Bogenmaß

In diesem Kapitel schauen wir uns an, was das Bogenmaß ist.

Problemstellung

Gegeben ist ein Winkel \(\alpha\).

Gesucht ist die Größe des Winkels \(\alpha\).

Problemlösung

Wir messen den Winkel.

Einen Winkel zu messen bedeutet, ihn mit einem anderen, bekannten Winkel zu vergleichen. Diesen Vergleichswinkel bezeichnen wir allgemein als Maßeinheit oder hier als Winkelmaß.

Das Bogenmaß ist ein Winkelmaß.

Der Begriff „Winkelmaß“ ist eine abkürzende Bezeichnung für „Winkelmaßeinheit“.

Damit haben wir eine Möglichkeit gefunden, die Größe eines Winkels zahlenmäßig anzugeben.

Das Bogenmaß eines Winkels entspricht dem
Verhältnis aus zugehöriger Bogenlänge zum Radius.

Beispiel

Gegeben ist ein Winkel \(\alpha\). Gesucht ist seine Größe.

Um die Winkelgröße im Bogenmaß angeben zu können, müssen wir Folgendes machen:

1.) Kreis in beliebigem Radius um den Scheitelpunkt des Winkels zeichnen
     (Wir wählen: \(r = 3~\mathrm{cm}\))

2.) Bogenlänge zwischen den Schenkeln messen
     (Wir messen: \(l = 2{,}4~\mathrm{cm}\))

Die Winkelgröße entspricht dem Verhältnis von Bogenlänge zu Radius:

\[\alpha = \frac{l}{r} = \frac{2{,}4~\cancel{\mathrm{cm}}}{3~\cancel{\mathrm{cm}}} = \frac{2{,}4}{3} = 0{,}8\]

Die Längeneinheiten kürzen sich heraus. Übrig bleibt eine Zahl, die Winkelgröße im Bogenmaß, die angibt, wie oft der Radius des entsprechenden Kreises in die Länge des Kreisbogens passt.

Vereinfachung der Definition

Im obigen Beispiel haben wir gesehen, dass wir den Radius des Kreises beliebig wählen dürfen. Es stellt sich die Frage, wie der Radius zu wählen ist, um die nachfolgende Rechnung, also die Division von Bogenlänge und Radius, möglichst einfach zu halten. Die Antwort ist \(r = 1~\mathrm{LE}\).

Beispiel (Fortsetzung)

Wir wählen \(r = 1~\mathrm{cm}\) und messen \(l = 0{,}8~\mathrm{cm}\).

Die Winkelgröße entspricht dem Verhältnis von Bogenlänge zu Radius:
\[\alpha = \frac{l}{r} = \frac{0{,}8~\cancel{\mathrm{cm}}}{1~\cancel{\mathrm{cm}}} = 0{,}8\]

Längenangaben (wie die Bogenlänge \(l\)) bestehen aus einer Maßzahl (in unserem Beispiel: \(0{,}8\)) und einer Maßeinheit (in unserem Beispiel: \(\mathrm{cm}\)). Wenn wir um den Scheitelpunkt eines Winkels einen Einheitskreis, also einen Kreis mit Radius von \(1~\mathrm{LE}\), zeichnen, dann kann die Größe des Winkels allein durch die Maßzahl der Bogenlänge angegeben werden.

Das Bogenmaß eines Winkels entspricht der
Maßzahl der zugehörigen Bogenlänge im Einheitskreis.

Beispiel

Gegeben ist ein Winkel \(\alpha\). Gesucht ist seine Größe.

Um die Winkelgröße im Bogenmaß angeben zu können, müssen wir Folgendes machen:

1.) Einheitskreis (\(r = 1~\mathrm{LE}\)) um den Scheitelpunkt des Winkels zeichnen

2.) Bogenlänge zwischen den Schenkeln messen
     (Wir messen: \(l = 1{,}4~\mathrm{LE}\))

Die Winkelgröße entspricht der Maßzahl der Bogenlänge im Einheitskreis:
\[\alpha = 1{,}4\]

Bogenmaß: Definition des Vergleichwinkels

Die Einheit des Bogenmaßes heißt Radiant (\(\mathrm{rad}\)).

