frac{\pi}{2}\\[5pt] x_{1} &= \frac{\pi}{2} + 1 \cdot \pi = \frac{3\pi}{2} \end{align*}\)

Die Funktionsgleichung der senkrechten Asymptoten ist demnach \(x = \frac{\pi}{2} + k \cdot \pi\).

Zusammenfassung der wichtigsten Eigenschaften

Funktionsgleichung \(y = \tan(x)\)  
Definitionsmenge \(\mathbb{D} = \mathbb{R}\backslash\{\frac{\pi}{2} + k \cdot \pi, k \in \mathbb{Z}\}\)  
Wertemenge \(\mathbb{W} = \mathbb{R}\)  
Periode \(\pi\)  
Symmetrie
Punktsymmetrie zum Koordinatenursprung  
Nullstellen \(x_k = k \cdot \pi\) \(k \in \mathbb{Z}\)
Polstellen
\(x_k = \frac{\pi}{2} + k \cdot \pi\)  
Senkrechte Asymptoten
\(x_{\phantom{k}} = \frac{\pi}{2} + k \cdot \pi\)  

 

Hat dir meine Erklärung geholfen?

Jetzt mit einer positiven Bewertung bedanken!

Kundenbewertungen & Erfahrungen zu Mathebibel. Mehr Infos anzeigen.
Andreas Schneider

Mein Name ist Andreas Schneider und ich betreibe seit 2013 hauptberuflich die kostenlose und mehrfach ausgezeichnete Mathe-Lernplattform www.mathebibel.de. Jeden Monat werden meine Erklärungen von bis zu 1 Million Schülern, Studenten, Eltern und Lehrern aufgerufen. Nahezu täglich veröffentliche ich neue Inhalte. Abonniere jetzt meinen Newsletter und erhalte 5 meiner 42 Lernhilfen gratis!

Wenn du einen Fehler gefunden hast, würde ich mich freuen, wenn du mir Bescheid gibst.