Sinusfunktion
In diesem Kapitel schauen wir uns die Sinusfunktion etwas genauer an.
Notwendiges Vorwissen: Sinus
Die Sinusfunktion ist eine Funktion,
die jedem \(x \in \mathbb{D}\) seinen Sinuswert \(y\) zuordnet:
\(y = \sin(x) \quad \text{mit } \mathbb{D} =\mathbb{R}\)
Die Sinusfunktion gehört zu den trigonometrischen Funktionen.
Graph der Sinusfunktion
Der Graph der Sinusfunktion heißt Sinuskurve.
Um die Sinusfunktion sauber zu zeichnen, legen wir zunächst eine Wertetabelle an:
\begin{array}{r|c|c|c|c|c|c|c|c|c}
x & 0° & 30° & 45° & 60° & 90° & 120° & 135° & 150° & 180°\\
& {\color{gray}0} & {\color{gray}\frac{\pi}{6}} & {\color{gray}\frac{\pi}{4}} & {\color{gray}\frac{\pi}{3}} & {\color{gray}\frac{\pi}{2}} & {\color{gray}\frac{2\pi}{3}} & {\color{gray}\frac{3\pi}{4}} & {\color{gray}\frac{5\pi}{6}} & {\color{gray}\pi} \\
\hline
\sin(x) & 0 & \frac{1}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} & 1 & \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{1}{2} & 0
\end{array}
Die obige Tabelle zeigt, dass es rechnerisch keinen Unterschied macht, ob die Argumente (\(x\)-Werte) der Funktion im Gradmaß oder im Bogenmaß vorliegen. Zur Darstellung von trigonometrischen Funktionen in einem Koordinatensystem ist es allerdings üblich, das Bogenmaß zu verwenden. Zur Erinnerung: \(360°\) (Gradmaß) entsprechen \(2\pi\) (Bogenmaß).
Zum Zeichnen sind insbesondere folgende Punkte von Bedeutung:
\begin{array}{r|c|c|c|c|c}
x & 0° & 90° & 180° & 270° & 360°\\
& {\color{gray}0} & {\color{gray}\frac{\pi}{2}} & {\color{gray}\pi} & {\color{gray}\frac{3\pi}{2}} & {\color{gray}2\pi} \\
\hline
\sin(x) & 0 & 1 & 0 & -1 & 0
\end{array}
Die Abbildung zeigt den Graphen der Funktion
\[y = \sin(x)\]
Eigenschaften der Sinusfunktion
Die Sinusfunktion besitzt einige interessante Eigenschaften, die wir im Folgenden betrachten:
Definitionsmenge
\(\mathbb{D} = \mathbb{R}\)
Wertemenge
\(\mathbb{W} = [-1;1]\)
Periode
\(\sin(x + 2\pi) = \sin(x)\)
Die Sinusfunktion ist periodisch,
d. h. ihre Funktionswerte wiederholen
sich in regelmäßigen Abständen (\(2\pi\)).
Symmetrie
\(\sin(-x) = -\sin(x)\)
Punktssymmetrie zum Koordinatenursprung
Nullstellen
\(x_k = k \cdot \pi \quad \text{mit } k \in \mathbb{Z}\)
Beispiele
\(\begin{align*} x_{-1} &= (-1) \cdot \pi = -\pi\\[5pt] x_{0} &= 0 \cdot \pi = 0\\[5pt] x_{1} &= 1 \cdot \pi = \pi\\[5pt] x_{2} &= 2 \cdot \pi = 2\pi \end{align*}\)
Relative Maxima
\(x_k = \frac{\pi}{2} + k \cdot 2\pi \quad \text{mit } k \in \mathbb{Z}\)
Beispiele
\(\begin{align*} x_{-1} &= \frac{\pi}{2} + (-1) \cdot 2\pi = -\frac{3\pi}{2}\\[5pt] x_{0} &= \frac{\pi}{2} + 0 \cdot 2\pi = \frac{\pi}{2}\\[5pt] x_{1} &= \frac{\pi}{2} + 1 \cdot 2\pi = \frac{5\pi}{2} \end{align*}\)
Relative Minima
\(x_k = \frac{3\pi}{2} + k \cdot 2\pi \quad \text{mit } k \in \mathbb{Z}\)
Beispiele
\(\begin{align*} x_{-1} &= \frac{3\pi}{2} + (-1) \cdot 2\pi = -\frac{\pi}{2}\\[5pt] x_{0} &= \frac{3\pi}{2} + 0 \cdot 2\pi = \frac{3\pi}{2}\\[5pt] x_{1} &= \frac{3\pi}{2} + 1 \cdot 2\pi = \frac{7\pi}{2} \end{align*}\)
Zusammenhang mit Kosinuskurve
Die Sinuskurve geht aus der Kosinuskurve durch Verabschiebung um \(\frac{\pi}{2}\) nach rechts hervor. Mathematisch bedeutet das:
\(\sin(x) = \cos(x - \frac{\pi}{2})\)
Zusammenfassung der wichtigsten Eigenschaften
| Funktionsgleichung | \(y = \sin(x)\) | |
| Definitionsmenge | \(\mathbb{D} = \mathbb{R}\) | |
| Wertemenge | \(\mathbb{W} = [-1;1]\) | |
| Periode | \(2\pi\) | |
| Symmetrie |
Punktsymmetrie zum Koordinatenursprung | |
| Nullstellen | \(x_k = k \cdot \pi\) | \(k \in \mathbb{Z}\) |
| Relative Maxima |
\(x_k = \frac{\pi}{2} + k \cdot 2\pi\) | |
| Relative Minima |
\(x_k = \frac{3\pi}{2} + k \cdot 2\pi\) |
Die Sinuskurve geht aus der Kosinuskurve durch Verabschiebung um \(\frac{\pi}{2}\) nach rechts hervor.
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Andreas Schneider