Cosinus

In diesem Kapitel schauen wir uns an, was man unter dem Cosinus versteht.

Notwendiges Vorwissen

In der Schule definiert man den Cosinus erst im rechtwinkligen Dreieck für Winkel zwischen 0° und 90°. Danach wird die Definition mit Hilfe des Einheitskreises auf alle Winkel erweitert.

Cosinus: Definition im rechtwinkligen Dreieck

Der Cosinus ist eine Winkelfunktion.

Winkelfunktionen sind definiert als das
Verhältnis zweier Seiten im rechtwinkligen Dreieck.

Ein Verhältnis entspricht in der Mathematik dem Quotienten zweier Größen.

Die Graphik soll bei der Definition des Cosinus helfen.

Es gilt:
Die Seite ist \(b\) ist die Ankathete zu \(\alpha\).
Die Seite \(a\) ist die Gegenkathete zu \(\alpha\).
Die Seite \(c\) ist die Hypotenuse.

Mehr über diese Begriffe erfährst du im Artikel zu den rechtwinkligen Dreiecken.

Der Cosinus des Winkels \(\alpha\) entspricht dem
Verhältnis von Ankathete zu Hypotenuse:

\[\cos \alpha = \frac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}} = \frac{b}{c}\]

Im rechtwinkligen Dreieck können wir nur zeigen, dass der Cosinus für Winkel zwischen 0° und 90° definiert ist. Um diese Definition zu erweitern, betrachten wir den Cosinus im Einheitskreis.

Cosinus: Definition im Einheitskreis

Der Einheitskreis ist ein Kreis, dessen Radius die Länge 1 hat und dessen Mittelpunkt im Koordinatenursprung liegt.

Zunächst wählen wir einen beliebigen Punkt P auf dem Einheitskreis.

Danach zeichnen wir den Winkel ein, der zwischen der x-Achse und der Geraden durch Koordinatenursprung und dem Punkt P verläuft.

Es stellt sich die Frage, welchen Wert der Cosinus dieses Winkels annimmt.

Wenn wir den Punkt P senkrecht mit der x-Achse verbinden (gestrichelte Linie), erhalten wir ein rechtwinkliges Dreieck. Dieses hilft uns dabei, den Cosinus des Winkels zu bestimmen.

Zur Verdeutlichung haben wir die Hypotenuse und die Ankathete des Winkels \(\alpha\) in der Zeichnung beschriftet.

Wir wissen bereits, dass gilt:
\[\cos \alpha = \frac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}}\]
...aber wie hilft uns das jetzt weiter?

In der Graphik ist schön zu erkennen, dass die Hypotenuse des rechtwinkligen Dreiecks dem Radius des Kreises entspricht.

Der Einheitskreis hat laut Definition einen Radius von 1. Daraus folgt:

\[\cos \alpha = \frac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}} =\frac{\text{Ankathete}}{1} =\text{Ankathete}\]

...und welche Länge hat jetzt die Ankathete?

Die Länge der Ankathete entspricht der x-Koordinate des Punktes P.

Unter dem Cosinus eines beliebigen Winkels \(\alpha\) versteht man die x-Koordinate des zu \(\alpha\) gehörenden Punktes P auf dem Einheitskreis.

Wir haben den Cosinus zunächst nur über rechtwinklige Dreiecke definiert, weshalb sich unsere Betrachtung auf Winkel zwischen 0° und 90° beschränkte. Mit Hilfe des Einheitskreises lässt sich jedoch zeigen, dass der Cosinus für jeden beliebigen (positiven und negativen) Winkel definiert ist. Um das zu veranschaulichen, musst du nur irgendeinen Winkel (z. B. 450° oder -60°) in den Einheitskreis einzeichnen und die x-Koordinate des Punktes P ablesen.

Cosinus berechnen

Um Cosinuswerte mit Hilfe deines Taschenrechners zu berechnen, spielt es keine Rolle, ob die Winkel im Gradmaß (z. B. \(90°\)) oder im Bogenmaß (z. B. \(\frac{\pi}{2}\)) gegeben sind. Wichtig ist nur, dass du in das Setup deines Taschenrechner gehst und dort die richtige Einstellung wählst:
DEG (engl. degree) steht für das Gradmaß, RAD (engl. radian) für das Bogenmaß.

Die folgende Tabelle zeigt einige wichtige Kosinuswerte:

\begin{array}{r|c|c|c|c|c|c|c|c|c}
\alpha & 0° & 30° & 45° & 60° & 90° & 120° & 135° & 150° & 180° \\
& {\color{gray}0} & {\color{gray}\frac{\pi}{6}} & {\color{gray}\frac{\pi}{4}} & {\color{gray}\frac{\pi}{3}} & {\color{gray}\frac{\pi}{2}} & {\color{gray}\frac{2\pi}{3}} & {\color{gray}\frac{3\pi}{4}} & {\color{gray}\frac{5\pi}{6}} & {\color{gray}\pi}  \\
\hline
\cos \alpha & 1 & \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{1}{2} & 0 & -\frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{2}}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} & -1 \\
\hline
&&&&&&&&&\\
&&&&&&&&&\\
\hline
\alpha & 180° & 210° & 225° & 240° & 270° & 300° & 315° & 330° & 360° \\
& {\color{gray}0\!+\!\pi} & {\color{gray}\frac{\pi}{6}\!+\!\pi} & {\color{gray}\frac{\pi}{4}\!+\!\pi} & {\color{gray}\frac{\pi}{3}\!+\!\pi} & {\color{gray}\frac{\pi}{2}\!+\!\pi} & {\color{gray}\frac{2\pi}{3}\!+\!\pi} & {\color{gray}\frac{3\pi}{4}\!+\!\pi} & {\color{gray}\frac{5\pi}{6}\!+\!\pi} & {\color{gray}\pi\!+\!\pi} \\
\hline
\cos \alpha & -1 & -\frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{\sqrt{2}}{2} & -\frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} & 1
\end{array}

In der obigen Tabelle können wir einige interessante Eigenschaften beobachten:

\(\cos(\alpha + 180°) = \cos(\alpha + \pi) = -\cos \alpha\)

\(\cos(\alpha + 360°) = \cos(\alpha + 2\pi) = \cos \alpha\)

Aus bekannten oder gegebenen Kosinuswerten können wir also weitere Werte berechnen.

Mehr zur Trigonometrie

In den folgenden Kapiteln findest du mehr Informationen zur Trigonometrie.

Grundlagen  
Winkelfunktionen  
Einheitskreis  
Winkelfunktionen  
Sinus \(\sin \alpha = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}\)
Cosinus \(\cos \alpha = \frac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}}\)
Tangens \(\tan \alpha = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}\)
Kehrwerte  
Cosekans \(\csc \alpha = \frac{\text{Hypotenuse}}{\text{Gegenkathete}} = \frac{1}{\sin \alpha}\)
Sekans \(\sec \alpha = \frac{\text{Hypotenuse}}{\text{Ankathete}} \phantom{1\:} = \frac{1}{\cos \alpha}\)
Cotangens \(\cot \alpha = \frac{\text{Ankathete}}{\text{Gegenkathete}}= \frac{1}{\tan \alpha}\)

Andreas Schneider

Jeden Tag suche ich für dich nach der verständlichsten Erklärung.

Ich hoffe, dass sich meine Arbeit lohnt und ich dir helfen kann.

Weiterhin viel Erfolg beim Lernen!

Dein Andreas

PS: Ich freue mich, wenn du mir mal schreibst!

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