Sinusfunktion

Die Abbildung zeigt den Graphen der Funktion
\[y = \sin(x)\]

Definitionsmenge

\(\mathbb{D} = \mathbb{R}\)

Wertemenge

\(\mathbb{W} = [-1;1]\)

Periode

\(\sin(x + 2\pi) = \sin(x)\)

Die Sinusfunktion ist periodisch,
d. h. ihre Funktionswerte wiederholen
sich in regelmäßigen Abständen (\(2\pi\)).

Symmetrie

\(\sin(-x) = -\sin(x)\)
Punktssymmetrie zum Koordinatenursprung

Nullstellen

\(x_k = k \cdot \pi \quad \text{mit } k \in \mathbb{Z}\)

Beispiele
\(\begin{align*} x_{-1} &= (-1) \cdot \pi = -\pi\\[5pt] x_{0} &= 0 \cdot \pi = 0\\[5pt] x_{1} &= 1 \cdot \pi = \pi\\[5pt] x_{2} &= 2 \cdot \pi = 2\pi \end{align*}\)

Relative Maxima

\(x_k = \frac{\pi}{2} + k \cdot 2\pi \quad \text{mit } k \in \mathbb{Z}\)

Beispiele
\(\begin{align*} x_{-1} &= \frac{\pi}{2} + (-1) \cdot 2\pi = -\frac{3\pi}{2}\\[5pt] x_{0} &= \frac{\pi}{2} + 0 \cdot 2\pi = \frac{\pi}{2}\\[5pt] x_{1} &= \frac{\pi}{2} + 1 \cdot 2\pi = \frac{5\pi}{2} \end{align*}\)

Relative Minima

\(x_k = \frac{3\pi}{2} + k \cdot 2\pi \quad \text{mit } k \in \mathbb{Z}\)

Beispiele
\(\begin{align*} x_{-1} &= \frac{3\pi}{2} + (-1) \cdot 2\pi = -\frac{\pi}{2}\\[5pt] x_{0} &= \frac{3\pi}{2} + 0 \cdot 2\pi = \frac{3\pi}{2}\\[5pt] x_{1} &= \frac{3\pi}{2} + 1 \cdot 2\pi = \frac{7\pi}{2} \end{align*}\)

Zusammenhang mit Kosinuskurve

Die Sinuskurve geht aus der Kosinuskurve durch Verabschiebung um \(\frac{\pi}{2}\) nach rechts hervor. Mathematisch bedeutet das:

\(\sin(x) = \cos(x - \frac{\pi}{2})\)