\(1~\textrm{rad}\) (sprich: „ein Radiant“) entspricht einer
Bogenlänge von \(1~\text{LE}\) auf dem Einheitskreis.

Als Einheitskreis bezeichnen Mathematiker einen Kreis mit Radius \(r = 1~\mathrm{LE}\).

1 Radiant veranschaulicht

Gegeben
Scheitelpunkt eines Winkels und 1. Schenkel

Gesucht
2. Schenkel des Winkels, so dass der Winkel eine Größe von genau \(1~\mathrm{rad}\) erreicht

Zuerst zeichnen wir einen Kreis um den Scheitelpunkt mit einem Radius von einer Längeneinheit. Ob es sich dabei um \(\mathrm{cm}\), \(\mathrm{m}\) oder sogar um \(\mathrm{km}\) handelt, spielt keine Rolle.

Danach nehmen wir eine Schnur zur Hand, die die gleiche Länge hat wie der Radius und legen diese so auf den Kreis, dass ein Ende auf dem Schnittpunkt von 1. Schenkel und Kreis liegt. Den Kreispunkt, auf dem das andere Ende der Schnur liegt, markieren wir mit einem Kreuz.

Der 2. Schenkel des \(1~\mathrm{rad}\) großen Winkels verläuft durch das eben gezeichnete Kreuz.

...aha, so sieht also unser Vergleichswinkel aus. Jetzt können wir endlich Winkel messen!

Bogenmaß: Größe des Vollwinkels

Als Vollwinkel bezeichnen Mathematiker den Winkel, der eine volle Umdrehung beschreibt.

Die Größe des Vollwinkels im Bogenmaß beträgt \(2\pi\).

Begründung

  1. Der Umfang eines Kreises berechnet sich nach der Formel \(U = 2 \pi r\).
  2. Der Einheitskreis hat einen Radius von \(1\).

Für den Umfang eines Einheitskreises gilt folglich: \(U = 2 \pi \cdot 1 = 2 \pi\).

Bogenmaß: Mathematischer Hintergrund

Das Bogenmaß beruht auf der Tatsache, dass das Verhältnis (der Quotient) aus Bogenlänge \(l\) und Radius \(r\) eines Kreises um den Scheitelpunkt des Winkels \(\alpha\) konstant (gleichbleibend) ist.

Das Verhältnis von Bogenlänge zu Radius ist unabhängig vom Radius.

Diesen Sachverhalt können wir uns klarmachen, wenn wir um den Scheitelpunkt des Winkels \(\alpha\) zwei Kreise zeichnen - einmal im Radius \(r_1\)...

...und einmal im Radius \(r_2\).

Wenn wir dann die Kreisbögen, die zwischen den Schenkeln des Winkels liegen, messen und zu ihren Radien ins Verhältnis setzen, können wir feststellen, dass gilt:

\[\frac{\text{Bogenlänge }l_1}{\text{Radius }r_1} = \frac{\text{Bogenlänge }l_2}{\text{Radius }r_2}\]

Wie wir in den obigen Beispielen gesehen haben, werden Winkelgrößen im Bogenmaß ohne Einheit angegeben. Grund: Bei der Division zweier Längen kürzen sich die Einheiten heraus.

Eine Größe ohne Einheit bezeichnen Mathematiker als „dimensionslose Größe“.

Das Bogenmaß ist eine dimensionslose Größe.

Das Problem dabei ist, dass manchmal nicht sofort aus dem Kontext hervorgeht, ob z. B. mit \(1{,}4\) die reine Zahl oder die Größe eines Winkels gemeint ist. Um Verwechslungen dieser Art zu vermeiden, wurde die Maßeinheit \(\mathrm{rad}\) (Radiant) für Winkelgrößen im Bogenmaß eingeführt. Wenn allerdings aus dem Zusammenhang deutlich wird, dass es sich um das Bogenmaß eines Winkels handelt, wird auf die eigentlich überflüssige Bezeichnung \(\mathrm{rad}\) in der Regel verzichtet.

Andreas Schneider

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Andreas Schneider

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