Kosinusfunktion

In diesem Kapitel schauen wir uns die Kosinusfunktion etwas genauer an.

Notwendiges Vorwissen: Kosinus

Die Kosinusfunktion ist eine Funktion,
die jedem \(x \in \mathbb{D}\) seinen Kosinuswert \(y\) zuordnet:

\(y = \cos(x) \quad \text{mit } \mathbb{D} =\mathbb{R}\)

Die Kosinusfunktion gehört zu den trigonometrischen Funktionen.

Graph der Kosinusfunktion

Der Graph der Kosinusfunktion heißt Kosinuskurve.

Um die Kosinusfunktion sauber zu zeichnen, legen wir zunächst eine Wertetabelle an:

\begin{array}{r|c|c|c|c|c|c|c|c|c}
x & 0° & 30° & 45° & 60° & 90° & 120° & 135° & 150° & 180°\\
 & {\color{gray}0} & {\color{gray}\frac{\pi}{6}} & {\color{gray}\frac{\pi}{4}} & {\color{gray}\frac{\pi}{3}} & {\color{gray}\frac{\pi}{2}} & {\color{gray}\frac{2\pi}{3}} & {\color{gray}\frac{3\pi}{4}} & {\color{gray}\frac{5\pi}{6}} & {\color{gray}\pi} \\
\hline
\cos(x) & 1 & \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{1}{2} & 0 & -\frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{2}}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} & -1
\end{array}

Die obige Tabelle zeigt, dass es rechnerisch keinen Unterschied macht, ob die Argumente (\(x\)-Werte) der Funktion im Gradmaß oder im Bogenmaß vorliegen. Zur Darstellung von trigonometrischen Funktionen in einem Koordinatensystem ist es allerdings üblich, das Bogenmaß zu verwenden. Zur Erinnerung: \(360°\) (Gradmaß) entsprechen \(2\pi\) (Bogenmaß).

Zum Zeichnen sind insbesondere folgende Punkte von Bedeutung:

\begin{array}{r|c|c|c|c|c}
x & 0° & 90° & 180° & 270° & 360°\\
 & {\color{gray}0} & {\color{gray}\frac{\pi}{2}} & {\color{gray}\pi} & {\color{gray}\frac{3\pi}{2}} & {\color{gray}2\pi} \\
\hline
\cos(x) & 1 & 0 & -1 & 0 & 1
\end{array}

Die Abbildung zeigt den Graphen der Funktion
\[y = \cos(x)\]

Eigenschaften der Kosinusfunktion

Die Kosinusfunktion besitzt einige interessante Eigenschaften, die wir im Folgenden betrachten:

Definitionsmenge

\(\mathbb{D} = \mathbb{R}\)

Wertemenge

\(\mathbb{W} = [-1;1]\)

Periode

\(\cos(x + 2\pi) = \cos(x)\)

Die Kosinusfunktion ist periodisch,
d. h. ihre Funktionswerte wiederholen
sich in regelmäßigen Abständen (\(2\pi\)).

Symmetrie

\(\cos(-x) = \cos(x)\)
Achsensymmetrie zur y-Achse

Nullstellen

\(x_k = \frac{\pi}{2} + k \cdot \pi \quad \text{mit } k \in \mathbb{Z}\)

Beispiele
\(\begin{align*} x_{-1} &= \frac{\pi}{2} + (-1) \cdot \pi = -\frac{\pi}{2}\\[5pt] x_{0} &= \frac{\pi}{2} + 0 \cdot \pi = \frac{\pi}{2}\\[5pt] x_{1} &= \frac{\pi}{2} + 1 \cdot \pi = \frac{3\pi}{2} \end{align*}\)

Relative Maxima

\(x_k = k \cdot 2\pi \quad \text{mit } k \in \mathbb{Z}\)

Beispiele
\(\begin{align*} x_{-1} &= (-1) \cdot 2\pi = -2\pi\\[5pt] x_{0} &= 0 \cdot 2\pi = 0\\[5pt] x_{1} &= 1 \cdot 2\pi = 2\pi \end{align*}\)

Relative Minima

\(x_k = \pi + k \cdot 2\pi \quad \text{mit } k \in \mathbb{Z}\)

Beispiele
\(\begin{align*} x_{-1} &= \pi + (-1) \cdot 2\pi = -\pi\\[5pt] x_{0} &= \pi + 0 \cdot 2\pi = \pi\\[5pt] x_{1} &= \pi + 1 \cdot 2\pi = 3\pi \end{align*}\)

Zusammenhang mit Sinuskurve

Die Kosinuskurve geht aus der Sinuskurve durch Verabschiebung um \(\frac{\pi}{2}\) nach links
hervor. Mathematisch bedeutet das:

\(\cos(x) = \sin(x + \frac{\pi}{2})\)

Zusammenfassung der wichtigsten Eigenschaften

Funktionsgleichung \(y = \cos(x)\)  
Definitionsmenge \(\mathbb{D} = \mathbb{R}\)  
Wertemenge \(\mathbb{W} = [-1;1]\)  
Periode \(2\pi\)  
Symmetrie
Achsensymmetrie zur y-Achse  
Nullstellen \(x_k = \frac{\pi}{2} + k \cdot \pi\) \(k \in \mathbb{Z}\)
Relative Maxima
\(x_k = k \cdot 2\pi\)  
Relative Minima
\(x_k = \pi + k \cdot 2\pi\)  

Die Kosinuskurve geht aus der Sinuskurve durch Verabschiebung um \(\frac{\pi}{2}\) nach links hervor.

Andreas Schneider

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Andreas Schneider

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